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2024届中考冲刺阶段-中考真题（2023广州）及变式题-解答题部分（广州中考数学专用）
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2023广州真题第17
1．解方程：．
变式题17
2．解方程：．
3．解方程：．
4．解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
5．（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）求不等式组的整数解．
6．解方程：．
2023广州真题第18
7．如图，B是的中点，，.求证：．
变式题18
8．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BE=CD．
9．如图，点在线段上，，，．求证：．
10．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．
11．如图，E为中点，．
(1)求证：；(2)若平分，求的长．
12．已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
2023广州真题第19
13．如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；
(2)在图中画出，并连接，；
(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）
变式题19
14．如图，在平面直角坐标系中，其中点，点，点．
(1)将向右平移4个单位得到，在图中画出，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
16．三角形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)分别写出下列各点的坐标：________；________；________．
(2)画出三角形向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的三角形
(3)若是三角形内部一点，则平移后三角形内部的对应点的坐标为________．
(4)求三角形的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出平移过程中边扫过的面积为___________．
(2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出；旋转过程中点转过的路径长为___________．
(3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，所在圆的圆心为，，将向右平移5个单位，得到（点平移后的对应点为）．
(1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________．
(2)在图中画出，求的长．
2023广州真题第20
19．已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
变式题20
20．请从下列三个式子中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式，然后请你自选一个合理的数代入求值：，，．
21．已知三个整式，，．
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
22．已知多项式（x为整数）．
(1)试说明：多项式P被5整除．
(2)若，求的值．
23．（1）计算：
（2）先化简，然后x在－1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
24．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式．
2023广州真题第21
25．某班甲、乙两名同学周末一同外出游玩，但游玩的景点两人意见不一致，于是用游戏的方式在大理古城与丽江古城中决定游玩的景点． 游戏规则如下：一个不透明袋子中装有质地完全相同的乒乓球共4个，分别标有数字，另一个不透明的袋子中装有质地完全相同的乒乓球共3个，分别标有数字． 甲从两个袋子中各摸出一个球，若两个球上的数字之和不大于4，则去大理古城；否则，去丽江古城．
(1)用画树状图或列表法列出所有可能的结果．
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
变式题21
26．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
(2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；
(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
27．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4
(1)小明转动一次A盘，求指针指向数字为2的概率；
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？如果不公平，说明理由，并请设计一个公平的规则．
28．为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织学生防火、防食物中毒、防交通事故等一系列演练活动，并组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：，，，，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人；条形统计图中的______．
(2)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求C等级所在扇形圆心角的度数；
(3)如果80分及以上成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的共有多少人；
(4)已知甲、乙、丙、丁四名学生的答题成绩均为A等级，并且他们又有较强的表达能力，学校决定从他们四人中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好能被同时选中的概率．
29．深圳外环高速公路一期工程正式建成通车，从宝安横跨光明龙华、穿越东莞凤岗、直达龙岗，全程最快只要40分钟．周末李叔叔驾车出去游玩，途经芙蓉收费站和玉律收费站，芙蓉收费站有人工通道A、混合通道B和通道C三条通道;玉律收费站有人工通道D、混合通道E、混合通道 F和通道 G四条通道．(不考虑其他因素)．
(1)途经芙蓉收费站时，李叔叔所选通道是“通道C”的概率为
(2)用列表或画树状图的方法，求李叔叔途经芙蓉收费站和玉律收费站都选 ETC通道的概率．
30．有一个“23点”游戏，其规则如下：
①每位选手手里有七张牌（大、小王除外，J、Q、K分别代表分），游戏开始前将牌洗匀后正面向下放在桌子上；
②每个选手从中随意抽取三张牌后可视得分情况选择是否再抽牌，若选择不再抽牌，则以手中三张牌的得分为本轮游戏的得分，若选择抽牌则以抽牌后得分之和为本轮游戏的得分；
③若某选手游戏得分超过23分，则称为“出局”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过23分的情况下，分数高者裁定为“赢”；
④遇到相同得分（包括出局分数）的情况，相同得分的选手重新做游戏，直到分出输赢．
现有甲、乙两位选手进行“23点”游戏，甲手里的牌为；乙手里的牌为，请解答以下问题：
(1)甲手里的牌是，他选择再抽牌一次，求他本轮游戏不被“出局”的概率；
(2)若甲手里三张牌的和为20分，乙手里三张牌的和也为20分，则乙再抽一张牌，赢的概率是多少？
(3)甲手里的牌为，乙手里的牌为，甲、乙再各自抽牌一次决出输赢（已确定乙抽到的牌不是K），你认为谁在最后一轮中胜出的可能性大？说明你的理由．
2023广州真题第22
31．因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
(1)求与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
变式题22
32．学校为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度是椅子的高度的一次函数，表中列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
(1)请确定与的函数关系式；
(2)现有一把高的椅子和一张高为的课桌，它们是否配套？为什么？
33．“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求出段图像的函数表达式；
(2)他们出发2.2小时时，离目的地还有多少千米？
34．近几年我市水资源缺乏现象日益凸显，为了加强居民的节水意识，我市制订了每月用水10吨以内（包括10吨）和用水10吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的一次函数，其函数图象如图所示．
(1)请求出时y与x的函数关系式；
(2)若某用户该月交水费60元，求该户用了多少吨水．
35．周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式；
(2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？
36．据悉，上海市发改委拟于今年月日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图，射线、射线分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费元与每户每月的用水量立方米之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元；方案二如图表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为：：精确到元．
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图中的值和射线所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是立方米，请分别写出三种情况下现行的、方案一和方案二该月的水费用的代数式表示；
(4)小明家最近个月来的每月用水量的频数分布直方图如图所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明理由．
2023广州真题第23
37．如图，是菱形的对角线．
(1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，连接，；
①求证：；
②若，求的值．
变式题23
38．如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
39．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D．
(1)尺规作图，作边BC的垂直平分线，交边AC于点E．
(2)若AD：BD＝3：4，求sinC的值．
(3)已知BC＝10，BD＝6．若点P为平面内任意一动点，且保持∠BPC＝90°，求线段AP的最大值．
40．如图，在四边形中，，的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)用无刻度的直尺和圆规过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(3)在（2）的条件下，请判断是否平分，并说明理由．
41．如图，已知，平分（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
(1)作菱形，使点M，N分别在边上；
(2)若，求（1）菱形的面积
42．用没有刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)已知，以为一个内角的菱形，使顶点F在边上；
(2)若，，，则（1）中作出的菱形的面积为 ．
2023广州真题第24
43．已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
变式题24
44．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点
(1)直接写出点的坐标为 ；
(2)如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；
(3)若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设的横坐标为，当时，求的取值范围．
45．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、，
（1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，．
______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）：
猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________；
（2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，．
______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）；
猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________；
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交轴于点，点，交轴于点，顶点为，连接，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，求的最大值，以及此时点的坐标．
(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交轴于，两点在右侧），在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
47．如图1，已知点，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
48．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)请你直接写出两点的坐标，并求直线的表达式．
(2)如图②，点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，以点为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求的值．
(3)设点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点．是否存在这样的点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2023广州真题第25
49．如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)延长，交射线于点G；
①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
②若，求面积的最大值，并求此时的长．
变式题25
50．有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，点M是的中点，连接交于点N．
(1)【观察猜想】线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【探究证明】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形的边长为m，将其沿翻折，点D的对应点G恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．
51．在正方形中，将线段BA绕着点B旋转α（），得到线段，连接．
(1)如图1，若，连接，求证：；
(2)如图2，若，过点A作交延长线于点G，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在线段旋转的过程中，直线交于点M，过点A作交直线于点G，直线交于点N．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
52．已知正方形中，为的中点，为射线上一点，为射线上一点，且．
(1)如图，点在线段上．
①求证：；
②求证：；
③求证：；
④求证：．
(2)如图，点在线段上，下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（填序号）．
53．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．
(1)求证：；
(2)若M为的中点，求的半径；
(3)若的半径为3，求的值．
54．如图1，在中，为边上的高，连接，矩形的顶点分别在的边上，．
(1)当矩形为正方形时，求正方形的边长；
(2)如图2，连接，交于点M．
①若，求的值；
②若，点N为线段上一动点，当矩形的面积最大时，直接写出的最小值为 ．
第一套
第二套
椅子的高度
桌子高度
级数
水量基数
调整后的价格（元/）
第一级
0~15（含15）
2.61
第二级
15~25（含25）
3.92
第三级
25以上
2023广州真题第17
1．解方程：．
变式题17
2．解方程：．
3．解方程：．
4．解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
5．（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）求不等式组的整数解．
6．解方程：．
2023广州真题第18
7．如图，B是的中点，，.求证：．
变式题18
8．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BE=CD．
9．如图，点在线段上，，，．求证：．
10．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．
11．如图，E为中点，．
(1)求证：；(2)若平分，求的长．
12．已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
2023广州真题第19
13．如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．
(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；
(2)在图中画出，并连接，；
(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）
变式题19
14．如图，在平面直角坐标系中，其中点，点，点．
(1)将向右平移4个单位得到，在图中画出，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
16．三角形在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)分别写出下列各点的坐标：________；________；________．
(2)画出三角形向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的三角形
(3)若是三角形内部一点，则平移后三角形内部的对应点的坐标为________．
(4)求三角形的面积．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出平移过程中边扫过的面积为___________．
(2)将绕点按顺时针方向旋转得到，作出；旋转过程中点转过的路径长为___________．
(3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，所在圆的圆心为，，将向右平移5个单位，得到（点平移后的对应点为）．
(1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________．
(2)在图中画出，求的长．
2023广州真题第20
19．已知，代数式：，，．
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
变式题20
20．请从下列三个式子中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式，然后请你自选一个合理的数代入求值：，，．
21．已知三个整式，，．
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
22．已知多项式（x为整数）．
(1)试说明：多项式P被5整除．
(2)若，求的值．
23．（1）计算：
（2）先化简，然后x在－1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
24．请在下列三个不为零的式子，，中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式，并判断是不是最简分式，如果不是，请化简该分式．
2023广州真题第21
25．某班甲、乙两名同学周末一同外出游玩，但游玩的景点两人意见不一致，于是用游戏的方式在大理古城与丽江古城中决定游玩的景点． 游戏规则如下：一个不透明袋子中装有质地完全相同的乒乓球共4个，分别标有数字，另一个不透明的袋子中装有质地完全相同的乒乓球共3个，分别标有数字． 甲从两个袋子中各摸出一个球，若两个球上的数字之和不大于4，则去大理古城；否则，去丽江古城．
(1)用画树状图或列表法列出所有可能的结果．
(2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
变式题21
26．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
(2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率；
(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
27．如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，4，5；B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3，其余部分上面标有数字4
(1)小明转动一次A盘，求指针指向数字为2的概率；
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数则小春胜；若差为正数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？如果不公平，说明理由，并请设计一个公平的规则．
28．为了提高师生们的安全意识，使青少年学生安全、健康成长，某校组织学生防火、防食物中毒、防交通事故等一系列演练活动，并组织了一次“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：，，，，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人；条形统计图中的______．
(2)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，求C等级所在扇形圆心角的度数；
(3)如果80分及以上成绩为“优秀”，该校共有2000名学生，估计该校学生答题成绩为“优秀”的共有多少人；
(4)已知甲、乙、丙、丁四名学生的答题成绩均为A等级，并且他们又有较强的表达能力，学校决定从他们四人中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两名同学恰好能被同时选中的概率．
29．深圳外环高速公路一期工程正式建成通车，从宝安横跨光明龙华、穿越东莞凤岗、直达龙岗，全程最快只要40分钟．周末李叔叔驾车出去游玩，途经芙蓉收费站和玉律收费站，芙蓉收费站有人工通道A、混合通道B和通道C三条通道;玉律收费站有人工通道D、混合通道E、混合通道 F和通道 G四条通道．(不考虑其他因素)．
(1)途经芙蓉收费站时，李叔叔所选通道是“通道C”的概率为
(2)用列表或画树状图的方法，求李叔叔途经芙蓉收费站和玉律收费站都选 ETC通道的概率．
30．有一个“23点”游戏，其规则如下：
①每位选手手里有七张牌（大、小王除外，J、Q、K分别代表分），游戏开始前将牌洗匀后正面向下放在桌子上；
②每个选手从中随意抽取三张牌后可视得分情况选择是否再抽牌，若选择不再抽牌，则以手中三张牌的得分为本轮游戏的得分，若选择抽牌则以抽牌后得分之和为本轮游戏的得分；
③若某选手游戏得分超过23分，则称为“出局”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过23分的情况下，分数高者裁定为“赢”；
④遇到相同得分（包括出局分数）的情况，相同得分的选手重新做游戏，直到分出输赢．
现有甲、乙两位选手进行“23点”游戏，甲手里的牌为；乙手里的牌为，请解答以下问题：
(1)甲手里的牌是，他选择再抽牌一次，求他本轮游戏不被“出局”的概率；
(2)若甲手里三张牌的和为20分，乙手里三张牌的和也为20分，则乙再抽一张牌，赢的概率是多少？
(3)甲手里的牌为，乙手里的牌为，甲、乙再各自抽牌一次决出输赢（已确定乙抽到的牌不是K），你认为谁在最后一轮中胜出的可能性大？说明你的理由．
2023广州真题第22
31．因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为（）.
(1)求与x之间的函数解析式；
(2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
变式题22
32．学校为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度是椅子的高度的一次函数，表中列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
(1)请确定与的函数关系式；
(2)现有一把高的椅子和一张高为的课桌，它们是否配套？为什么？
33．“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
(1)求出段图像的函数表达式；
(2)他们出发2.2小时时，离目的地还有多少千米？
34．近几年我市水资源缺乏现象日益凸显，为了加强居民的节水意识，我市制订了每月用水10吨以内（包括10吨）和用水10吨以上两种收费标准（收费标准：每吨水的价格），某用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的一次函数，其函数图象如图所示．
(1)请求出时y与x的函数关系式；
(2)若某用户该月交水费60元，求该户用了多少吨水．
35．周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示．
(1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式；
(2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？
36．据悉，上海市发改委拟于今年月日举行居民用水价格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图，射线、射线分别表示现行的、方案一的每户每月的用水费元与每户每月的用水量立方米之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价每立方米多元；方案二如图表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、三级的用水价格之比为：：精确到元．
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图中的值和射线所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是立方米，请分别写出三种情况下现行的、方案一和方案二该月的水费用的代数式表示；
(4)小明家最近个月来的每月用水量的频数分布直方图如图所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明理由．
2023广州真题第23
37．如图，是菱形的对角线．
(1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，连接，；
①求证：；
②若，求的值．
变式题23
38．如图，已知正方形，点E在边上，连接．
(1)利用尺规在上求作一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，求的长．
39．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BD⊥AC于点D．
(1)尺规作图，作边BC的垂直平分线，交边AC于点E．
(2)若AD：BD＝3：4，求sinC的值．
(3)已知BC＝10，BD＝6．若点P为平面内任意一动点，且保持∠BPC＝90°，求线段AP的最大值．
40．如图，在四边形中，，的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)用无刻度的直尺和圆规过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(3)在（2）的条件下，请判断是否平分，并说明理由．
41．如图，已知，平分（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
(1)作菱形，使点M，N分别在边上；
(2)若，求（1）菱形的面积
42．用没有刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)已知，以为一个内角的菱形，使顶点F在边上；
(2)若，，，则（1）中作出的菱形的面积为 ．
2023广州真题第24
43．已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
变式题24
44．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点
(1)直接写出点的坐标为 ；
(2)如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；
(3)若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设的横坐标为，当时，求的取值范围．
45．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点．
探究一：
P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、，
（1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，．
______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）：
猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________；
（2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，．
______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）；
猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________；
探究二：
如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交轴于点，点，交轴于点，顶点为，连接，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，求的最大值，以及此时点的坐标．
(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交轴于，两点在右侧），在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
47．如图1，已知点，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过两点．
(1)求反比例函数表达式；
(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点的坐标；
(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值．
48．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)请你直接写出两点的坐标，并求直线的表达式．
(2)如图②，点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，以点为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求的值．
(3)设点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点．是否存在这样的点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2023广州真题第25
49．如图，在正方形中，E是边上一动点（不与点A，D重合）．边关于对称的线段为，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)延长，交射线于点G；
①能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
②若，求面积的最大值，并求此时的长．
变式题25
50．有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，点M是的中点，连接交于点N．
(1)【观察猜想】线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【探究证明】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形的边长为m，将其沿翻折，点D的对应点G恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．
51．在正方形中，将线段BA绕着点B旋转α（），得到线段，连接．
(1)如图1，若，连接，求证：；
(2)如图2，若，过点A作交延长线于点G，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在线段旋转的过程中，直线交于点M，过点A作交直线于点G，直线交于点N．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值．
52．已知正方形中，为的中点，为射线上一点，为射线上一点，且．
(1)如图，点在线段上．
①求证：；
②求证：；
③求证：；
④求证：．
(2)如图，点在线段上，下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（填序号）．
53．如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．
(1)求证：；
(2)若M为的中点，求的半径；
(3)若的半径为3，求的值．
54．如图1，在中，为边上的高，连接，矩形的顶点分别在的边上，．
(1)当矩形为正方形时，求正方形的边长；
(2)如图2，连接，交于点M．
①若，求的值；
②若，点N为线段上一动点，当矩形的面积最大时，直接写出的最小值为 ．
第一套
第二套
椅子的高度
桌子高度
级数
水量基数
调整后的价格（元/）
第一级
0~15（含15）
2.61
第二级
15~25（含25）
3.92
第三级
25以上
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