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浙江省“数海漫游”2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷（Word版附答案）
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这是一份浙江省“数海漫游”2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷（Word版附答案），文件包含浙江省“数海漫游”2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷docx、浙江省“数海漫游”2023-2024学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 z2-z=z4z,则z=
A. 0B. 22C. 1D. 62
2.已知AB=2,AC=3,BC=4,则△ABC的面积是
A. 334B. 354 C. 3134 D. 3154
3.记Sn为非零数列an的前n项和，若Sn+1=2Sn,n∈N*,则a4a1=
A. 2B. 4C. 8D. 16
4.设点P在正四面体ABCD的棱AB上，AB与平面PCD所成角为π3,则APBP+BPAP=
A. 4B. 10C. 14 D. 20
5.已知向量a,b 均为单位向量，则a-2b1-a⋅b2 的最小值是
A. 1B. 2C. 2D. 5
6.小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第k天早上八点以1k+1的概率向存钱罐中存入100元，k=1,2,3,⋯.若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是
A. 17B. 15C. 13D. 12
7.设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1ab0的弦AB与x轴，y轴分别交于C,D两点，AC:CD:DB=1:2:2, 若直线AB的斜率k0,则k的取值范围是
A. 0,22 B. 22,1 C. 0,33D. 33,1
8.称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记ℜS为集合S包含的好整点的个数.若ℜx,yx+y2+3x+yk=ℜx,yx+y≤43，则正整数k的最小值是
A. 1976B. 1977 C. 2023D. 2024
二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设双曲线Γ:x2+xy=1与直线y=2x+m 交于Ax1,y1与Bx2,y2两点，则可能有
A. x1+x20B. x1x20C. y1+y20D. y1y20
10.若无穷数列an由Ψ唯一确定，称递推公式Ψ是专一的. 则下列递推公式中专一的有
A. an.an+1=2n-1.2n+1,n∈N*B. a1=a2=1(an+2=an+1)2=an,n∈N*
C. a2=2an+1an=an+an+1,n∈N*D. an+an+1=2nanan+2=3n,n∈N*
11.设一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5满足xixi+1i=1,2,3,4,则
A. 移去x3，这组数据的方差增大B. 移去x2,x4，组数据的方差增大
C. 移去x2,x3,x4，这组数据的方差减小D. 移去x1,x2,x4,x5，这组数据的方差减小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数 fx=x2-a,xa,x-2a,x≤a至多有 个零点.
13.已知正方体A1A2A3A4-A5A6A7A8的棱长为3,取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点Ai，设这 24 个点中与Ai距离最小的三个点为Pi,Qi,Ri从正方体中切去所有四面体AiPiQiRi，i=1, 2, ⋯, 8,得到的几何体的外接球表面积是 .
14.当x0,θ为锐角时，恒有lnx+lncsθ+x2+1lnsinθ≤m,则m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知点P1,2为抛物线C:y2=2px与圆O:x2+y2=r2在第一象限的交点，另一交点为Q.
（1） 求p,r;
（2） 若点R在圆O上，直线PR为抛物线C的切线，求△PQR的周长.
16.（15分）
小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1,2,3,4,5中的某个数字.
（1） 求五张卡片上的数字都不相同的概率；（2） 证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5.
17.（15分）
在正四面体ABCD中，点P,Q,R分别在棱AB,AC,AD上（不与顶点重合），且PQ=PR.
（1） 若AQ=AR+1,证明:AP=2AR+1;
（2） 求sin∠PQR的取值范围.
18.（17分）
记函数p0x=q0x=x,pnx=epn-1x,qnx=lnqn-1x,n∈N*.
（1） 证明：qnpnx=x,n∈N*；
（2） 记qnx的定义域为Dn,n∈N*,p1-x0+q1x0=0.若任意x∈Dn,pnax≥qnx+x0+1x0+1，求a的取值范围.
19.（17分）
已知集合E=x1,x2,⋯,xn，记2E=SS⊆E,X\Y=xx∈X,x∉Y,N是自然数集
• 称函数h:2E→N，若对于任意S⊆E,hS∈N；
• 称函数h:2E→N是单调的，若对于任意X⊆Y⊆E,hX≤hY；
• 称函数h:2E→N是次模的，若对于任意X,Y⊆E,hX⋃Y+hX⋂Y≤hX+hY
已知函数f:2E→N是次模的.
（1） 判断f 是否一定是单调的，并说明理由；
（2） 证明：对于任意X⊆Y⊂E,e∈E\Y,fX⋃{e}-fX≥fY⋃{e}-fY；
（3） 若f是单调的,k是正整数，k≤n. 记F={SS恰含k个元素,S∈E},已知集合S*∈F满足fS*⩽fS,∀S∈F.初始集合M=⌀，然后小明重复k次如下操作：在集合E\M中选取使得fM{e}最小的元素e加入集合M，最终得到集合M*∈F. 证明：fM*≤k⋅f(S*)
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 z2-z=z4z,则z=
A. 0B. 22C. 1D. 62
2.已知AB=2,AC=3,BC=4,则△ABC的面积是
A. 334B. 354 C. 3134 D. 3154
3.记Sn为非零数列an的前n项和，若Sn+1=2Sn,n∈N*,则a4a1=
A. 2B. 4C. 8D. 16
4.设点P在正四面体ABCD的棱AB上，AB与平面PCD所成角为π3,则APBP+BPAP=
A. 4B. 10C. 14 D. 20
5.已知向量a,b 均为单位向量，则a-2b1-a⋅b2 的最小值是
A. 1B. 2C. 2D. 5
6.小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第k天早上八点以1k+1的概率向存钱罐中存入100元，k=1,2,3,⋯.若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是
A. 17B. 15C. 13D. 12
7.设椭圆Γ:x2a2+y2b2=1ab0的弦AB与x轴，y轴分别交于C,D两点，AC:CD:DB=1:2:2, 若直线AB的斜率k0,则k的取值范围是
A. 0,22 B. 22,1 C. 0,33D. 33,1
8.称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记ℜS为集合S包含的好整点的个数.若ℜx,yx+y2+3x+yk=ℜx,yx+y≤43，则正整数k的最小值是
A. 1976B. 1977 C. 2023D. 2024
二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设双曲线Γ:x2+xy=1与直线y=2x+m 交于Ax1,y1与Bx2,y2两点，则可能有
A. x1+x20B. x1x20C. y1+y20D. y1y20
10.若无穷数列an由Ψ唯一确定，称递推公式Ψ是专一的. 则下列递推公式中专一的有
A. an.an+1=2n-1.2n+1,n∈N*B. a1=a2=1(an+2=an+1)2=an,n∈N*
C. a2=2an+1an=an+an+1,n∈N*D. an+an+1=2nanan+2=3n,n∈N*
11.设一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5满足xixi+1i=1,2,3,4,则
A. 移去x3，这组数据的方差增大B. 移去x2,x4，组数据的方差增大
C. 移去x2,x3,x4，这组数据的方差减小D. 移去x1,x2,x4,x5，这组数据的方差减小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数 fx=x2-a,xa,x-2a,x≤a至多有 个零点.
13.已知正方体A1A2A3A4-A5A6A7A8的棱长为3,取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点Ai，设这 24 个点中与Ai距离最小的三个点为Pi,Qi,Ri从正方体中切去所有四面体AiPiQiRi，i=1, 2, ⋯, 8,得到的几何体的外接球表面积是 .
14.当x0,θ为锐角时，恒有lnx+lncsθ+x2+1lnsinθ≤m,则m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知点P1,2为抛物线C:y2=2px与圆O:x2+y2=r2在第一象限的交点，另一交点为Q.
（1） 求p,r;
（2） 若点R在圆O上，直线PR为抛物线C的切线，求△PQR的周长.
16.（15分）
小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1,2,3,4,5中的某个数字.
（1） 求五张卡片上的数字都不相同的概率；（2） 证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5.
17.（15分）
在正四面体ABCD中，点P,Q,R分别在棱AB,AC,AD上（不与顶点重合），且PQ=PR.
（1） 若AQ=AR+1,证明:AP=2AR+1;
（2） 求sin∠PQR的取值范围.
18.（17分）
记函数p0x=q0x=x,pnx=epn-1x,qnx=lnqn-1x,n∈N*.
（1） 证明：qnpnx=x,n∈N*；
（2） 记qnx的定义域为Dn,n∈N*,p1-x0+q1x0=0.若任意x∈Dn,pnax≥qnx+x0+1x0+1，求a的取值范围.
19.（17分）
已知集合E=x1,x2,⋯,xn，记2E=SS⊆E,X\Y=xx∈X,x∉Y,N是自然数集
• 称函数h:2E→N，若对于任意S⊆E,hS∈N；
• 称函数h:2E→N是单调的，若对于任意X⊆Y⊆E,hX≤hY；
• 称函数h:2E→N是次模的，若对于任意X,Y⊆E,hX⋃Y+hX⋂Y≤hX+hY
已知函数f:2E→N是次模的.
（1） 判断f 是否一定是单调的，并说明理由；
（2） 证明：对于任意X⊆Y⊂E,e∈E\Y,fX⋃{e}-fX≥fY⋃{e}-fY；
（3） 若f是单调的,k是正整数，k≤n. 记F={SS恰含k个元素,S∈E},已知集合S*∈F满足fS*⩽fS,∀S∈F.初始集合M=⌀，然后小明重复k次如下操作：在集合E\M中选取使得fM{e}最小的元素e加入集合M，最终得到集合M*∈F. 证明：fM*≤k⋅f(S*)
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