数学八年级下册6.1 反比例函数精品综合训练题

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1．在反比例函数图象上的点为（ ）
A．(1，3)B．(-1，-3)C．(3，-1)D．(-3，-1)
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k．把各个点代入检验即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴xy=-3，
四个答案中只有选项C的横纵坐标的积等于-3，
故选：C
2．如图，已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k的值为（ ）
A．2B．－2C．1D．－1
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系．
【详解】依据比例系数k的几何意义可得三角形的面积等于 解得
故选B.
3．已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c
【答案】C
【分析】将点的坐标代入函数解析式计算即可．
【详解】解：∵点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，
∴，，，
∴c＜a＜b
故选：C．
4 .如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，
连接、，若的面积是6，则k的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题．
【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵轴
∴AB⊥y轴，
∴，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线上，且B在第二象限
∴
∴
故选C
如图，双曲线与直线交于点M、N，并且点M的坐标为（1,3），点N的纵坐标为．
根据图象信息可得关于x的方程的解为（ ）
A．，1B．，3C．，1D．，3
【答案】A
【分析】结合图象先求出反比例函数解析式为：y=，再根据点N的纵坐标为求出N（,），问题随之得解．
【详解】∵M（1,3）在反比例函数图象上，
∴m=1×3=3，
∴反比例函数解析式为：y=，
∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为．
∴x=，
∴N（,），
∴关于x的方程=kx+b的解为：，1．
故选：A．
6．正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，轴于点B，轴于点D（如图），则四边形的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．
【详解】解：解方程组，得：或，
即：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点的坐标分别为，，
∵，，
∴，，
∴，
即：四边形的面积是2．
故选：C
7．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数 ()的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据k的符号，得到反比例函数与一次函数都经过第一、三象限或第二、四象限，再根据一次函数与y轴交于负半轴，即可得出结果．
【详解】解：当时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误；
∵一次函数与y轴交于负半轴，
∴D选项错误，B选项正确，
故选：B．
8 . 如图，点与点分别在函数与的图像上，线段的中点在y轴上．
若△的面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F
设A（x，），则OE=x，
∵M是AB的中点，
∴OF=OE
∴点F的坐标为（-x，0）
故点的坐标为（-x，）
∴SΔAOB=S梯形AEFB-SΔBFO-SΔAEO
=(+)×2x- （）=（）=2
∴=4
故选C
9.函数和在第一象限内的图象如图所示，点是的图象上一动点，
作轴于点，交的图象于点，作轴于点，交的图象于点，
给出如下结论：①与的面积相等； ②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化； ④，
其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】C
【分析】设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，）D（0，）．①根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ODB=S△OCA，该结论正确；②由点的坐标可找出PA=，PB=，由此可得出只有m=2是PA=PB，该结论不成；③利用分割图形法求图形面积结合反比例系数k的几何意义即可得知该结论成立；④结合点的坐标即可找出PA=，AC= ，由此可得出该结论成立．综上即可得出正确的结论为①③④．
【详解】解：设点P的坐标为（m，）（m＞0），则A（m，），C（m，0），B（ ，），D（0，）．
①S△ODB=×1=，S△OCA=×1=，
∴△ODB与△OCA的面积相等，①成立；
②PA=-=，PB=m-=，
令PA=PB，即=，
解得：m=2．
∴当m=2时，PA=PB，②不正确；
③S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=4--=3．
∴四边形PAOB的面积大小不会发生变化，③正确；
④∵PA=-=，AC=-0=，
∵=3×，
∴PA=3AC，④正确．
综上可知：正确的结论有①③④．
故选C．
10.如图，在中，为坐标原点，，，且点，都在反比例函数的图象上．若点横坐标为1，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】作轴，轴，且线段和线段的延长线交于点M．根据题意易证，又可用k表示出A点坐标．从而即可求出用k表示的B点坐标，代入反比例函数解析式，解出k即可．
【详解】如图，作轴，轴，且线段和线段的延长线交于点M．
∵，，
∴，
∴在和中，
∴．
根据题意可知A点坐标为，
∴，，
∴B点坐标为，
又∵点B在该函数图象上，
∴，
解得：．
经检验都是原方程的根．
∵函数图象在第一象限，即，
∴舍去，
故．
故选C．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．如图，A（4，0），B（3，3），以AO，AB为边作平行四边形OABC，则经过C点的反比例函数的表达式为 ．
【答案】．
【详解】试题分析：设经过C点的反比例函数的解析式是y=（k≠0），设C（x，y），根据平行四边形的性质求出点C的坐标（﹣1，3），∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴3=，解得，k=﹣3，∴经过C点的反比例函数的解析式是y=．
故答案为y=．
12．反比例函数，当时，y的取值范围为_________．
【答案】-2＜y＜0
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【详解】解：∵k=-2＜0，
∴在每个象限内y随x的增大而增大，
又当x=1时，y=-2，
∴当x＞1时，-2＜y＜0，
故答案为：-2＜y＜0．
13．设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 .
【答案】−
【分析】把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可．
【详解】∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a，b)，
∴b=，b=a−1，
∴=a−1，
a−a−2=0，
(a−2)(a+1)=0，
解得a=2或a=−1，
∴b=1或b=−2，
∴的值为−.
故答案为：−.
14．如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为 ．
【答案】（4，1）
【详解】∵点A（2，2）在函数y=（x＞0）的图象上，
∴2=，得k=4，
∵在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC=2，
∴点B的横坐标是4，
∴y==1，
∴点B的坐标为（4，1），
故答案为（4，1）．
15．如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积为5，则k的值为____________．
【答案】
【分析】连接，如图，过点作轴于点，根据等腰三角形的性质卡得，证明，可得，进而求得，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，
，，
，
，
，
，，，
，
的面积为5，，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
16 .如图，一次函数y=x与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，
交x轴于点B；作，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1 B1⊥A1B交x轴于点B1；
再作，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去······则点A2022的横坐标为____________.
【答案】/
【分析】过点A，A1，A2作x轴的垂线，交x轴于点C，D，E，求出点A坐标，进一步可求出，，，以此类推可得结果．
【详解】解：过点A，A1，A2作x轴的垂线，交x轴于点C，D，E，
∵一次函数y=x与反比例函数的图象交于点A，
∴联立，解得，
∴，，即，
∵AB⊥OA，∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，故设，
∵在上，
∴，解之得：，（舍去），
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，∴，故设，
∵在上，
∴，解之得：，（舍去），
∴，
同理可得：，
以此类推：点A2022的横坐标为．
故答案为：．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共66分）
17．已知函数，与x成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意可设，，则有，然后代入求解即可；
（2）把代入（1）中解析式进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意可设，，则，把，和，代入得：
，
解得：，，
∴；
（2）由（1）可知：当时，则．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，轴于点E，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据一次函数表达式推出△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE，再由AC的长求出AE和CE，再求出点A坐标，得到OE的长，从而得到点C坐标，即可求出k值；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积．
【详解】解：（1）∵一次函数y=x+1与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴∠CAE=45°，即△CAE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵AC=，即，
解得：AE=CE=3，
在y=x+1中，令y=0，则x=-1，
∴A（-1，0），
∴OE=2，CE=3，
∴C（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数表达式为： ；
（2）联立：，
解得：x=2或-3，
当x=-3时，y=-2，
∴点D的坐标为（-3，-2），
∴S△CDE==．
19 .如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=10，点B在反比例函数y=图象上，且点B的横坐标为3．
(1)求OB的长；
(2)求过点A的双曲线的解析式．
【答案】（1）OB=5；（2）．
【分析】（1）由点B的横坐标为3，代入y得到点B的纵坐标，解直角三角形即可；
（2）要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A作AC⊥x轴，根据条件得到△ACO∽△ODB，得到2，求得点A的坐标，然后用待定系数法即可．
【详解】解：（1）过点B作BD⊥x轴于D，
∵点B在反比例函数y图象上，且点B的横坐标为3，
∴y＝4，
∴BD＝4，OD＝3，
∴OB5；
（2）过点A作AC⊥x轴于C，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠CAO＝∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠CAO＝∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴2，
∴AC＝6，OC＝8，
∴A（﹣8，6），
设过A 的反比例函数的解析式为：y，
∴k＝﹣48，
∴过点A的双曲线的解析式y．
20．如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点B和点A，点F是线段上一个动点，但不与点B，C重合，反比例函数的图象过点F，与线段交于点E，连接．

(1)当点E是线段的中点时，求点F的坐标；
(2)若的面积为6，求反比例函数的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意得到，，再根据点E是线段的中点，得到，由此求出反比例函数解析式，再求出当时，反比例函数的函数值即可得到答案；
（2）先求出，得到，则，，由，建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，轴，轴，
∴，，
∵点E是线段的中点，
∴，
∵反比例函数的图象过点E，
∴，即，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；

（2）解：∵，轴，轴，
∴，，，
∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
当时，，此时点F不在线段上，不符合题意；
∴，
∴反比例函数解析式为．
21 .如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，
过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，
在轴上求一点，使最小
.
【答案】（1）（，）；（2）（，）
【分析】（1）设出A点的坐标，然后根据△OAM的面积为1，确定出k的值即可；
（2）分别求出点A、B的坐标以及点A关于x轴的对称点C的坐标，然后求出直线BC的解析式，直线BC与x轴的交点即为所求.
【详解】（1）设点的坐标为（，），则.
∴.
∵,∴.∴.
∴反比例函数的解析式为；
(2) 由，得，
∴为（，），
设点关于轴的对称点为，则点的坐标为（，），
令直线的解析式为，
∵为（，）
∴，解得：，
∴的解析式为.
当时，，
∴点为（，）
22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点
(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接、，求三角形的面积
(3)连接，在轴的正半轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由
【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是．
(2)三角形的面积是4．
(3)所有符合条件的点Q的坐标是或或．
【分析】（1）把N的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M的坐标代入解析式，求出M的坐标，把M、N的坐标代入，能求出一次函数的解析式；
（2）求出与x轴的交点坐标，求出和的面积即可；
（3）符合条件的有3个①，②，③，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴，
把，代入得： ，
解得：，
∴，
答：反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是．
（2）如图，设交x轴于C，
由，当时，，
∴， ，
∴的面积是，
答：三角形的面积是4．
（3）设，而，，
∴，，，
如图，为等腰三角形，
当时，则，
∴（负根舍去）
Q的坐标是；
当时，则，
解得：（舍去）
Q的坐标是；
当时，则，
解得：，
Q的坐标是；
答：在x轴的正半轴上存在点Q，使是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是或或．
23．如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，
求点P的坐标．
点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，
使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？
若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)12
(2)点P坐标为（+1，﹣1）或（1﹣，﹣1﹣）
(3)存在，点G的坐标为（﹣4，﹣2）或（﹣8，﹣2）或（，14）或（﹣，14）或（8，14）或（，﹣2）
【分析】（1）先求出点A坐标，代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解；
（3）由平行四边形的面积为16，可求点Q坐标，再分AB为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解．
【详解】（1）∵OC=2，OB=6，
∴点C（2，0），点B（0，6），点A（2，6），
∵反比例函数的图象过点A，
∴k=2×6=12；
（2）∵k=12，
∴反比例函数解析式为：，
设，
∵四边形PDCE是正方形，
∴PD=PE，
当点P在第一象限时，
∴，
解得（舍去）
∴
当点P在第三象限，
∴
解得：（舍去）
∴，
综上所述，或
（3）设点的坐标为
若AB为边，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
∴，
解得：或，
∴或，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB=QG=2，AB∥QG，
∴或或或，
若AB为对角线，
设点G（x,y），
∵以A、B、Q、G为顶点组成的四边形是平行四边形，
∴AB与QG互相平分，
∵以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16，
或，
∴或
解得或
∴或
综上所述，或或或或或
24.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点A (1， 3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
(1)求反比例函数的表达式及n的值；
(2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F，
①请求出点F的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）① ；②存在，或
【分析】（1）把A （1，3）代入得到反比例函数的表达式为y=，把B（3，n）代入y=即可得到结论；
（2）①设直线AB的解析式为：y=kx+b，解方程组得到直线AB的解析式为y=-x+4，求得点C （4，0），点D（0，4），得到△COD是等腰直角三角形，推出四边形OCED是正方形，得到E（4，4），把x=4代入y=中即可得到结论；
②设点P（m，0），根据勾股定理得到DP2=m2+16，PF2=（4-m）2+（）2，FD2=16+（4-）2，列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n），
∴把A （1，3）代入y得，3，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y，
把B（3，n）代入y得，n1；
（2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4，
∴点C （4，0），点D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵将△OCD沿直线AB翻折，
∴四边形OCED是正方形，
∴DE＝CE＝4，
∴E（4，4），
把x＝4代入y中得，y，
∴F（4，）；
②存在，
理由：设点P（m，0），
∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4）2，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
∴DP2+PF2＝FD2，
即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4）2，
解得：m＝1或m＝3，
故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形，此时点P的坐标为 （1，0）或（3，0）．