数学（上海卷）-2024年中考数学考前押题卷

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一、选择题
1．下列各数中，是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的概念，立方根，算术平方根知识．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数；对各数进行判断即可．
【解析】解：，
∴有理数是，
故选：D．
2．下列关于 的方程一定有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求出每个方程的判别式即可得到答案．
【解析】解：A、，当时，，此时该方程无实数根，故此选项不符合题意；
B、，该方程无实数根，故此选项不符合题意；
C、，该方程有两个不相等的实数根，故此选项符合题意；
D、，该方程无实数根，故此选项不符合题意；
故选C．
3．平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．
【解析】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，
∴点和中，，
∴，即，
故选：．
4．某篮球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．16，17B．16，16C．16，16.5D．3，17
【答案】B
【分析】根据众数的定义，出现最多的数据是众数；中位数是位于中间的数，即第6、7名队员，再求出这两个数的平均数即可．
【解析】篮球队16名队员的年龄出现次数最多的是16岁，共出现5次，因此众数是16岁，
将这16名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16岁，因此中位数是16岁，故B正确．
故选：B．
5．下列命题中，假命题是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形
C．一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形
D．有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形
【答案】B
【解析】选项A， 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，命题正确；选项B，有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形，命题错误；选项C，一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形，命题正确；选项D，有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形，命题正确.故选A.
6．如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为8，，的半径都为5．用一张半径为R的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则R的最小值为（ ）
A．B．10C．13D．15
【答案】A
【分析】当半径为R的圆形纸片与三个圆相切时，R的值最小，根据两圆相切的性质求解即可．
【解析】解：如图，当与三个已知圆相切时，R的值最小，
∵四个圆相切，的半径为8，，的半径都为5，的半径为R．
∴O1O2= O1O3=5+8=13，OO2= OO3=R-5，O1O=R-8，O2O3=5+5=10，
∴O1O⊥O2O3，设垂足为I，
∴IO2=5，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
故选： A．
二、填空题
7．计算： ．
【答案】/
【分析】根据单项式乘单项式法则计算．
【解析】解：．
故答案为：．
8．在二次根式，，，中，与是同类二次根式的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式性质化简，根据将几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式，逐项进行判断即可．
【解析】解：，与不是同类二次根式，不符合题意；
，与不是同类二次根式，不符合题意；
，与是同类二次根式，符合题意；
，与不是同类二次根式，不符合题.
故答案为：．
9．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．由题意，得，再解不等式即可．
【解析】解：由题意，得，
．
故答案为：．
10．如果一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么常数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据一次函数y=（m-2）x+m－3的图象经过第一、二、四象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项大于0，进而得到关于m的不等式组，解不等式组即可得答案取值范围．
【解析】∵一次函数的图像经过第一、二、四象限，
∴，
解得：1＜m＜2，
故答案为：1＜m＜2
11．已知线段，，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么a，b，c不能组成三角形的概率是 ．
【答案】
【分析】先根据三角形三边关系确定不能组成三角形的的取值范围，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：∵，，
∴线段a，b，c组成三角形时的取值范围，即
∴当或时，线段a，b，c不能组成三角形，
∴在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c的长度，不能组成三角形的是1，7、8这三个数，
所以，a，b，c不能组成三角形的概率是，
故答案为：
12．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b的值为 ．
【答案】0
【分析】根据二次函数的对称轴，整理即可求解．
【解析】抛物线的对称轴为直线
故答案为：
13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
【答案】
【分析】根据已知条件，设每头牛x两，每只羊y两，建立二元一次方程组求解可得．
【解析】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得
，
，
1头牛和1只羊共值金两，
故答案为：．
14．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，点A、B之间的距离为米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离为 米．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
15．如图，已知点G是的重心，设，那么用可表示为 ．

【答案】
【分析】根据三角形重心的性质得出D点是边的中点，求出，再由向量的加法法则求出，然后根据G是的重心即可求出．
【解析】如图，D点是边的中点，G是的重心，
∵，，D点是边的中点，
∴，
∴，
∵G是的重心，
∴．
故答案为：．
16．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝ ．
【答案】
【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即可．
【解析】解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上
∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN
∵∠ABC+∠CBM=180°
∴∠CBM=60°
∵AB=4
∴BC=4
∴CM=BCsin∠CBM=2
MB=BCcs∠CBM=2
∴AM=AB+MB=6
∴MN=AM=6
∴CN=MN-CM=6-2
故答案为：6-2．
17．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ．
【答案】7
【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线．
【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位线为：，
故答案为：7．
18．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．
问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，联结，求出的长，作于M，求出的长即可．
【解析】如图，设交于点Q，
∵点F是点A关于线段的“准射点”，
∴，
∴Q是的中点，即，
过点F作交于点G，交于点H，
∴，
∴，，
∴点F在线段上，
联结，则．
作于M，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴
∴d的取值范围是．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值以及二次根式的分母有理话，计算零次幂，最后再算加减法．
【解析】解：
20．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
【答案】-4＜x≤，数轴表示见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：解不等式3（x+2）＞x-2，得：x＞-4，
解不等式，得：x≤，
则不等式组的解集为-4＜x≤，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的长；
（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解．
（2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解．
【解析】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵ctB＝，
在Rt△BEA中，＝，
设BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB＝．
（2）由（1）知AB＝2，
又∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴
∵BD＝AD，
∴BF＝FE＝BE＝3．
∴DF＝AE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7
∴tan∠DCB=．
22．2021年1月1日起《中华人民共和国民法典》正式施行．某社区为了解本社区的居民对该部法典的关注状况，在4000名居民中作随机抽样调查，把收集到的居民对法典的关注状况分为以下四种情况：A．十分清楚；B．清楚；C．不太清楚；D．不清楚．图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．
(1)此次接受随机抽样调查的人数是___________人；
(2)由样本估计总体可得，该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有___________人；
(3)根据本次调查结果，为促进居民对《中华人民共和国民法典》的了解，做好普法工作，计划两年后将该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的总人数增加到3600人，如果这两年的年增长率相同，求年增长率，
【答案】(1)200
(2)2500
(3)
【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总的居民人数乘以“十分清楚”和“清楚”的人数所占的百分比即可；
（3）设年增长率为x，根据这两年的年增长率相同，列方程求出x的值，即可得出答案．
【解析】（1）解：此次接受随机抽样调查的人数是：42÷21%＝200（人），
故答案为：200；
（2）根据题意得：4000×（21%＋41.5%）＝2500（人），
则该社区居民中“十分清楚”和“清楚”的人数共有2500人，
故答案为：2500；
（3）设年增长率为x，
依题意得：2500（1＋x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝−2.2（不合题意舍去），
答：年增长率为20%．
23．如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出，，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出结论；
（2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性质得，．然后证．得，代入即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心，
∴，．
又∵，
∴．
∵在Rt△AOM和Rt△AON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），
∴．
（2）解：连接EF，交AO于点P．
∵，，
∴四边形AEOF是平行四边形．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴四边形AEOF是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，即．
24．在平面直角坐标系中（如图），已知直线与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)若抛物线经过点，求抛物线解析式；
(2)将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，如果点在抛物线上，求点的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与直线交于点，且点位于轴上方，如果，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数解析式，求得点，代入，即可求解；
（2）过点作轴，垂足为，过点作于点，证明得出，代入抛物线解析式即可求解；
（3）设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作，由得出，根据，列方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：∵直线与轴交于点，
当时，，
∴，
若抛物线经过点，则
解得：或（舍去）
∴抛物线解析式为；
（2）∵的顶点为．
∴
如图所示，过点作轴，垂足为，过点作于点，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∵在抛物线上，
∴
解得：，
∴，
（3）解：如图所示，设直线与轴交于点，与轴交于点，
由，令，得，则，
∴，
∴是等腰直角三角形
∵轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则
过点作，则是等腰直角三角形，则，则
∴
∵，
∴
又
∴
即
∴
解得：或（舍去）
25．如图1，在平行四边形中，是对角线，，.点在的延长线上，且，点在射线上，联结，，直线与直线交于点．
(1)如图2，点在线段的延长线上，求证：；
(2)当为等腰三角形时，求的面积；
(3)如果，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）先根据已知条件证明四边形是平行四边形，推出，，进而得出，，即可证明；
（2）分点F在线段的延长线上和点F在线段上两种情况，根据平行线分线段成比例定理的推论，求出等腰三角形的腰长，再通过解直角三角形计算出的高，即可计算出的面积；
（3）分点M在线段上和点M在线段的延长线上两种情况，分别计算出的值，再解直角三角形即可求出的值．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
点在的延长线上，且，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
；
（2）解：分两种情况，当点F在线段的延长线上时，如下图所示：
在中，，
，
设，则，
解得，不合题意，故此种情况不存在；
当点F在线段上时，如下图所示：
在中，，
，
由平行四边形的性质知，，，
设，则，
解得．
如图，作于点H，交的延长线于点N，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
当点M在线段上时，作于点K，如下图所示：
在中，，
，
，，，
解得：，
，，，
，
，
又，
；
当点M在线段的延长线上时，如下图所示：
在中，，
，
，，，
，
解得：，
，
，
综上可知，的值为或．年龄（单位：岁）
14
15
16
17
18
人数
3
3
5
3
2