数学（湖南长沙卷）-2024年中考数学考前押题卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．相反数等于它本身的数是（ ）
A．1B．0C．﹣1D．0或±1
1.B
【分析】根据相反数的定义得出答案．
【详解】相反数等于它本身的数是0．
故选B．
【点睛】本题考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解答本题的关键．
2．根据教育部门统计，2023年全国普通高校毕业生规模预计将会达到惊人的11580000人，其中数据11580000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2.C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：数据11580000用科学记数法表示为，
故选：C．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3.D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
4．直角三角板和直尺如图放置．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4.D
【分析】延长EG交CD于点H，利用平行线的性质可得∠EHM=40°，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
【详解】解：如图，延长EG交CD于点H，
∵，
∴∠1=∠EHM=40°，
∵∠EGF是△GHM的一个外角，
∴∠2=∠EGF-∠EHM=20°．
故选：D
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5.D
【分析】根据整式乘法运算、积的乘方运算、单项式乘以多项式运算及完全平方公式分别验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据整式乘法运算法则，，该选项错误，不符合题意；
B、根据积的乘方运算法则，，该选项错误，不符合题意；
C、根据单项式乘以多项式的运算法则，，该选项错误，不符合题意；
D、根据完全平方和公式，，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查整式运算，涉及整式乘法运算、积的乘方运算、单项式乘以多项式运算及完全平方和公式，熟记相关公式及整式运算法则是解决问题的关键．
6．如图是由5个大小相同的正方体组合成的几何体，则其左视图为（ ）
A．B．C．D．
6.B
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
7．某同学参加了学校举行的“五好小公民•红旗飘飘”演讲比赛，七名评委给该同学的打分（单位：分）情况如表：
关于七名评委给该同学的打分下列说法错误的是（ ）
A．中位数是8分B．众数是8分
C．极差是3分D．平均数是7分
7.A
【分析】根据众数与中位数、平均数、极差的定义分别求解即可．
【详解】解：从小到大排列此数据为：5，6，7，7，8，8，8，
7处在第4位为中位数，故A选项错误，符合题意；
数据8出现了三次，最多，为众数，故选项B正确，不合题意；
极差是：8﹣5＝3（分），故选项C正确，不合题意
该同学所得分数的平均数为（5+6+7×2+8×3）÷7＝7（分），故选项D正确，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数、众数与中位数、极差，用到的知识点是：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷个数．
8．已知点，在一次函数的图象上，且点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8.A
【分析】先由对称求出点坐标，代入求出函数解析式，再根据一次函数的图象即可求出的值．
【详解】∵点与点关于轴对称，
∴，
∵点在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：，
又∵点在一次函数的图象上，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了一次函数的知识，关于轴对称点的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，点的对称性，从而完成求解．
9．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．D．
9.D
【分析】取的中点，连接，，证明，推出，点在以为圆心，4为半径的上，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，4为半径的上，
，
，
的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
10．如图，点A（﹣2，0），B（0，1），以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线y＝（k＜0）过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是（ ）
A．﹣9B．﹣12C．﹣16D．﹣18
10.C
【分析】过D作DM⊥x轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出DM=2AM，根据三角形的面积求出AM，即可求出DM和OM，得出答案即可．
【详解】解：
∵点A（-2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
过D作DM⊥x轴于M，则∠DMA=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DMA=∠DAB=∠AOB=90°，
∴∠DAM+∠BAO=90°，∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠BAO，
∴△DMA∽△AOB，
∴=2，
即DM=2MA，
设AM=x，则DM=2x，
∵四边形OADB的面积为6，
∴S梯形DMOB-S△DMA=6，
∴（1+2x）（x+2）-•2x•x=6，
解得：x=2，
则AM=2，OM=4，DM=4，
即D点的坐标为（-4，4），
∴k=-4×4=-16，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出DM=2AM是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
11.
【分析】先提取ax，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：

故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．
12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12.且
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且，
故答案为：且．
13．若一个圆锥的母线长为4，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是 ．
13.4π
【分析】先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求得答案．
【详解】解：圆锥的底面周长：2×1×π=2π，
侧面积：×2π×4=4π．
故答案为：4π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是 ．
14.0
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴.
∴m的最大整数值为0．
故答案为：0．
15．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交于点D，E，若，则的度数是 ．
15./84度
【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，则，，由，得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．
16．A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩：A说：如果我得优，那么B也得优；B说：如果我得优，那么C也得优；C说：如果我得优，那么D也得优；D说：如果我得优，那么E也得优．大家说的都没有错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 ．
16.C，D，E
【分析】本题主要考查了简单的逻辑推论，假设A得优，则A，B，C，D，E都得优，假设B得优，则B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾，故两种假设都不成立，假设C得优，则C，D，E都得优，这与只有三个人得优相符合，据此可得答案．
【详解】解：假设A得优，则A，B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾，
∴A不可能得优；
假设B得优，则B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾，
∴B不可能得优；
假设C得优，则C，D，E都得优，这与只有三个人得优相符合，
∴优的三个人是C，D，E．
故答案为：C，D，E．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
【详解】解：原式＝
＝3．
【点睛】本题考查零指数幂与负整指数幂、化简绝对值、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【详解】
=；
∵，
∴
∴原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.
19．（6分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
【详解】①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
∴.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴OCPD=OPPA=CPDA=14−−√=12.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8−x.
在△PCO中，
∵∠C=90∘，CP=4，OP=x，CO=8−x，
∴x2=(8−x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.
20．（8分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：
（1）在地面上选定点A, B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出、两点间的距离为9米；
（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点，的俯角∠ECA=35°,∠ECB=45°.请你根据以上数据计算出的长.
（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cs35°≈0.82 tan35°≈0.70）
【详解】解：由题意可知：CD⊥AD于D，
∠ECB=∠CBD＝，
∠ECA=∠CAD＝，
AB＝9.
设，
∵ 在中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，
∴ CD=BD=.
∵ 在中，∠CDA＝90°，∠CAD＝35°，
∴ ，
∴
∵ AB=9，AD=AB+BD，
∴ .
解得
答：CD的长为21米
21．（8分）最近，学校掀起了志愿服务的热潮，教育处也号召各班学生积极参与，为了解甲､乙两班学生一周服务情况，从这两个班级中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）进行收集､整理､分析，给出了部分信息：
a．甲班40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成6组）：
A.，B．，C．，D．，E．，F．）；
b．甲班40名学生一周志愿服务时长在这一组的是：60；60；62；63；65；68；70；72；73；75；75；76；78；78
c．甲､乙两班各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数，中位数，众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上面图表中的______________，扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为___________度；
（2）根据上面的统计结果，你认为___________班学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由是___________；
（3）小江和小北两位同学都参加了水井坊街道的志愿者服务项目，该街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，请用列表或画树状图的方法，求小江､小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率．
【详解】（1）由题意得：A组的人数为：；B组的人数为：；C组的人数为14人．
∴甲班的中位数为．
扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为．
（2）甲班学生志愿服务工作做得好，甲、乙两班的平均数相等，但甲班比乙班的中位数和众数大，说明甲班服务时长长的人数多，即甲班学生志愿服务工作做得好．
（3）设该街道志愿者服务工作设置三个岗位分别为A、B、C．
所以列表如下：
根据表格可知分配情况共有9种可能，其中分配到同一岗位有3种，
∴小江小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率为．
【点睛】本题考查平均数、中位数和众数的意义和求法，用列表法求概率．掌握平均数、中位数和众数的意义和正确的列出表格是解答本题的关键．
22．（9分）冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．乐乐老师准备购进“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具作为奖品．乐乐老师发现买这两款毛绒玩具各个时，需付元；买个“冰墩墩”， 个“雪容融”需付元．
(1)试求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的价格；
(2)若乐乐老师需要这两款毛绒玩具共个，准备了不少于元，但也不超过元的资金用于购买．问：乐乐老师有多少种购买方案？
【详解】（1）解：设“冰墩墩”的价格是元，“雪容融”的价格是元，
依题意得：，解得：．
答：“冰墩墩”的价格是100元，“雪容融”的价格是90元．
（2）设购买个“冰墩墩”，则购买个“雪容融”，
依题意得：，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，∴可取，，，，，
∴乐乐老师有种购买方案．
【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
(1)求证：四边形DECO是矩形；
(2)若，，求EF的长．
【详解】（1）证明：∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=6，
∴OA=OC=2，OB=OD=3，AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
平行四边形DECO是矩形；
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
24．（10分）已知：四边形内接于，为其中一条对角线，且平分．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、相交于点E，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，垂足为F，交于点K，交于点G，连接，若，，求的面积．
【详解】（1）解：∵平分．∴∴∴；
（2）解：连接
∵平分．
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴是的角平分线，
∴；
（3）解：过点作，过点B作，
∵，且平分
∴
∴
∴是等腰三角形，
∵
∴
∴
∵
∴是等边三角形，
∵
∴
∴
∵，设
∵
∴
∴
∴
∵，由（2）知，是等边三角形
∴
∴
在中，，
∴
∴
∵
∴
在中，
即
【点睛】本题考查了圆综合，垂径定理，圆周角定理、垂径定理，勾股定理、相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确作出辅助线并且掌握相关性质内容是解题的关键．
25．（10分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
(1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则________；
(2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数是常数，的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，，且满足，，如果，求的取值范围．
【详解】（1）解：点是一次函数的图象上的“梅岭点”，
，
，
，
解得：；
点是函数的图象上的“梅岭点”，
，
整理得：，
解得：，，
经检验：，，是此方程的根；
或；
故答案：；或．
（2）解：点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，
二次函数与直线有唯一的交点，
方程的根为：，
即：，
，
解得：，
二次函数的表达式．
（3）解：二次函数的图象过点，
，
，
图象上存在两个不同的“梅岭点”，，
，，
，，
、是方程的根，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，或，或，
，或，
解得：或，，，
，，
，当时，随着的增大而减小，
当时，，．
【点睛】本题考查了次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．
评委
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
评委6
评委7
打分
6
8
7
8
5
7
8
学校
平均数
中位数
众数
甲
75
m
90
乙
75
76
85
小江 小北
岗位A
岗位B
岗位C
岗位A
A、A
B、A
C、A
岗位B
A、B
B、B
C、B
岗位C
A、C
B、C
C、C