数学（湖北卷）-2024年中考数学考前押题卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．实数a在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
由数轴得出且，再根据有理数的加减运算法则逐一判断即可得．
【详解】解：由数轴知且，
则是负数，是负数，是负数，是正数，
故选：D．
2．下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
B中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；
C中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
D中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
故选：D．
3．下列式子中，是它的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可．
【详解】解：A、将代入原方程，左边右边，
选项符合题意；
B、∵将代入原方程，左边右边，
B选项不符合题意；
C、不是不等式的解，
选项不符合题意；
D、不是不等式组的解，
选项不符合题意．
综上所述，A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键．
4．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据两数之和与两数之差的乘积即为能够运用平方差公式，进行逐一分析，即可作答．
【详解】解：A、，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
B、，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
C、，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；
D、，运用完全平方公式，不能运用平方差公式运算，该选项是符合题意的；
故选：D
5．下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查本班同学的数学小测成绩
B．调查一批学生饮用奶的微量元素的含量
C．为保证载人航天器成功发射，对其零部件进行检查
D．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检
【答案】B
【分析】此题考查了全面调查和抽样调查，直接根据全面调查和抽样调查的意义分别分析即可得出答案，掌握抽样调查的意义是解题的关键．
【详解】解：、调查本班同学的数学小测成绩，适合全面调查，该选项不符合题意；
、调查一批学生饮用奶的微量元素的含量，适合抽样调查，该选项符合题意；
、为保证载人航天器成功发射，对其零部件进行检查，必须全面调查，该选项符合题意；
、对乘坐某班次飞机的乘客进行安检，必须全面调查，该选项不符合题意；
故选：．
6．下图是描述某校足球队员年龄的条形图，则这个足球队员年龄的中位数和众数分别是（ ）
A．14，14B．14.5，14C．15，15D．14.5，15
【答案】D
【分析】本题考查中位数、众数，根据中位数、众数的定义进行计算即可求解．
【详解】解：由条形统计图可知，有20名足球队员，
这20名足球队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁；
将这20名足球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁，
因此中位数岁
故选：D．
7．将一副直角三角板作如图所示摆放，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据，即可判断A选项；由，得到即可判断C选项；过点F作，根据平行线的性质求出，然后根据平角，即可判断B选项；由即可判断D选项．
【详解】解：，
，故A选项不符合题意；
，
，故C选项符合题意；
过点F作，如图，
，
，
，
，
，
；故B选项不符合题意；
，
，
，故D选项不符合题意．
故选：C．
8．如图，在矩形中，连接，分别以点A和C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点E，交于点F．若，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、矩形的性质和解直角三角形，如图，利用基本作图得到，，由于，则，所以，根据余弦的定义，在中求出，在中求出，然后计算即可，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
【详解】解：由作法得垂直平分，设垂足为点，如图，
，，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
故选：B．
9．如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【分析】过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，易得为的直径，根据圆周角定理，推出，求出的长，圆周角定理结合角平分线的性质，推出，设半径为，在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可．
【详解】解：过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，
∵，
∴为线段的中垂线，，
∵内接于，
∴三点共线，，
∴为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵是的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设半径为，则：，
∴，
在中，，
∴，解得：（舍去）或；
∴的半径为；
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形．
10．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点与点都是函数图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时n的值，进而可得n的取值范围．
【详解】解：由题意得：二次函数的图象上的顶点坐标为：，
∵y关于x的二次函数的图象存在“n阶方点”，
∴二次函数的图象与以坐标为的正方形有交点，
当二次函数恰好经过时，则，
解得：或（舍去）；
如当二次函数恰好经过时，则，
解得或（舍去）；
∴当时，二次函数的图象存在“n阶方点”，
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．古人常说的“一刹那”大约是小时，这个数据用科学记数法表示是 小时．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
12．已知点都在函数（为常数）的图象上，若，则 （用“”或“”填空）．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数值的大小比较，根据一次函数的增减性进行比较即可．
【详解】解：函数中，
，
随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
13．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种可能性，根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得
由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种可能性，所以概率为．
故答案为：
14．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方的值是 ．
【答案】21
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意可得解出即可．
【详解】解：根据题意可得
解得
．
故答案为：21．
15．如图，在边长为6的正方形中，E是边上一点，连接，在上取一点F，使，过点F作交于点G，若，时，则 ．
【答案】
【分析】在上取点，使，连接交于，证明，得，，，又，可知，从而证明，，由，得，设，则，，可得，根据，得，可解得，．
【详解】解：在上取点，使，连接交于，如图：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
设，则，
解得，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．证明三角形全等与相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：
（2）解不等式组
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，负整数指数幂，解一元一次不等式组：
（1）先计算特殊角三角函数值负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17．如图，在正方形中，点在上，延长到，使，连接、、，若，求的长．
【答案】的长是．
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．根据正方形的性质和全等三角形的性质，可以得到和的长，的度数，然后根据勾股定理即可得到的长．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
即的长是．
18．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进两种羽毛球拍进行销售，已知每副种球拍的进价比每副种球拍贵20元，用2800元购进种球拍的数量与用2000元购进种球拍的数量相同．
(1)求两种羽毛球拍每副的进价；
(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售种羽毛球拍每副可获利润25元，种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元
(2)购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，设总利润为w元，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求出m的范围；再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）解：设该商店购进A种羽毛球拍m副，总利润为w元，
根据题意，得，
解得，且m为正整数，
，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
当时，w取得最大值，最大利润为（元），
此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍（副），
答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．
19．“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立，小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析，下面是部分信息．
a．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：）
b．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是：63 65 65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69，根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(2)直接写出“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据中位数；若以各组的组中值代表各组的实际数据，求出“华罗庚数学奖”得主获奖时年龄数据的平均数（结果保留整数）；
(3)小华准备从“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在和这两组中任意选取两人了解他们的数学故事，求选取的两人年龄正好在同一组的概率．
【答案】(1)见解析(2)69，71(3)
【分析】本题考查统计图，求中位数，平均数，树状图法求概率：
（1）用年龄在这一组的人数除以所占的比例求出总数，进而求出的人数，补全直方图即可；
（2）根据中位数的定义，平均数的计算公式进行计算即可；
（3）用表示的三人，用表示中的两人，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：，
∴的人数为，
补全直方图如图：
（2）将数据排序后，第15个和第16个数据均为：69，
∴中位数为69；
平均数为：；
（3）用表示的三人，用表示中的两人，
画出树状图如图：
共有20种等可能的结果，其中两人是同一组的结果有8种，
∴．
20．如图，直线与反比例函数的图像交于
(1)求，的值；
(2)根据函数图像，求当时，的取值范围．
【答案】(1)，(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，
（1）将点代入反比例函数求出，将代入直线解析式求出值即可；
（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；
理解和掌握两个函数图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：；
（2）∵直线与反比例函数的图像交于点，，
∴，解得：或，
∴，
根据图像可知：当时，的取值范围为：或．
21．如图，中，，以为直径的交于点D，过点D分别作于点E，于点F，延长交于点G，延长分别交于点H，交于点M．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求，的长．
【答案】(1)见解析(2)，
【分析】本题考查了圆与三角形的综合问题，证明某直线是圆的切线，根据正切值求线段长度：
（1）连接，根据题意得到角度之间的关系，根据等边对等角可得到，即可得到结果；
（2）连接，先根据正切值以及勾股定理得到边长，然后根据三角形全等以及三角形的面积可得到关系式，解得边长，即可求得结果；
熟练运用知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
，
∵于点F，
∴，
则中，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
，
∵为的直径，
∴，
∵，
则在中，
设，则，
则在中，
∴，即，，
∵于点E，
∴，则，
∵在中，，，
∴等腰三角形中三线合一，即，
又∵于点E，于点F，
在中，，
∴，
∴，
则，
设，，
∵，
∴，即，
又∵中，
∴或（舍去），
则，，
∴，
∵在和中，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
22．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？
【答案】(1)(2)点E与隧道左壁之间的距离为米．
【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键．
（1）先根据坐标系确定点的坐标，然后用待定系数法即可解答；
（2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：，
设抛物线的解析式为：，
则有：，解得：，
∴．
（2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且，
∴点E到x轴的距离为9且在第一象限，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得：或（舍去）．
∴点E与隧道左壁之间的距离为米．
23．如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F．
(1)求证：；
(2)连接，若，且F为中点，求的值；
(3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值．
【答案】(1)答案见解析(2)(3)或或
【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
（2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可；
（3）分，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）证明： 四边形是矩形，，
，，
，，
，
；
（2），
，
，
，
，
设交于点G，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）或或．理由如下：
四边形是矩形，
，，，
①当时，，
P是的中点，
，
，
，
即，
设，则，
，，
，
，
；
②当时，，
，
设，，
则，，
，
，
解得，
，
由①知，
，
，
，
或或．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
24．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为的面积为，当最大值时，求点D的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到（点D和点F为对应点），直线交y轴于点P，点S为中点，连接，过点S作的垂线交x轴于点R，在对称轴上有一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，求直线的解析式．
【答案】(1)(2)D（，）(3)直线的解析式为或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的性质是关键；
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，过点D作y轴平行线交于点N，利用相似三角形的判定与性质得到，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，设，则，进而求得线段，求出线段，再利用配方法解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分两种情形讨论解答：①当时，利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得点R，Q的坐标，再利用待定系数法解答即可；②当时，利用①中的方法解答即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
令，则，
∴，
把和代入抛物线解析式中得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，过点D作y轴平行线交于点N，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵中边上的高与中边上的高相同，
∴，
设，则，
∴，
把代入中，得：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
∴D（，）；
（3）①当时，如图，
由（2）知：，
∵点D和点F关于直线对称，
∴．
∴直线的解析式为，
令，则，
∴ ，
根据题意可知：，
∴直线的解析式为．
∴直线的解析式为，
令，则．
∴．
∵直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
∴抛物线对称轴的解析式为，
当时， ，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
②当时，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
∵抛物线对称轴的解析式为，
∴当时，，
∴ ．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
综上，直线的解析式为或.