2024年山东省枣庄市台儿庄区九年级第二次模拟考试数学试题

这是一份2024年山东省枣庄市台儿庄区九年级第二次模拟考试数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上。
1.下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C．D．
第3题图
2.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
第5题图
3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图水中两束光线AB//CD，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（ ）
A．90° B．105° C．155° D．165°
4.关于的不等式组的整数解只有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与轴的正半轴
第6题图
夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（ ）
A．（，）B．（2，1） C．（，1）D．（2，）
6.如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，
与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点B．B点 C．C点D．D点
7. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、
“朤(lǎng)”、“朤(lǎng)” 四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张
并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）
A．B． C．D．
第8题图
8.如图，点A在反比例函数（）的图象上，过点A
作AB⊥轴，垂足为B，交反比例函数（）的图象于点C．
P为y轴上一点，连接PA，PC．则△APC的面积为（ ）
A．5B．6C．11D．12
第9题图
9.如图，在矩形ABCD中，E是CD上的一点，△ABE是等边三角形，
AC交BE于点F，则下列结论不成立的是（ ）
A.∠DAE＝30° B. C. ∠BAC=45° D.
10.已知二次函数（为常数）的图象与轴
有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每题3分，共18分,将答案填在答题纸上．
11.分解因式： ．
12.若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．
13. 某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 折．
第16题图
14.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 ．
第15题图
第14题图
15.如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_______．
16.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBiCiDiEi，则正六边形OAiBiCiDiEi（i＝2020）的顶点Ci的坐标是 ．
三、解答题：（满分72分）
17.（本题满分10分）（1）化简，再求值：，其中；
（2）先计算：．
18. （本题满分8分）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
（3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
19. （本题满分8分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
20.（本题满分8分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
第21题图
第20题图
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是______m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cs25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
21. （本题满分8分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22. （本题满分8分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD，AB，求AC长度及阴影部分面积．
第22题图
第22题图

23.（本题满分10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意补全图形，当MQ+CQ的值最大时，求点M的坐标．
24.（本题满分12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF
（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，
探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含的式子表示）．
（参考数据：sin15°，cs15°，tan15°）
2023--2024九年级数学二调试题参考答案
一、选择题;下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来填在相应的表格里。每小题3分，共30分.
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 12．；13．八（小写也对）；14．62°或118°；
15．；16.（1，）．
三、解答题：（满分72分）
17.（本题满分10分）
（1）（20·恩施）先化简，再求值：，其中．
解：原式

…………5分
当
原式…………6分
（2）（2023•赤峰）计算：；
解：原式

…………10分
18. （本题满分8分）某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
【收集数据】（2023•赤峰）
甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
【分析数据】
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
（3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
解：（1）甲班成绩从高到低排列为：70、71、72、78、79、79、85、86、89、91，故中位数a＝79；
众数b＝79，
乙班的方差为：[2×（85﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+（77﹣80）2+（73﹣80）2+（74﹣80）2+（90﹣80）2+（75﹣80）2]＝27；
故答案为：79，79，…………2分
27；…………4分
（2）乙班成绩比较好，理由如下：
两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好；…………6分
（3）45×+40×＝42（人），
答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人．…………8分
19. （本题满分8分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2021▪聊城）
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
解：（1）设A 种花弃每盆元，B 种花卉每盆（）元．
根据题意，得．…………1分
第20题图
解这个方程，得.…………2分
经检验知，是原分式方程的根，并符合题意．…………3分
此时（元）．
所以，A种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元．…………4分
（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，
则t≤（6000－t），…………5分
解得∶t≤1500.
由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000. …………6分
因为w是t的一次函数，k＝－0.5＜0，w随t的增大而减小，
所以当t＝1500 盆时，w最小．…………7分
w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．
所以，购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元．…………8分
20. （本题满分8分）（19·山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是______m．
任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．
（参考数据：sin25.7°≈0.43，cs25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
解：任务一：由题意可得，四边形ACDB，四边形ADEH是矩形，
∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5，
故答案为：5.5；…………2分
任务二：设EGm，
在Rt△DEG中，∠DEC＝90°，∠GDE＝31°，
∵tan31°，
∴DE，…………3分
在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°，
∵tan25.7°，
∴CE，…………4分
∵CD＝CE－DE，
∴，…………6分
∴x＝13.2，…………7分
∴GH＝CE＋EH＝13.2＋1.5＝14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7米；…………8分
任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等．
21. （2022▪达州）（本题满分8分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∵反比例函数y＝经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；…………2分
（2）由题意，得，
解得或，…………3分
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；…………5分
（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为
（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．…………8分
注：每个坐标正确得1分
22. （2022•通辽）（本题满分8分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．
解：（1）证明：如图，连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠ABO＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥EC，
∵OD是半径，
∴EC是⊙O的切线；…………4分
（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，
设OD＝4x，则OC＝5x，
∴CD＝＝3x＝AC，
在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），…………5分
∴AC＝3x＝3，…………6分
OC＝5x＝5，O＝OD＝4x＝4，
∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，
∴△COD∽△CEO，
∴＝，
即，
∴EC，…………7分
∴S阴影部分＝S△COE﹣S扇形
＝××4﹣
＝﹣4π，…………8分
23. （2023•宁夏）（本题满分10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意补全图形，当MQ+CQ的值最大时，求点M的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a①，
∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），
∴a﹣b+3＝0②，
联立①②得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0得﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴点B的坐标为（3，0）；…………3分
（2）如图，连接BC，线段BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P，
设直线CB的表达式为 y＝kx+b′，
把C（0，3）和B（3，0）代入得：
解得，
∴直线CB的表达式为y＝﹣x+3，…………4分
∴当x＝1时，y＝2，
∴P（1，2），
∵OB＝OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝，
∵点A，B关于直线x＝1对称，
∴PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC＝BC＝3；…………6分
（3）如图补全图形，
由（1）得抛物线的表达式为 y＝x2+2x+3，由（2）得：yBC＝﹣x+3，
故设M（t，﹣t2+2t+3），则Q（t，﹣t+3）．
∴MQ…………7分
过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则△CDQ是等腰直角三角形．
∴CQ，…………8分
∴＝﹣t2+3t+2t＝﹣t2+5t＝﹣（t﹣）2+，…………9分
∴当t＝ 时， 有最大值，
此时点M．…………10分
24.（2022•江西）（本题满分12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF
（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，
探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
操作发现
（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；
类比探究
（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
拓展应用
（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含的式子表示）．
（参考数据：sin15°，cs15°，tan15°）
解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM＝ON，
∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON＝∠EOF＝90°，
∴∠MOJ＝∠NOK，
∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，
∴△OMJ≌△ONK（AAS），
∴S△PMJ＝S△ONK，
∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，
∴S1＝S．
故答案为：1，1，S1＝S．…………3分
（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT＝CT，
∵BM＝CN，
∴MT＝TN，
∵OT⊥MN，
∴OM＝ON，
∵∠MON＝60°，
∴△MON是等边三角形；…………6分
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SAS），
∴∠COM＝∠CON＝30°，
∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，
∵BJ＝JC＝OJ＝1，
∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，
∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，
∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．…………10分
（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，
即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，
∴MN＝2MQ＝2tan，
∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．…………11分
如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．
同法可证△COM≌△CON，
∴∠COM＝α，
∵∠COQ＝45°，
∴∠MOQ＝45°﹣α，
QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），
∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），
∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．…………12分
班级
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80，85
c
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图
说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠GCE的度数
25.6°
25.8°
25.7°
∠GDE的度数
31.2°
30.8°
31°
A，B之间的距离
5.4m
5.6m
…
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
D
B
B
C
D
班级
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
甲班
6
3
1
乙班
4
5
1
班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
80
a
b
51.4
乙班
80
80
80，85
c
课题
测量旗杆的高度
成员
组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图
说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠GCE的度数
25.6°
25.8°
25.7°
∠GDE的度数
31.2°
30.8°
31°
A，B之间的距离
5.4m
5.6m
…
…