2025届高考数学一轮总复习单元质检卷六立体几何与空间向量

这是一份2025届高考数学一轮总复习单元质检卷六立体几何与空间向量，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.如果一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线
C.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直
D.平行于同一平面的两条直线互相平行
2.如果直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线( )
A.只有一条,不在平面α内
B.有无数条,不一定在平面α内
C.只有一条,且在平面α内
D.有无数条,一定在平面α内
3.某种药物呈胶囊形状,该胶囊中间部分为圆柱,左右两端均为半径为1的半球.已知该胶囊的体积为π,则它的表面积为( )

A.πB.π
C.10πD.π
4.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为( )
A.8B.12C.16D.20
5.(2023甘肃一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,BC=AC=2,AA1=1,点M,N分别是A1B1,A1C1的中点,则异面直线BM与CN所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的截面与AC交于点D,与BC交于点E,该截面将三棱柱分成体积相等的两部分,则=( )
A.B.
C.D.
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若=2,则=( )
A.B.2
C.D.
8.在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,BC⊥PC,PA=AC=,BC=a,动点Q从B点出发,沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为,则该棱锥的外接球的表面积为( )
A.5πB.8π
C.10πD.20π
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.关于空间两条不同直线a,b和两个不同平面α,β,下列说法正确的是( )
A.若a⊥α,b⊥α,则a∥b
B.若a⊥b,b⊥β,则a∥β
C.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
D.若a∥α,α⊥β,则a⊥β
10.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且AA1=AB=2.下列说法正确的是( )
A.四棱锥B-A1ACC1为“阳马”
B.四面体A1-C1CB为“鳖臑”
C.过A点分别作AE⊥A1B于点E,AF⊥A1C于点F,则EF⊥A1B
D.四棱锥B-A1ACC1体积最大为
11.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱CC1的中点,F为棱AA1上的点,且满足A1F∶FA=1∶2,点F,B,E,G,H为过三点B,E,F的平面BMN与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的交点,则下列说法正确的是( )
A.HF∥BE
B.三棱锥B1-BMN的体积为6
C.直线MN与平面A1B1BA的夹角是45°
D.D1G∶GC1=1∶3
12.在正方体AC1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F与平面D1AE的垂线垂直,如图所示,下列说法正确的是( )
A.点F的轨迹是一条线段
B.A1F与BE是异面直线
C.A1F与D1E不可能平行
D.三棱锥F-ABD1的体积为定值
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知圆锥同时满足条件:①侧面展开图为半圆;②底面半径为正整数,请写出一个这样的圆锥的体积V= .
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1CC1与平面BDC1的交线是 .
15.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6,其内切球的半径为1,则此三棱锥的高为 .
16.(2023山东潍坊一模)在半径为1的球中作一个圆柱,当圆柱的体积最大时,圆柱的母线长为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.
(1)求异面直线EF与CD1所成角的大小;
(2)求证:EF⊥平面A1CD.
18.(12分)(2023安徽合肥一模)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,AB=AC=AA1=2,M为AB的中点,N为B1C1的中点,P是BC1与B1C的交点.
(1)求证:A1C⊥BC1.
(2)在线段A1N上是否存在点Q,使得PQ∥平面A1CM?若存在,请确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.
19.(12分) 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示,底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)求证:EF∥平面ABCD;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
20.(12分)(2023新高考Ⅰ,18) 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
(1)求证:B2C2∥A2D2;
(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)求证:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
22.(12分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=CD=1,PD=.
(1)若M为PA中点,求证:AC∥平面MDE;
(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(3)在线段PC上是否存在一点Q(除去端点),使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为?若存在,请说明点Q的位置;若不存在,请说明理由.
单元质检卷六 立体几何与空间向量
1.C
解析当三点共线时,不能确定一个平面,故A错误;
如果一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内的任意一条直线可能平行也可以异面,故B错误;
由线面垂直的判定定理知C正确;
平行于同一平面的两条直线可能平行,可能相交也可以异面,故D错误.
故选C.
2.C
解析过a与P作一平面β,由于P∈α,
故可设平面α与平面β的交线为b,且P∈b,
由平面的基本性质可知两平面的交线b是唯一的,
因为直线a∥平面α,所以a∥b,
即过点P和已知直线a平行的直线有且只有一条,且在平面α内.
3.C
解析设中间圆柱部分的高为h,则胶囊的体积V=π×13+π×12×h=,解得h=3,所以胶囊的表面积为4π×12+2π×1×3=10π.
4.B
解析如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD的边长为2,
设点P在底面ABCD的投影点为点O,则四棱锥P-ABCD的高PO=,
则O为AC的中点,且AO=AC=AB=,PB=PA=.
取AB的中点E,连接PE,则PE⊥AB,且PE==2,
则S△PAB=AB·PE=2,故正四棱锥P-ABCD的表面积S=4S△PAB+S四边形ABCD=4×2+2×2=12.故选B.
5.A
解析如图,分别取AB,AC的中点G,F,连接AG,AF,
由题意易知,四边形A1MBG为平行四边形,所以A1G∥BM,同理,A1F∥NC,
所以异面直线BM与CN所成角为∠GA1F或其补角,又GF=BC=,A1F=,A1G=,因为A1F2+GF2=A1G2,所以A1F⊥FG,
在Rt△A1GF中,cs∠GA1F=,
因此,直线BM与CN所成角的余弦值为.
故选A.
6.D
解析由题可知平面A1B1ED与棱柱上、下底面分别交于A1B1,ED,
则A1B1∥ED,ED∥AB,显然CDE-C1A1B1是三棱台,
设△ABC的面积为1,△CDE的面积为S,三棱柱的高为h,
则·1·h=h(1+S+),解得,
由△CDE∽△CAB,可得.
7.C
解析如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π.设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=,h2=2,所以,故选C.
8.B
解析将侧面PBC沿PC翻折到与侧面PAC共面,如图所示.
则动点Q从B点出发,沿外表面经过棱PC上一点到点A的最短距离为AB.
∵PA⊥底面ABC,AC⊂平面ABC,∴PA⊥AC.又BC⊥PC,PA=AC,
∴∠ACB=,
∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcs∠ACB=2+a2+2a×=10,解得a=2.
∴PB==2.
取PB中点O,连接AO,CO,
∵PA⊥AB,PC⊥BC,
∴AO=CO=PB,
∴O为该棱锥的外接球的球心,其半径R=PB=,
∴球O的表面积S=4πR2=8π.
故选B.
9.AC
解析对于A,若a⊥α,b⊥α,则直线a和b相当于平面α的法向量,故a∥b,故A正确;
对于B,若a⊥b,b⊥β,则a∥β或a⊂β,故B错误;
对于C,若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b,故C正确;
对于D,若a∥α,α⊥β,则a⊥β或a与β相交或a∥β,故D错误.
故选AC.
10.ABC
解析由题意可知,AA1⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,
所以AA1⊥BC,又AC⊥BC,且AA1∩AC=A,则BC⊥平面AA1C1C,
所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”,故A项正确;
由AC⊥BC,得A1C1⊥BC,又A1C1⊥C1C且C1C∩BC=C,所以A1C1⊥平面BB1C1C,
又BC1⊂平面BB1C1C,
所以A1C1⊥BC1,故△A1BC1为直角三角形.
又由BC⊥平面AA1C1C,得△A1BC为直角三角形,
由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形,△CC1B为直角三角形,
所以四面体A1-C1CB为“鳖臑”,故B项正确;
因为BC⊥平面AA1C1C,所以BC⊥AF,又AF⊥A1C且A1C∩BC=C,则AF⊥平面A1BC,所以AF⊥A1B.又AE⊥A1B且AF∩AE=A,所以A1B⊥平面AEF,故A1B⊥EF,故C项正确;
在底面有4=AC2+BC2≥2AC×BC,即AC×BC≤2,当且仅当AC=BC时等号成立,
×BC=AA1×AC×BC=AC×BC≤,故D项不正确.故选ABC.
11.AD 对于A选项,由于平面ADD1A1∥平面BCC1B1,而平面BMN与这两个平面分别交于HF和BE,根据面面平行的性质定理可知HF∥BE,故A正确;
由于A1F∶FA=1∶2,而E是CC1的中点,故MA1=1,C1N=2.
对于B选项,×MB1×NB1×BB1=×3×4×2=4,故B错误;
对于C选项,因为B1N⊥平面A1B1BA,所以直线MN与平面A1B1BA所成的角为∠NMB1,且tan∠NMB1=≠1,故C错误;
对于D选项,可知D1G=,GC1=,故D正确.
故选AD.
12.ABD
解析对于选项A,如图,分别找线段BB1,B1C1的中点M,N,连接A1M,MN,A1N.由题得MN∥AD1,MN⊄平面D1AE,AD1⊂平面D1AE,所以MN∥平面D1AE.又A1M∥D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,所以A1M∥平面D1AE.又MN∩A1M=M,所以平面A1MN∥平面D1AE.因为A1F与平面D1AE的垂线垂直,又A1F⊄平面D1AE,所以直线A1F与平面D1AE平行,所以A1F⊂平面A1MN.又平面A1MN∩平面BCC1B1=MN,所以点F的轨迹为线段MN,故选项A正确;对于选项B,由图可知,AF与BE是异面直线,故选项B正确;对于选项C,当点F与点M重合时,直线A1F与直线D1E平行,故选项C错误;对于选项D,因为MN∥AD1,MN⊄平面ABD1,AD1⊂平面ABD1,所以MN∥面ABD1,则点F到平面ABD1的距离是定值,又三角形ABD1的面积是定值,所以三棱锥F-ABD1的体积为定值,故选项D正确.故选ABD.
13.π(答案不唯一)
解析设底面半径r=1,母线长为l,由展开图为半圆,可知2π=l·π,所以l=2,所以高h=,则体积V=·π·π.
14.C1M
解析因为C1∈平面A1CC1,且C1∈平面BDC1,同时M∈平面A1CC1,且M∈平面BDC1,
所以平面A1CC1与平面BDC1的交线是C1M.
15.3
解析设三棱锥的高为h.因为底面外接圆的半径r==2,且底面三角形的高为3,
所以底面外接圆圆心到底面各边的距离为,
由正三棱锥的结构知,各侧面三角形的高为,
所以各侧面三角形的面积为×6×=3,
则h××62×sin60°=×1×9×62×sin60°,则(h-1)=,可得h=3.
16.
解析设圆柱的底面半径为r,球心到圆柱底面的距离为h(00,当h∈时,V'