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2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练19利用导数研究不等式恒能成立问题
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练19利用导数研究不等式恒能成立问题,共6页。试卷主要包含了已知函数f=ax-,x∈0,,已知f=ex-ax2-x-1等内容,欢迎下载使用。
(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x),00,且x→时,g'(x)→-∞,
∴存在x0∈使得g'(x0)=0.
∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴此时存在x,使得g(x)>g(0)=0,不满足题意.
综上,a≤3.
(方法2)f(x)=ax-=ax-tan3x-tanx,
令g(x)=sin2x-f(x),由f(x)0,即+tan3x+tanx-ax>0,
∴g'(x)=+3(tan2x+1)2-2(tan2x+1)-a.
令t=tan2x+1(t>1),则h(t)=+3t2-2t-a,h'(t)=,
令φ(t)=3t3-t2-2,则φ'(t)=9t2-2t,当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,∴φ(t)在(1,+∞)上单调递增,
又φ(1)=0,∴φ(t)>0,∴h'(t)>0,∴h(t)在(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=3-a,
当a≤3时,3-a≥0,h(t)>0,∴g'(x)>0,g(x)在内单调递增,g(x)>0对x∈恒成立.
当a>3时,若g(x)>g(0)=0对x∈恒成立,则h(1)=3-a0,f(x)单调递增;当x∈(0,x0)时,f'(x)0,将不等式两边取对数得ln(x+1)-ax≤lnx+1,即ln(x+1)-lnx+1-ax≤0.因此只需证明当x≥0时,不等式ln(x+1)-lnx+1-ax≤0恒成立即可.
令g(x)=ln(x+1)-lnx+1-ax,x≥0,则g'(x)=-a=-a.
若a≥,因为当x≥0时,,
所以g'(x)=-a≤0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递减,因此g(x)≤g(0)=0.
若a0,所以g'(x)=-a>0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,因此g(x)≥g(0)=0,不符合题意.
若0g(0)=0,不符合题意.
综上,当不等式f(x)≤x+1恒成立时,实数a的取值范围是,+∞.
4.解(1)由题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-3+,
故当x∈0,时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈,1时,f'(x)
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