2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练38基本立体图形及空间几何体的表面积和体积

这是一份2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练38基本立体图形及空间几何体的表面积和体积，共9页。试卷主要包含了定义，下列四个论断不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.如图,能旋转形成该几何体的平面图形是( )
2. 用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的,若原平面图形OABC的面积为3,则O'A'的长为( )
A.2B.
C.D.
3.已知一个圆柱的轴截面为正方形,且它的侧面积为36π,则该圆柱的体积为( )
A.16πB.27πC.36πD.54π
4.“阿基米德多面体”也称半正多面体,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,若该多面体的棱长为1,则经过该多面体的各个顶点的球的体积为( )
A.B.
C.4πD.8π
5.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为( )
A.2∶3B.3∶2
C.1∶2D.3∶4
6.定义:24小时内降水在平地上积水厚度(单位:mm)来判断降雨程度.其中小雨(V2,故D正确.故选AB.
8.
解析设该正四棱锥为P-ABCD,由正四棱锥和外接球的性质可知球的球心在正四棱锥的高所在的直线上,设球心为O,底面中心为E(图略),
因为底面是正方形,
所以DE==5,
在直角三角形ODE中,OD2=OE2+DE2,设球的半径为r,有r2=(r-7)2+50⇒r=.
9.
解析设正四棱锥底面边长为2a,且正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°,则正四棱锥的高为a.
又正四棱锥的侧面积为4,所以每个侧面的面积为.
则×2a×a=,解得a=1.
即正四棱锥的高为,故该正四棱锥的体积为×22×.
10.BD
解析依题意圆柱的底面半径为R,高为2R,故圆柱的体积为πR2×2R=2πR3,故A错误;
由题可得,圆锥的母线长为R,圆锥的侧面积为πR×R=πR2,故B正确;
∵圆柱的侧面积为4πR2,圆锥表面积为πR2+πR2,故C错误;
圆柱的体积V圆柱=πR2·2R=2πR3,圆锥的体积V圆锥=πR2·2R=πR3,球的体积V球=πR3,
故V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,故D正确.
故选BD.
11.C
解析在四棱锥P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.
设CD的中点为E,AB的中点为F,
由几何知识得,△CDP关于PE对称,点P在平面PEF内,且PA=PB.
在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,
由勾股定理得,AC==4.
在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cs∠PCA,解得PA=,∴PB=PA=.在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cs∠BCP,解得cs∠BCP=,∴sin∠BCP=.∴S△PBC=BC·PC·sin∠BCP=4.故选C.
12.6+4
解析因为直三棱柱ABC-A1B1C1的高为2,设内切球的半径为r,
所以2r=2,得r=1.
设AB=a,AC=b,BC=c,因为AB⊥AC,所以a2+b2=c2.
因为S△ABC=ab=(a+b+c)·r=(a+b+c),所以△ABC周长的最小值即为面积的最小值的2倍,
而S△ABC=ab≤=,
当且仅当“a=b”时取等号.
当a=b时,底面三角形ABC周长最小,
所以c=a,
所以ab=(a+b+c)·r⇒ab=a+b+c⇒a2=2a+a,解得a=2+.
故△ABC周长的最小值为a+b+c=4+2(2+)=6+4.
13.解(1)连接EF,EB,BC1,长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=D1F=2,且A1E∥D1F,
所以四边形A1EFD1是平行四边形,所以A1D1与EF平行且相等,
所以EF与BC平行且相等,所以四边形EFCB为平行四边形,
所以FC∥BE,直线CF与C1E所成角就是∠C1EB或其补角,
C1E==13,
EB==4,
C1B=,
在△C1EB中,由余弦定理,cs∠C1EB=,所以直线CF与C1E所成角的余弦值为.
(2)设围成的正方形为EFNM,则EM=5,作EP⊥AB于点P,作FQ⊥DC于点Q,
所以PM=3,所以点M在点P的右侧,平面α把该长方体分成的两部分为直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1,两个直棱柱的高相等,两部分体积之比为.
14.ABD
解析对于A选项,正方体内切球直径为1m.因为1>0.99,故A正确;
对于B选项,如图(1),正方体内部最大的正四面体棱长为BA1=>1.4,故B正确;
图(1)
图(2)
对于C选项,如图(2),因为圆柱的底面直径为0.01m(可忽略不计),故可将高为1.8m的圆柱看作长为1.8m的线段,而正方体的体对角线AC1长为m,且 1.2,故D正确.故选ABD.
图(3)①
图(3)②
15.(1)解由题可知,四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
可以从整个多面体的角度考虑,所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知,
四棱锥共有5个顶点,5个面,其中4个为三角形,1个为四边形.
所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形,1个为四边形组成,
则其总曲率为2π×5-(4π+2π)=4π.
(2)证明设顶点数、棱数、面数分别为n,l,m,
所以有n-l+m=2.
设第i个面的棱数为xi,所以x1+x2+…+xm=2l,
所以总曲率为2πn-π[(x1-2)+(x2-2)+…+(xm-2)]=2πn-π(2l-2m)=2π(n-l+m)=4π,
所以这类多面体的总曲率是常数.