2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练45综合问题

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(1)求证:直线PE⊥平面BCD;
(2)求异面直线BD和PC所成角的余弦值.
2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,点D在以AP为直径的圆上,平面PAD⊥平面ABCD,PA=2,PB=,平面PBC∩平面PAD=m.
(1)求证:直线m⊥平面PDC;
(2)当三棱锥P-ABD体积最大时,求二面角C-PB-A的余弦值.
3.(2023山西统考模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.
(1)求点B到平面PCD的距离.
(2)线段PD上是否存在一点E,使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
4.如图,在四边形PDCB中,PD∥BC,BA⊥PD,PA=AB=BC=1,AD=.沿BA将△PBA翻折到△SBA的位置,使得SD=.
(1)作出平面SCD与平面SBA的交线l,并求证:l⊥平面CSB;
(2)点Q是棱SC上异于S,C的一点,连接QD,当二面角Q-BD-C的余弦值为时,求三棱锥Q-BCD的体积.
5.(2023河南焦作二模)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,E为BC的中点,F为AB上一点,且EF⊥AB.现将△BEF沿EF翻折到△B'EF,如图2.
图1
图2
(1)求证:EF⊥AB'.
(2)已知二面角B'-EF-A为,在棱AC上是否存在点M,使得直线BC与平面B'MF所成角的正弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,请说明理由.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:直线BD⊥平面PAC;
(2)求直线PB与平面PAD所成角的正切值;
(3)设点M在线段PC上,且平面MBC与平面MBA夹角的余弦值为,求点M到底面ABCD的距离.
课时规范练45 综合问题
1.(1)证明因为平面PBD⊥平面BCD,且平面PBD∩平面BCD=BD,又由图1可知AB=AD,且E为BD中点,所以AE⊥BD,即PE⊥BD.
又PE⊂平面PBD,所以PE⊥平面BCD.
(2)解建立空间直角坐标系,以E为坐标原点,EB所在直线为x轴,在平面BDC且垂直BD的直线为y轴,EP所在直线为z轴,如图所示.
由题图1可知△ABD为等腰直角三角形,
所以∠ADB=∠DBC=∠DCB=45°,
所以△DBC为等腰直角三角形.
因为AD=AB=,所以PD=PB=,所以DB=DC==2,
所以B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),C(-1,2,0),所以=(-2,0,0),=(-1,2,-1),
所以cs=,
所以异面直线BD和PC所成角的余弦值为.
2.(1)证明因为四边形ABCD是矩形,所以AD⊥CD.
因为点D在以AP为直径的圆上,
所以AD⊥DP,CD∩DP=D,
CD,DP⊂平面PDC,所以AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
所以AD∥平面PBC.
因为平面PBC∩平面PAD=m,所以AD∥m,所以直线m⊥平面PDC.
(2)解设PD=x,所以AD=(0