2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练51双曲线

这是一份2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练51双曲线，共8页。试卷主要包含了双曲线C，已知曲线C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。

1.(2023河南开封三模)已知双曲线x2-my2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±xB.y=±x
C.y=±xD.y=±x
2.双曲线C:=1(a>0,b>0)过点(),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( )
A.x2-=1B.-y2=1
C.x2-=1D.-y2=1
3.已知双曲线=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,则实数a=( )
A.5B.6C.8D.9
4.定义实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线,若双曲线=1(a>0,b>0)是黄金双曲线,则等于( )
A.B.
C.D.
5.(2023山东菏泽二模)设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,过左焦点F1作直线F1P,与圆x2+y2=a2切于点E,与双曲线右支交于点P,且△OF1P为等腰三角形,则双曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.
6.(多选)已知方程=1表示的曲线是双曲线,其离心率为e,则( )
A.-B.点(2,0)是该双曲线的一个焦点
C.1D.该双曲线的渐近线方程可能为x±2y=0
7.(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
A.若m>n>0,则曲线C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则曲线C是圆,其半径为
C.若mn<0,则曲线C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则曲线C是两条直线
8.(多选)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,且其右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为=1
B.点A到双曲线C的渐近线的距离为
C.若|PF1|=6,则|PF2|=2
D.若=0,则△PF1A的外接圆半径为
9.已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则双曲线C的焦距为 .
10.已知双曲线有一个焦点F(0,-2),它的离心率是方程2x2-5x+2=0的一个根,则双曲线的标准方程是 .
11.写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程: .
①中心在原点,焦点在y轴上;②一条渐近线方程为y=2x;③焦距大于10.
综合提升组
12.(2023北京丰台二模)已知圆C:x2+y2-6x+8=0,若双曲线y2-=1(m>0)的一条渐近线与圆C相切,则m=( )
A.B.
C.2D.8
13.(2023贵州毕节一模)已知F1,F2为双曲线C的两个焦点,以坐标原点O为圆心,半径长为的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cs∠F1NF2=,则C的离心率为( )
A.B.
C.D.
14.(多选)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,A,B分别是双曲线C的左、右顶点,点P是双曲线C的右支上位于第一象限内的动点,记PA,PB的斜率分别为k1,k2,则( )
A.双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时,双曲线C的方程为-y2=1
B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x
C.k1k2为定值
D.存在点P,使得k1+k2=1
15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,PF1交双曲线的另一条渐近线于点Q,且满足3=2,则双曲线的渐近线的斜率为 .
16.已知双曲线C1:=1(b>0)的右焦点为F,其一条渐近线的方程为x-2y=0,点P为双曲线C1与圆C2:(x+3)2+y2=r2(r>0)的一个交点,若|PF|=4,则双曲线C1的离心率为 ,r= .
创新应用组
17.点F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作直线AB⊥F1F2交双曲线C于A,B两点,现将双曲线所在平面沿直线F1F2折成平面角为锐角α的二面角,如图,翻折后A,B两点的对应点分别为A',B',∠A'F1B'=β,若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.
C.2D.3
课时规范练51 双曲线
1.D
解析 由题意,得x2-=1,故c2=1+=4,=3,渐近线方程为y=±x=±x.故选D.
2.A
解析因为e==2,所以c=2a,b=a,
所以双曲线的方程为=1.
将点()的坐标代入双曲线的方程可得=1,解得a=1,所以b=,
所以双曲线的方程为x2-=1.
故选A.
3.A
解析因为双曲线=1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍,所以2×=2×3×,解得a=5.故选A.
4.A
解析由题可知,
所以2a2=(3-)c2=(3-)(a2+b2),
解得.
故选A.
5. A
解析 因为直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,则OE⊥F1P,而△OF1P为等腰三角形,
必有|OP|=|OF1|,则E为F1P的中点,而O为F1F2的中点,于是OE∥PF2,PF1⊥PF2,
所以|PF2|=2|OE|=2a.由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a.令双曲线焦距为2c,由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即c2=5a2,有e2=5,即e=.故选A.
6.AC
解析对于A,因为方程=1表示的曲线是双曲线,所以(m2-2)(m2+2)<0,解得-对于B,=1可化为=1,所以双曲线的焦点在y轴上,故选项B错误;
对于C,因为2≤m2+2<4,所以e2=∈(1,2],故选项C正确;
对于D,因为双曲线的渐近线斜率的平方k2=≥1,所以选项D错误.
故选AC.
7.ACD
解析∵m>n>0,∴>0.
∵mx2+ny2=1,∴=1,故曲线C是焦点在y轴上的椭圆,故A正确;
∵m=n>0,∴x2+y2=,即曲线C是圆,
半径r=,故B错误;
由mx2+ny2=1,得=1.
∵mn<0,异号,∴曲线C是双曲线.
令mx2+ny2=0,可得y2=-x2,
即y=±x,故C正确;
当m=0,n>0时,有ny2=1,得y2=,即y=±,表示两条直线,故D正确.故选ACD.
8.ABD
解析由离心率为,右顶点为A(2,0),可得a=2,c=3,故b=,故双曲线C的方程为=1,A正确;双曲线的渐近线方程为y=±x,故点A到双曲线C的渐近线的距离为,B正确;由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=4,若|PF1|=6,则|PF2|=2或|PF2|=10,C错误;=0,则,△PF1A的外接圆半径为,D正确.
9.4
解析由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,
解得m=3,可得C的焦距为2=4.
10.y2-=1
解析由2x2-5x+2=0得x1=2,x2=.
因为双曲线的离心率e>1,所以e=2.
由题可得c=2,所以e==2,解得a=1,
所以b=.
因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y2-=1.
11.=1(答案不唯一,写出一个即可)
解析由①可设双曲线方程为=1(a>0,b>0).
由②知=2,即a=2b.由③知2c>10,即c>5.
则可取c=6(此处也可取大于5的其他数).
∵a2+b2=c2,∴(2b)2+b2=36.
∴b2=.∴a2=4b2=.
则同时满足性质①②③的一个双曲线方程为=1.
12.C
解析 圆C:x2+y2-6x+8=0变形为(x-3)2+y2=1,故圆心为(3,0),半径为1.
双曲线y2-=1(m>0)的渐近线方程为y=±,不妨取y=,即x-my=0.
由双曲线的渐近线与圆C相切,得=1,解得m=±2,负值舍去.故选C.
13.C
解析 (方法1)
如图,点E为切点,则OE⊥MN,过点F作F2F⊥MN,垂足为点F,则FF2∥OE.
∵|OE|=r=,|OF1|=c,则|EF1|=c.点O是线段F1F2的中点,故点E是线段F1F的中点,则|FF1|=c,|FF2|=c.由cs∠F1NF2=,则tan∠F1NF2=,则|NF|=c,|NF2|=c.
由|NF1|-|NF2|=2a,得c+c-c=2a,解得,故选C.
(方法2 利用求双曲线离心率的二级结论)
由题意OE⊥F1E,且|OE|=|OF1|,∴∠EF1O=.设∠F1NF2=α,∵csα=,∴sinα=.
在△F1NF2中,sin∠F1F2N=sinπ-+α=sin+α=,
∴离心率e=
=,故选C.
14.AC
解析因为双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,所以e=,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,B不符合题意;
因为双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离为1,
所以b=1.
又,所以a=2,所以双曲线方程为-y2=1,A符合题意;
因为A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),
则k1k2=,C符合题意;
k1+k2=.因为点P在第一象限,渐近线方程为y=±x,所以02,所以k1+k2>1,所以不存在点P,使得k1+k2=1,D不符合题意.
故选AC.
15.±
解析不妨设直线PF2垂直于渐近线y=x,由解得点P.
又,且F1(-c,0),
所以Q.
又点Q在直线y=-x上,
所以=-,所以b2=3a2.
故双曲线的渐近线的斜率为±.
16. 8
解析因为a=2,一条渐近线的方程为x-2y=0,所以b=,所以c==3,
所以双曲线C1的离心率为e=.
由上可知圆C2的圆心为双曲线C1的左焦点,设双曲线C1的左焦点为F2.
因为|PF|=4又|PF2|-|PF|=2a=4,所以r=|PF2|=8.
17.D
解析设A'F2=y,A'B'=x,A'F1=z(x,y,z均为正数).
∵csα=,csβ=,
∴.
∴.
在Rt△A'F1F2中,,
∴3b2=8ac.
即3(c2-a2)=8ac,即3e2-8e-3=0,解得e=3或e=-(舍去).故选D.