2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练52抛物线

这是一份2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练52抛物线，共6页。试卷主要包含了抛物线y=8mx2的焦点坐标是，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是( )
A.B.
C.D.
2.(2023江西鹰潭一模)已知抛物线y2=18x的焦点为F,准线为l,点P为C上一点,过P作l的垂线,垂足为A,若AF的倾斜角为150°,则|PF|=( )
A.6B.5C.4D.3
3.已知F为抛物线y2=4x的焦点,点P(x0,y0)是该抛物线上的一点.若|PF|>2,则( )
A.x0∈(0,1)
B.x0∈(1,+∞)
C.y0∈(2,+∞)
D.y0∈(-∞,2)
4.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线=1的右焦点重合,则p的值为( )
A.4B.2
C.D.2
5.在平面直角坐标系中,已知M(2,0),点B为直线l:x=-2上的动点,点A在线段MB的垂直平分线上,且AB⊥l,则动点A的轨迹方程是( )
A.y2=8xB.y2=4x
C.x2=8yD.x2=4y
6.(2023河南洛阳三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上的点,线段AF的垂直平分线经过点B0,,则|AF|=( )
A.2pB.p
C.2pD.2p
7.(多选)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A.若直线AF的斜率k=-,则下列结论正确的是( )
A.准线方程为x=-3
B.焦点坐标F
C.点P的坐标为
D.PF的长为3
8.若抛物线C焦点在y轴上,且过点(2,1),则抛物线C的标准方程是 .
9.(2023山东青岛一模)已知O为坐标原点,在抛物线y2=2px(p>0)上存在两点E,F,使得△OEF是边长为4的正三角形,则p= .
综合提升组
10.(多选)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),焦点为F,则( )
A.点M到焦点的距离为3
B.直线MF与x轴垂直
C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=0
11.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,点F为抛物线的焦点,点P为抛物线上一个动点,点Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A.7B.7C.8D.8
12.(多选)已知抛物线x2=y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论正确的是( )
A.点F的坐标为
B.若直线MN过点F,则x1x2=-
C.若=λ,则|MN|的最小值为
D.若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x轴的距离为
13.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为其焦点,以点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点.若△FBC为等腰直角三角形,且△ABC的面积是4,求抛物线的方程.
创新应用组
14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线C上,且|MF|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.
课时规范练52 抛物线
1.B
解析由y=8mx2(m<0),得x2=y,所以抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是.故选B.
2.A
解析 由题意,得F,0,准线方程为x=-,设准线与x轴交于点K,P(xP,yP),则|KF|=9.
如图,因为AF的倾斜角为150°,所以∠AFK=30°,
故|AK|=|KF|tan30°=3,所以yP=3,则xP=.所以|PF|=|AP|=xP+=6.故选A.
3.B
解析由题可知=1,所以|PF|=x0+1>2,解得x0>1.故选B.
4.A
解析由题可知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为,双曲线=1的右焦点为(2,0).
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,
所以=2,解得p=4.
故选A.
5.A
解析由题可知|AB|=|AM|,AB⊥l,所以点A的轨迹是以点M为焦点,以直线l为准线的抛物线,所以=2,解得p=4,所以点A的轨迹方程为y2=8x.
故选A.
6.D
解析 抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F0,,设A(x1,y1),
线段AF的垂直平分线经过点B0,,
所以|BF|=|BA|,即,
所以4p2=.因为=2py1,则4-12py1+9p2=0,=0,解得y1=.
根据抛物线定义,可得|AF|=y1+=2p.故选D.
7.BC
解析∵抛物线方程为y2=6x,∴焦点坐标F,准线方程为x=-,故A错误,B正确;
∵直线AF的斜率为-,∴直线AF的方程为y=-x-,∴A-,3.
∵PA⊥l,垂足为A,∴点P的纵坐标为3.
∴点P的坐标为,故C正确;
|PF|=|PA|==6,故D错误.
故选BC.
8.x2=4y
解析因为抛物线C焦点在y轴上,所以设抛物线方程为x2=my,m≠0.又抛物线过点(2,1),所以22=m,即m=4,所以抛物线方程为x2=4y.
9.
解析 △OEF为等边三角形,由抛物线的对称性得E,F关于x轴对称.
由|EO|=4,∠EOx=30°,所以E(2,2),所以22=2p×2,解得p=.
10.AC
解析由题意知:(2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1.
由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于到准线的距离,为2-(-1)=3,故A正确;
由焦点F(1,0)知直线MF不与x轴垂直,故B错误;
如图,设MN的中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足分别为M',N',P',
易知PP'=,
故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,C正确;
由2-2×2+1≠0知M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.
故选AC.
11.A
解析由题可知抛物线方程为y2=16x,曲线C:(x-5)2+(y-1)2=4.
过点P作PA垂直于准线x=-4,垂足为A(图略),
则|PA|=|PF|,所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|.
要使|PA|+|PQ|最小,则需A,P,Q三点共线且QA最小,所以最小值为9-2=7.
故选A.
12.BCD
解析抛物线x2=y的焦点为F,故A错误;
根据抛物线的性质可得,MN过点F时,x1x2=-,故B正确;
若=λ,则|MN|的最小值为抛物线的通径长,为2p=,故C正确;
由题可知,抛物线x2=y的焦点为F,准线方程为y=-,过点M,N,P作准线的垂线MM',NN',PP'(图略),
则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=,
所以|PP'|=,所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|-,故D正确.故选BCD.
13.解由题可知=cs45°=,
所以|BF|=p,所以|AF|=p,所以点A到准线的距离d=p,
所以S△ABC=×|BC|×d=×2p×p=4(p>0),解得p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
14.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+=2.①
因为点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.②
由①②解得p=2,m=1,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)证明①当x0=0,即点P为原点时,显然符合;
②当x0≠0,即点P不在原点时,
由(1)得x2=4y,即y=,则y'=x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为x0,所以抛物线C在点P处的切线l0的方程为y-y0=x0(x-x0).
又=4y0,所以y-y0=x0(x-x0)可化为y=x0x-y0.过点F(0,1)且与切线l0垂直的直线方程为y-1=-x.
由
消去x,得y=-(y-1)-y0.
因为=4y0,
所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y0>0,可知y=0,即垂足必在x轴上.
综上所述,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.