2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练56证明与探究问题

这是一份2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何课时规范练56证明与探究问题，共9页。试卷主要包含了已知椭圆E，已知双曲线E，已知圆F1，已知双曲线Γ等内容，欢迎下载使用。

(1)求曲线C的方程;
(2)直线l:y=kx+a(a>0)交曲线C于M,N两点.y轴上是否存在一点P,使得当k变动时,都有∠OPM=∠OPN?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2023陕西宝鸡三模)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4.
(1)求椭圆E的方程.
(2)设直线y=kx-1(k∈R)与椭圆E交于C,D两点,在y轴上是否存在定点Q,使得对任意实数k,直线QC,QD的斜率乘积为定值?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
3.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,离心率e=2,直线l:x=与双曲线E的一条渐近线交于点Q,与x轴交于P,且|FQ|=.
(1)求双曲线E的方程;
(2)过点F的直线l'交双曲线E的右支于A,B两点,求证:PF平分∠APB.
4.在平面直角坐标系xOy中,已知点E(0,2),以OE为直径的圆与抛物线C:x2=2py(p>0)交于点M,N(异于原点O),MN恰为该圆的直径,过点E作直线交抛物线于A,B两点,过A,B两点分别作拋物线C的切线,且两切线交于点P.
(1)证明:点P的纵坐标为定值;
(2)若点F是抛物线C的焦点,证明:∠PFA=∠PFB.
5.已知圆F1:(x+1)2+y2=r2,圆F2:(x-1)2+y2=(4-r)2,0(1)求曲线C的方程.
(2)已知点P,过曲线C右焦点F2的直线交曲线C于A,B两点,与直线x=m交于点D,是否存在实数m,λ,使得kPA+kPB=λkPD成立?若存在,求出m,λ的值;若不存在,请说明理由.
6.已知双曲线Γ:-y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P(x0,y0)是Γ右支上一点,若I为△PF1F2的内心,且.
(1)求Γ的方程;
(2)点A是Γ在第一象限的渐近线上的一点,且AF2⊥x轴,Γ在点P处的切线l与直线AF2相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:无论点P怎么变动,总有|NF2|=|MF2|.
课时规范练56 证明与探究问题
1.解(1)设动圆圆心Q(x,y),则点Q到定点(0,1)的距离等于到直线y=-1的距离,圆心Q的轨迹为抛物线x2=4y,即曲线C的方程为x2=4y.
(2)存在.设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.
联立得x2-4kx-4a=0.
∵Δ=16k2+16a>0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4a.∴k1+k2=.
当b=-a时,k1+k2=0,
故直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,
故∠OPM=∠OPN,
即存在点P(0,-a),使得∠OPM=∠OPN.
2.解 (1)由题意,得b=2,e=,解得a2=8,所以椭圆E的方程为=1.
(2)若存在点Q(0,m)满足条件,设C(x1,y1),D(x2,y2).
由消去y得(1+2k2)x2-4kx-6=0.
显然Δ>0,x1+x2=,x1x2=,
于是kQCkQD=
=
=
=1+(m+1)-·k2-.
若上式为定值,当且仅当1+(m+1)-=0,解得m=2或m=-2.
此时,kQCkQD=-或kQCkQD=-.
从而,存在定点Q(0,2)或Q(0,-2)满足条件.
3.(1)解不妨设一条渐近线方程为y=x.
由得yQ=.又e=2,得yQ=.
∵|PF|=c-b,
∴|FQ|==b=,
∴a=1,c=2,
∴双曲线的方程为x2-=1.
(2)证明由题可知直线l'的斜率不为0,P.
设直线l'的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得(3m2-1)y2+12my+9=0.
∵3m2-1≠0,Δ=144m2-36(3m2-1)>0,
∴m≠±.
y1+y2=-,y1y2=,
∵kPA+kPB=
=
=
=
=0,
∴kPA=-kPB.∴∠APF=∠BPF,
即PF平分∠APB.
4.证明(1)以OE为直径的圆为x2+(y-1)2=1.
由题可知该圆与抛物线交于一条直径的两个端点,所以交点坐标为(1,1),(-1,1),所以2p=1,
所以抛物线的方程为x2=y.
设A(x1,),B(x2,),
所以kAB==x1+x2,
所以直线AB的方程为y-=(x1+x2)(x-x1),
即y=(x1+x2)x-x1x2.
又因为直线AB过点E(0,2),
所以-x1x2=2,所以x1x2=-2.
因为y'=2x,所以直线PA的斜率为2x1,直线PB的斜率为2x2,
所以直线PA的方程为y-=2x1(x-x1),
即y=2x1x-.
同理得直线PB的方程为y=2x2x-.
联立两直线方程,可得P,
所以点P的纵坐标为定值-2.
(2)cs∠PFA=,
cs∠PFB=.
因为∠PFA∈(0,π),∠PFB∈(0,π),
所以要证∠PFA=∠PFB,
即证cs∠PFA=cs∠PFB,即.(*)
因为,
所以=x1·=-=-(4+1).
又||=,
所以=-,
同理=-,(*)式得证,
所以∠PFA=∠PFB.
5.解(1)由题可知|PF1|=r,|PF2|=4-r,|F1F2|=2,所以|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,所以曲线C为以F1,F2为焦点的椭圆,且a2=22=4,c2=1,b2=4-1=3,所以曲线C的方程为=1.
(2)存在m=4,λ=2符合题意.理由如下.
假设存在.由题可知直线AB的斜率存在.
设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.
因为4k2+3>0,Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)>0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以kPA+kPB==2k-=2k-=2k-1,
kPD==k-.
因为kPA+kPB=λkPD,
所以2k-1=λk-,所以λ=2,=1,即m=4,所以存在m=4,λ=2使kPA+kPB=λkPD成立.
6.(1)解设△PF1F2的内切圆半径为r,
则|PF1|r,|PF2|r,|F1F2|r,
因为,
所以|PF1|r=|PF2|r+|F1F2|r,
即|PF1|=|PF2|+|F1F2|,
可得|PF1|-|PF2|=|F1F2|,
所以.
由双曲线的定义和几何性质,得.
又a2=c2-1,解得a2=3,
所以Γ的方程为-y2=1.
(2)证明 由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-y0=k(x-x0).
由-y2=1,可得y2=-1=.
由题意知y0≠0.
若点P在双曲线右支的上半支上,则y=.
所以y'=,
故k=.
因为-y0=1,
所以-3=3,k=.
若点P在双曲线右支的下半支上,则y=-.
同理可得,k=-.
综上,k=,
代入直线l的方程得y-y0=(x-x0),即x0x-3y0y=-3.
由=1,可得-3=3,
所以直线l的方程为x0x-3y0y=3,
即y=(x0>).
因为直线AF2的方程为x=2,所以直线l与直线AF2的交点为M2,,
直线l与直线x=的交点为N,
所以|MF2|=,
|NF2|=
=
=
=
=
=|MF2|,
即|NF2|=|MF2|得证.