2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练63事件的相互独立性与条件概率

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1.打靶时甲每打10次,可中靶8次;乙每打10次,可中靶7次.若两人同时射击一个目标,则他们都中靶的概率是( )
A.B.C.D.
2.(2023河北沧州三模)甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用七局四胜制,先赢四局者获胜,没有平局.甲每局赢的概率为,已知前两局甲输了,则甲最后获胜的概率为( )
A.B.
C.D.
3.从含甲、乙在内的5名全国第七次人口普查员中随机选取3人到某小区进行人口普查,则在甲被选中的条件下,乙也被选中的概率是( )
A.B.C.D.
4.(2023安徽黄山二模)先后掷两次骰子,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A=“x+y为奇数”,事件B=“x,y满足x+y<6”,则概率P(B|A)=( )
A.B.
C.D.
5.一个盒子中装有6个完全相同的小球,将它们进行编号,号码分别为1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机抽取2个小球,将其编号之和记为S.在已知S为偶数的情况下,S能被3整除的概率为( )
A.B.C.D.
6.(多选)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,若甲中靶的概率为0.8,乙中靶的概率为0.9,则下列结论中正确的有( )
A.两人都中靶的概率为0.72
B.恰好有一人中靶的概率为0.18
C.两人不都中靶的概率为0.14
D.恰好有一人脱靶的概率为0.26
7.产品质量检验过程主要包括进货检验(IQC),生产过程检验(IPQC),出货检验(OQC)三个环节.已知某产品IQC单独通过率为,IPQC单独通过率为p(08.某射击运动员每次击中目标的概率为,现连续射击两次.
(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是 ;
(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是 .
综合提升组
9.如图是易经后天八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),从八卦中任取两卦,记事件A=“两卦的六根线中恰有两根阳线”,B=“有一卦恰有一根阳线”,则P(A|B)=( )
后天八卦图
A.B.
C.D.
10.(多选)某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛,某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是( )
A.P(A)=B.P(AB)=
C.P(B|A)=D.P(B|)=
11.(多选)(2023广东龙岗二模)已知编号为1,2,3的三个盒子,其中1号盒子内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒子内装有两个1号球,一个3号球;3号盒子内装有三个1号球,两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的盒子中,第二次从放入球的盒子中任取一个球,设事件Ai为第一次取出的球为i号,事件Bi为第二次取出的球为i号,则下列说法正确的是( )
A.P(B3|A3)=B.P(A3)=
C.P(B3)=D.P(B3A3)=
12.某足球队在对球员的使用上进行数据分析,根据以往的数据统计,甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置,且出场率分别为0.3,0.5,0.2,当甲球员在相应位置时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6.据此判断当甲球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率为 .
13.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以A1,A2,A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则P(B|A1)= ,P(B)= .
14.某学校组织传统文化知识挑战赛.每位选手挑战时,主持人用电脑出题的方式,从题库中随机出3道题,编号为T1,T2,T3,电脑依次出题,选手按规则作答,挑战规则如下:
①选手每答对一道题目得5分,每答错一道题目扣3分;
②选手若答对第Ti题,则继续作答第Ti+1题;选手若答错第Ti题,则失去第Ti+1题的答题机会,从第Ti+2题开始继续答题;直到3道题目出完,挑战结束;
③选手初始分为0分,若挑战结束后,累计得分不低于7分,选手挑战成功,否则挑战失败.
选手甲即将参与挑战,已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为,各次作答结果相互独立,且他不会主动放弃任何一次作答机会,求:
(1)挑战结束时,选手甲共答对2道题的概率P1;
(2)挑战结束时,选手甲恰好作答了2道题的概率P2;
(3)选手甲闯关成功的概率P3.
创新应用组
15.某仓库有同样规格的产品12箱,其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的,且三个厂的次品率分别为.现从这12箱中任取一箱,再从取得的一箱中任意取出一个产品.
(1)求取得的一个产品是次品的概率.
(2)若已知取得一个产品是次品,求这个次品是乙厂生产的概率.(精确到0.001)
课时规范练63 事件的相互独立性与条件概率
1.D
解析由题意知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,两人打靶相互独立,同时中靶的概率P=.故选D.
2.C
解析 由前两局甲都输了,知甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜,甲才能最后获胜,所以甲最后获胜的概率为×1-×.故选C.
3.B
解析记事件A为“甲被选中”,事件B为“乙被选中”,则由题意可得P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.故选B.
4.B
解析 用(x,y)表示先后掷两次骰子分别得到的点数,样本空间包含6×6=36(个)等可能的样本点,记事件C=“x+y为奇数,且x+y<6”,所以事件A包含的样本点个数为3×3×2=18.事件C包含的样本点有(1,2),(1,4),(2,3),(2,1),(4,1),(3,2),共6个.
根据古典概型知识知,P(A)=,P(C)=P(AB)=,P(B|A)=,故选B.
5.B
解析记“S能被3整除”为事件A,“S为偶数”为事件B,事件B包括的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),(2,6),(4,6),共6个.事件AB包括的样本点有(1,5),(2,4),共2个.则P(A|B)=.故选B.
6.AD
解析记A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,=“甲不中靶”,=“乙不中靶”.因为P(A)=0.8,P(B)=0.9,所以P()=1-0.8=0.2,P()=1-0.9=0.1.对于选项A,AB=“两人都中靶”,P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72,故A正确;对于选项B,AB=“恰好有一人中靶”,P(AB)=P(A)+P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故B不正确;对于选项C,“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件,由选项A可知,“两人不都中靶”的概率是1-0.72=0.28,故C错误;对于选项D,AB=“恰好有一人脱靶”,由选项B知,概率为0.26,故D正确.故选AD.
7.
解析设Ai:第i次通过IQC,Bi:第i次通过IPQC(i=1,2).由题意知P(A1B1+A2B1+A1B2+A2B2)=,即×p+×p+×(1-p)×p+×(1-p)×p=,解得p=或p=(舍去后者).
8.(1) (2)
解析设“第一次击中”为事件A,则P(A)=,“第二次击中”为事件B,则P(B)=.
(1)由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率为.
(2)设“仅击中一次”为事件C.仅击中一次的概率为P(C)=.在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P(B|C)=.
9.B
解析由后天八卦图可知,八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个,两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个,而事件A所包含的情况可分为两种,即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴,另一个为全阴;第二种是两卦中均为一阳两阴.而事件AB中只包含后者,即P(AB)=,事件B的概率P(B)=1-,所以P(A|B)=.故选B.
10.ABC
解析P(A)=,故A正确;P(AB)=,故B正确;P(B|A)=,故C正确;P()=,P(B)=,P(B|)=,故D错误.故选ABC.
11.ABD
解析 由题意可得P(A1)=,P(A2)=P(A3)=,故B正确;
应用全概率公式,有P(B3)=P(Ai)P(B3|Ai)=,故C错误;
P(B3A3)表示在第一次取出的球为3号的前提下,将3号球放入3号盒子,再从3号盒子中取出的球为3号的概率,P(B3A3)=,故D正确;
利用条件概率,可得P(B3|A3)=,故A正确.故选ABD.

解析记甲球员出场前锋、中场、后卫分别为事件A1,A2,A3,记甲球员出场前锋、中场、后卫时输球分别为事件B1,B2,B3,
则当甲球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率:
P=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=P(A1)P()+P(A2)P()+P(A3)P()
=0.3×(1-0.4)+0.5×(1-0.2)+0.2×(1-0.6)
=0.66.
13.
解析因为每次取一球,所以A1,A2,A3是两两互斥的事件,
因为P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
所以P(B|A1)=;
同理P(B|A2)=,
P(B|A3)=.
所以P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=.
14.解设Ai为选手答对第Ti题,其中i=1,2,3.
(1)设挑战结束后,选手甲共答对2道题为事件A,选手甲共答对2道,即选手甲前2题答对且第3题答错,所以A=A1A2,
则P1=P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)·P()=.
(2)设挑战结束时,选手甲恰好作答了2道题为事件B,选手甲恰好作答了2道题,即选手甲第1题答错或第1题答对且第2题答错,所以B=∪A1.
则P2=P(B)=P(∪A1)=P()+P(A1)=.
(3)设选手甲挑战成功为事件C.
若选手甲挑战成功,则选手甲共作答了3道题,且选手甲只可能作答2道题或3道题,
所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件,所以C=.
根据对立事件的性质,得P3=P(C)=P()=1-P(B)=1-.
15.解(1)设A={取得一个产品是次品},B1={取得一箱是甲厂的},B2={取得一箱是乙厂的},B3={取得一箱是丙厂的}.
三个厂的次品率分别为,
P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=.12箱产品中,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=.
由全概率公式得P(A)=P(A|Bk)P(Bk)=≈0.083.
(2)依题意,已知A发生,要求P(B2|A),此时用贝叶斯公式可得,P(B2|A)=≈0.287.