2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练66概率与统计综合问题

这是一份2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练66概率与统计综合问题，共7页。试卷主要包含了9a-297，635=x0，01等内容，欢迎下载使用。


(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口数的16%,从该地区任选1人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.000 1).
2.某商家决定借助线上平台开展销售活动.现有甲、乙两个平台供选择,且当每件商品的售价为a(300≤a≤500)元时,从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下:
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等,且每天的销售量互不影响.
(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率,并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量,其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率;
(2)已知甲平台的收费方案为:每天佣金60元,且每销售一件商品,平台收费30元;乙平台的收费方案为:每天不收取佣金,但采用分段收费,即每天销售商品不超过8件的部分,每件收费40元,超过8件的部分,每件收费35元.某商家决定在两个平台中选择一个长期合作,从日销售收入(单价×日销售量-平台费用)的期望值较大的角度,你认为该商家应如何决策?说明理由.
3.(2023江苏苏州预测)数据报告显示,2018~2022年期间,某公司旗下一款软件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势,具体数据如下表.
(1)根据上表的数据,可用函数模型x+拟合y与x的关系,请建立y关于x的经验回归方程(计算的值时精确到0.01),并预测2025年的活跃用户数;
(2)公司规定,活跃用户数大于12.00(单位:亿)的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年中,将活跃用户数低于13.00的视为良好,赋1分;将活跃用户数不低于13.00的视为优秀,赋2分.现从企业腾飞年中任取两年,用X表示赋分之和,求X的分布列和均值.
参考数据:≈13.60,xiyi=218.48,
4.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
(1)依据小概率值α=0.010的独立性检验,分析患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异.
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
①证明:R=;
②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.
附:χ2=.
5.(2023新高考Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
课时规范练66 概率与统计综合问题
1.解(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).
(2)由题图,得这100位这种疾病患者中年龄位于区间[20,70)的频率为(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故可估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.
(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)},C={任选一人患这种疾病},由条件概率公式可得P(C|B)==0.0014375≈0.0014.
2.解(1)令事件A=“甲平台日销售量不低于8件”,
则P(A)=.
令事件B=“从甲平台所有销售数据中随机抽取3天的日销售量,其中至少有2天日销售量不低于8件”,则P(B)=×2××3=.
(2)设甲平台的日销售收入为X,则X的所有可能取值为6a-240,7a-270,8a-300,9a-330,10a-360.
所以X的分布列为
所以E(X)=(6a-240)×+(7a-270)×+(8a-300)×+(9a-330)×+(10a-360)×=7.9a-297.
设乙平台的日销售收入为Y,则Y的所有可能取值为6a-240,7a-280,8a-320,9a-355,10a-390.
所以Y的分布列为
所以E(Y)=(6a-240)×+(7a-280)×+(8a-320)×+(9a-355)×+(10a-390)×=7.95a-316.
所以E(Y)-E(X)=0.05a-19.
令0.05a-19≥0,得a≥380.
令0.05a-19<0,得a<380.
所以当300≤a<380时,选择甲平台;
当a=380时,选择甲、乙平台均可;
当3803.解 (1)由表格计算可得,=3,-5=(1+4+9+16+25)-5×9=10.
∵≈13.60,xiyi=218.48,5≈204,
∴=1.448≈1.45.
∵()满足x+,即=13.60-1.45×3=9.25,∴y关于x的经验回归方程是=1.45x+9.25.
令x=8,得=1.45×8+9.25=20.85,所以2025年的活跃用户数约为20.85亿.
(2)由表格可知,企业腾飞年有4个,其中计分为1分的年份有2个,计分为2分的年份有2个,所以X的可能取值有2,3,4,
则P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=,
所以X的分布列为
所以均值为E(X)=2×+3×+4×=3.
4.解(1)由题意可知,n=200,
零假设为H0:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异.
χ2=
=
=24>6.635=x0.010,
根据小概率值α=0.010的独立性检验,推断H0不成立,即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)①证明:R=.
②P(A|B)==0.4,
P(A|)==0.1,
同理P()==0.9,
P(|B)==0.6,
∴R==6.
∴指标R的估计值为6.
5.解(1)设事件A:“第2次投篮的人是乙”,
则P(A)=P(甲乙)+P(乙乙)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.
(2)设第i次是甲投的概率为pi,则第i次是乙投的概率为1-pi,由题意可知p1=,
pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi.
则pi+1-pi+pi-,
故数列pi-为公比为的等比数列.
故pi-=p1-×,得到pi=,i∈N*.
(3)由(2)知,设随机变量Xi可取0,1,i=1,2,…,n,P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,则Xi服从两点分布.
由题可知,当n≥1时,E(Y)=pi=1-+,n∈N*.
综上所述,可知E(Y)=pi=1-+,n∈N*.商品日销售量(单位:件)
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
年份代码x
1
2
3
4
5
活跃用户数y/亿
11.51
12.25
12.58
13.67
18.01
分组
卫生习惯
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
6a-240
7a-270
8a-300
9a-330
10a-360
P
Y
6a-240
7a-280
8a-320
9a-355
10a-390
P
X
2
3
4
P