2024北京一七一中高一（下）期中数学试题及答案

这是一份2024北京一七一中高一（下）期中数学试题及答案，共13页。试卷主要包含了 复平面内表示复数的点位于， 的值是， 在△ABC中，，则等于， 已知为锐角，，则， “”是“”的等内容，欢迎下载使用。
(时长：120分钟 总分值：150分 )
一､选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复平面内表示复数的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 在△ABC中，，则等于（ ）
A B C D
4. 已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A. A，B，DB. A，B，CC. B，C，DD. A，C，D
5. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. 3D.
6. 对函数 的图象分别作以下变换：
①向左平移 个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）；
②向左平移 个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）；
③将每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位；
④将每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位；
其中能得到函数 的图象的是
A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④
7. 已知函数 （，）的图象如图所示，则 的值为
A. B. C. D.
8.如图所示，在四边形中，，E为的中点，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9. “”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 已知奇函数 在 上为单调减函数，又 ， 为锐角三角形内角，则
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
11. 已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数为 ．
12.已知向量 ，，若 与 垂直，则 ．
13. 在中，，则 ．
14. 已知函数 （，）在区间 上单调，且对任意实数 均有 成立，则 .
15.一扇中式实木仿古正方形花窗如图 1 所示, 该窗有两个正方形, 将这两个正方形 (它们有共同的对称中心与对称轴) 单独拿出来放置于同一平面, 如图 2 所示. 已知 AB=6 分米, FG=3 分米, 点 P 在正方形 ABCD 的四条边上运动, 当 AE⋅AP 取得最大值时, AE 与 AP 夹角的余弦值为 .
三．解答题: 本题共 6 小题,共 85分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知函数 ．
（1）求 的定义域．
（2）若 ，且 ，求 的值．

17. 已知点 ，，， 是线段 的中点．
（1）求点 和 的坐标；
（2）若 是 轴上一点，且满足 ，求点 的坐标．
18.如图所示， 中，角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）点为边上的一点，记，若， ，求与的值.
19.已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）设，，分别为内角，，的对边，已知，，且，求的值.
20.已知分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（Ⅰ）满足有解三角形的序号组合有哪些？说明理由
（Ⅱ）在（Ⅰ）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
21.若定义域 的函数 满足：
① ，，
② ，，．则称函数 满足性质 ．
（1）判断函数 与 是否满足性质 ，若满足，求出 的值；
（2）若函数 满足性质 判断是否存在实数 ，使得对任意 ，都有 ，并说明理由；
（3）若函数 满足性质 ，且 ．对任意的 ，都有 ，求函数 的值域．
参考答案
1.【答案】C
【解析】解：∵z=i⋅(-3+i)=-1-3i，
∴复数z在复平面内对应的点(-1,-3)位于第三象限．
故选：C.
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：cs14∘cs16∘-cs76∘sin16∘=cs14∘cs16∘-sin14∘sin16∘=cs30∘= 32.
故选：B.
结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，
∴设A=x，则B=2x，C=3x，
由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=π6
∴A=π6，B=π3且C=π2，可得△ABC是直角三角形
∵sinA=ac=12，∴c=2a，得b= c2-a2= 3a
因此，a：b：c=1： 3：2
故选：D
根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=π6，B=π3且C=π2，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b= 3a，即可得到a：b：c的值．
本题给出三角形三个角的比值，求它的三条边之比．着重考查了三角形内角和定理、三角函数在直角三角形中的定义等知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵AD=AB+BC+CD=3a+6b=3AB，
∴AD与AB共线，
又AD与AB有公共点A，
∴A，B，D三点共线，故B正确；
∵AC=AB+BC=(a+2b)+(-5a+6b)=-4a+8b与AB=a+2b不共线，
∴A，B，C三点不共线，故A错误，
又∵A，B，D三点共线，
则A，C，D不共线，B，C，D不共线，故C，D错误．
故选：B.
证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点．
本题主要考查了平面向量的线性运算，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
直接利用tanβ=tanβ-α+α=tanβ-α+tanα1-tanβ-αtanα即可求解．
解：因为tanα=34,tan(β-α)=13，
所以tanβ=tanβ-α+α=tanβ-α+tanα1-tanβ-αtanα=13+341-13×34=139，
故选：A.
6.【答案】C
【解析】解：①y=sinx→y=sin(x+π4)→y=sin(3x+π4)；
②y=sinx→y=sin(x+π12)→y=sin(3x+π12)；
③y=sinx→y=sin3x→y=sin3(x+π4)；
④y=sinx→y=sin3x→y=sin3(x+π12)=sin(3x+π4).
故选：C.
根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=sin(3x+π4)即可．
本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于中档题．
由点(0, 2)在函数的图象上可求sinφ= 22，结合范围|φ|π2-β，
∴sinα>sin(π2-β)=csβ>0，
∴f(sinα)π2，转化为α>π2-β，两边再取正弦，可得sinα>sin(π2-β)=csβ>0，由函数的单调性可得结论．
题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性．属中档题．
11.【答案】12+32i
【解析】解：复数z=2-i1+i=(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2=12-32i，
所以z的共轭复数为12+32i.
故答案为：12+32i.
先利用复数的四则运算化简z，再利用共轭复数的概念求解．
本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标计算，关键是求出x的值．
根据题意，由向量坐标计算公式可得2a-b的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得(2a-b)⋅b=-3+x2=0，解得x的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a=(1,x)，b=(-1,x)，
则2a-b=(3,x)，
若2a-b与b垂直，则(2a-b)⋅b=-3+x2=0，
解得：x=± 3，
则|a|= 1+3=2，
故答案为：2.
13.【答案】π4或3π4
【解析】解：由正弦定理得，ABsinC=ACsinB，
所以1sinπ6= 2sinB，
解得sinB= 22，
又因为AC>AB，所以B>C，
又B∈(0,π)，
所以B=π4或3π4.
故答案为：π4或3π4.
直接利用正弦定理求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
14.【答案】π6
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0，∴sinBcsB=tanB= 33，
∵0