甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题

这是一份甘肃省张掖市某校2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题，共14页。试卷主要包含了若集合，则，函数的所有零点之和为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知为坐标原点，平面向量，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4.冬天，广西南宁三位老师带着11个岁的幼儿园小朋友到哈尔滨研学，一身橘红色的羽线服，以她们独特的服装和欢快的姿态，在全国掀起了一股“小沙糖橘”热潮.已知这11个小朋友中有5个男孩，6个女孩，随机请出3个“小沙糖橘”与小企鹅一起拍照留念，则请出的“小沙糖橘”中至少有2个女孩的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知过坐标原点的直线与焦点为的抛物线在第一象限交于点，与的准线交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C.1 D.
6.已知等差数列的前项和为，首项，若，则（ ）
A.-1 B.1 C.0 D.
7.若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（ ）
A. B. C. D.
8.函数的所有零点之和为（ ）
A.0 B.-1 C. D.2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线与双曲线交于两点（点在第一象限），且，若，则下列结论正确的是（ ）
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为
C.
D.若点是双曲线上异于的任意一点，则
11.已知正方体的棱长为为底面对角线的交点，是侧面内的动点（包括边界），如图所示，若始终成立，则下列结论正确的是（ ）
A.点的轨迹长度为
B.动点到点距离的最小值为
C.向量与夹角的正弦值为
D.三棱锥体积的最大值为
二､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在中，内角的对边分别为，且，则的面积为__________.
13.已知正四棱柱中，为的中点，则平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为__________.
14.已知函数，若，则的最小值为__________.
三､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求；
（2）估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”
附：，其中.
16.（15分）已知正项数列满足.
（1）求数列的通项公式及其前项和；
（2）求数列的前项和.
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，且是边长为2的等边三角形，且平面平面为中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
18.（17分）已知椭圆左､右顶点分别为，短轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；
（2）若第一象限内一点在椭圆上，且点与外接圆的圆心的连线交轴于点，设，求实数的值.
19.（17分）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
.
注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数.
（1）根据公式估算的值，精确到小数点后两位；
（2）当时，比较与的大小，并证明；
（3）设，证明：.
数学参考答案
1.【答案】B
【解析】因为，所以，所以.故选B.
2.【答案】D
【解析】因为，所以，所以，故选D.
3.【答案】C
【解析】由可得向量，由得，则，因此.故选C.
4.【答案】C
【解析】从11人中任请3人，基本事件共有种，恰好是3个女孩的方法数是种，恰好是2个女孩的方法数是种，故所求的概率是.故选C.
5.【答案】A
【解析】因为抛物线，所以抛物线的准线方程为，故点的横坐标为.因为，所以点的横坐标，所以点的纵坐标.又焦点的坐标为，所以直线的斜率为.故选A.
6.【答案】D
【解析】由前项和定义可得，因为是等差数列，所以，所以.设等差数列的公差为，由，所以，所以，所以.故选D.
7.【答案】B
【解析】由题得圆的圆心坐标为，半径为.设，则，.由可得，化简得，故点在以为圆心，半径为的圆上.又唯一的点也在圆上，所以两圆是外切或内切，所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值，即，或，解得，或，因为是正数，所以.故选B.
8.【答案】A
【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，则，显然，所以，构造函数与函数，则方程的根，可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.故选A.
9.【答案】ABC
【解析】选项，函数图象由图象沿轴向右平移1个单位，再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，正确；选项，函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的，而函数是偶函数，关于轴对称，其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故符合条件，B正确；选项，令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意；选项D，，显然，故此函数不是关于直线对称的.故选ABC.
10.【答案】AD
【解析】如图，由双曲线定义可知，，
由题意得关于原点对称，故且，
因为，又
所以，
由，得，
即有，得，所以.
故A选项正确；又，所以渐近线方程为，故B选项错误，
选项错误；对于选项，设点，因为是直线与双曲线的交点，根据对称性可得，所以.
又点在双曲线上，代入可得，两式相减可得，所以，故选AD.
11.【答案】BD
【解析】取的中点，连结，如图，则在平面中，，为的中点，为的中点，根据三角形相似成比例，则对应角相等，又由两角互余可得.因为正方体，所以是等边三角形，显然可得，因为，所以平面，故动点的轨迹是线段，在中，，所以选项错误；根据中的等面积法可得，动点到点距离的最小值为.故选项正确.在平面中，，所以在中，，所以由余弦定理可得，所以正弦值为，故选项错误；由垂直平面可得三棱锥体积等于，当点到直线的距离最大时，
取最大值，所以由的轨迹可知，当点位于的中点时，此时到直线的距离最大，此时取最大值，故D正确.综上可知，选BD.
12.【答案】
【解析】由，得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面积为.
13.【答案】
【解析】由正四棱柱可知底面为正方形，由正四棱柱的外接球特征可知，外接球直径等于正四棱柱的体对角线长，所以，所以.如图，取长方形的中心，连结，易得，且平面，所以，球心到平面的距离等于点到平面的距离.过点作交于点，则球心到平面的距离等于的长.在长方形中，连结，则，所以，又平面截此四棱柱的外接球所得的截面为圆面，所以此圆的半径为，故截面面积为.
14.【答案】
【解析】由得，所以是上增函数.易得，所以，即.则，当且仅当时取等号，此时.故最小值为.
15.【解析】（1），
解得
（2）平均数为：
（3）列联表如下：
所以没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.
16.【解析】当时，，因为正项，所以
当时，，
，
两式相减得
当时，成立，所以，
显然，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
（2），
所以数列的前项和
所以
17.【解析】（1）证明：在中，由，
得，
即，所以
由平面，平面平面，且平面平面
得平面
（2）由（1）得平面，所以，
在等边三角形中，为中点，所以，
即两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，又，所以，则
，
所以，设，则得到
，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，又，
由，令，得，
所以，
又一面角的大小为，所以，
得到，又，解得，
所以存在点使二面角的大小为，且
18.【解析】（1）因为短轴长为，所以，
又椭圆的离心率为，
则有，解得，所以的方程为.
（2）因为外接圆经过椭圆的左､右顶点，所以圆心在轴上，
设圆心，则圆的半径为，所以，
所以
又点在椭圆上，所以，
解得
直线的斜率为，
直线的方程为，
令，所以点的横坐标为
又，所以，解得
19.【解析】（1）解：由公式可得
所以
（2）由（1）得，得到结论：当时，
下面给出证明：
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，即当时，，
所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，即当时，
，
故当时，
（2）因为，所以，则，由（1）可得：且，
故
即
男生
女生
合计
被录取
20
未被录取
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
男生
女生
合计
被录取
20
10
30
未被录取
80
90
170
合计
100
100
200