黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

这是一份黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷主要命题范围，设随机变量，若，则的最大值为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷主要命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量的分布列为
则（ ）
A．B．C．D．
2．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．3D．4
3．函数在上的最大值是（ ）
A．B．0C．D．
4．某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于的人数约为（ ）
A．3200B．6800C．3400D．6400
5．设随机变量，若，则的最大值为（ ）
A．4B．3C．D．
6．在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．36种
7．已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
8．将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ）
A．61个B．65个C．68个D．71个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据为，，…，，则下列说法正确的是（ ）
A．若相关系数，则两个变量负相关
B．相关系数的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
C．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D．决定系数越小，残差平方越小，模型的拟合效果越好
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．精确到0.01的近似值为0.85
D．除以15的余数为1
11．已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ）
A．为偶函数B．为奇函数
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在密室逃脱游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为．事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则_________．
13．一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为，则的方差为_________．
14．已知数列的前项和为，且，．设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前40项和为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
16．（本小题满分15分）
设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
为了解学生对县教体局举办的春季中学生运动会的满意度，从该县所有中学生中随机抽取90名进行调查，每名学生对运动会举办情况给出“满意”或“不满意”的评价，如下表：
（1）请根据小概率值的独立性检验，能否判断该县中学生对运动会的满意度情况与性别有关联？
（2）从该县的中学生中随机抽出一名学生，该生是男生或女生的概率相等，视样本的频率为概率．现从全县中学生中随机抽取4名学生，记这4名学生对运动会满意的人数为，求的分布列，数学期望和方差．
参考公式：（其中）．
18．（本小题满分17分）
2023年全国竞走大奖赛（第1站）暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
（1）根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考数据：，．
参考公式：，．
19．（本小题满分17分）
我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型．概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作．为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策．政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为．
（1）求；
（2）若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值．
2023～2024学年度下学期高二期中试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 由分布列的性质，得，解得．故选D．
2．C 因为数列是等比数列，所以，即，所以．故选C．
3．B ，当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以．故选B．
4．B 根据正态分布的对称性可知，所以此次高二学生的体检中，男生身高不低于的人数约为6800人．故选B．
5．C 随机变量，由可得，所以．又，因为函数在区间上单调递增，所以，所以．故选C．
6．A 先排列3幅书法作品有种排法，再将3幅美术作品插入3幅书法作品形成的3个空中，有种排法，所以不同排列方法有种．故选A．
7．B 令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以．故选B．
8．D 记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，因为，，，都比大，所以只能为1，2或3．当时，，有种选法，剩余数字中的最大值作为，所以，有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”；当时，，，有种选法，剩余数字中的最大值作为，剩余两个数排，，有种选法，共有个“数列”；当时，，，从4，5，6，7中选2个数作为，有种选法，剩余2个数为，，共有6个“数列”．综上所述，满足条件的“数列”共有71个．故选D．
9．AC 对于A，因为的符号反映相关关系的正负性，故A正确；对于B，根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故B错误；对于C，决定系数越大，残差平方和越小，效果越好，故C正确，D错误．故选AC．
10．ACD 在中，令，则，故A正确；
因为，所以，所以，故B错误；
，取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为．故C正确；
，其中，所以能被15整除，所以除以15的余数为1，故D正确．故选ACD．
11．BC 对于A，因为为偶函数，所以，即，所以关于对称，若为偶函数，则，所以，所以关于点对称，这与关于对称矛盾，所以A错误；对于B，因为为偶函数，所以，即，所以当时，，即为奇函数，所以B正确；对于C，因为为偶函数，即，所以，所以．由，得，所以，故C正确；对于D，由，得，所以，故D错误．故选BC．
12． 由题意，得，，所以．
13． 由题意，满足超几何分布，且的取值为0，1，2，则，，，，，所以．
14．973 当时，，解得；当时，由，得，两式相减，得，即，所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此，，即是数列中的第项，因为，，所以数列的前40项是由数列的前45项去掉数列的前5项后构成的，所以数列的前40项和为．
15．（1）解：因为，所以，所以，
所以是公差为2的等差数列，
又，所以，解得，
所以．
（2）证明：由（1）知，
所以
，
又，所以．
16．解：（1）当时，，其定义域为．
，
当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）不等式在上有解等价于在上有解，
令，，则，．
，
令，，易知在上单调递减，且，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
所以，即实数的取值范围为．
17．解：（1）由题意知列联表为：
零假设为：该县中学生对运动会的评价情况与性别无关联，
由列联表的数据，计算得：
，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，
故该县中学生对运动会的满意度情况与性别无关联．
（2）从男生中随机抽出一名学生，该生对运动会满意的频率为，从女生中随机抽出一名学生，该生对运动会满意的频率为，
又从该县的中学生中随机抽出一名学生，该生是男生或女生的概率均为，
所以从该县的中学生中随机抽取一名学生，该生对运动会满意的概率为．
由题意可知，，
，，
，，
，
所以的分布列为
所以，．
18．解：（1），，
，，
所以回归直线方程为，
将代入得，解得，
所以当步长为时，步频约是0.27秒．
（2）根据（1）得到，；
，；
，；
，；
，，
所以，即步长残差和为0．
对任意具有线性相关关系的两个变量都成立，证明如下：
．
19．解：（1）．
（2）因为．
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得，
所以．
由，得，
令，则，
所以，所以数列是递减数列，
因为，，
所以整数的最小值是7．
5
10
15
满意
不满意
男生
40
20
女生
10
20
0.1
0.01
0.005
0.001
2.706
6.635
7.879
10.828
步频（单位：s）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步长（单位：cm）
90
95
99
103
117
满意
不满意
合计
男生
40
20
60
女生
10
20
30
合计
50
40
90
0
1
2
3
4