江苏省南京市2024届高三下学期二模考后提升卷数学模拟测试一

这是一份江苏省南京市2024届高三下学期二模考后提升卷数学模拟测试一，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（本题5分）（23-24高三上·天津·期中）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（本题5分）（22-23高一·全国·随堂练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ）．
A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
4．（本题5分）（22-23高三上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环最少需要移动256次，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．若将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第6个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A．63B．64C．31D．32
5．（本题5分）（22-23高二下·重庆渝中·阶段练习）央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
6．（本题5分）（22-23高一下·山东枣庄·期末）一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（本题5分）（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题5分）（23-24高一上·广东茂名·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（本题9．（本9．（本题6分）（22-23高一下·福建福州·期中）若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点位于第四象限B．
C．D．的共轭复数
10．（本题6分）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（本题6分）（2024·吉林延边·一模）如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，平面，动点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是
D．当动点与点重合时，直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ．
13．（本题5分）（2024·河南商丘·模拟预测）在中，角的对边分别为，为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则 ．
14．（本题5分）（22-23高二上·河北保定·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过的重心G，则AP= ．直线PQ的斜率为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）（22-23高二下·福建泉州·期末）学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到，，的方差为350，的相关系数（）.


(1)请根据所给数据求出的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；
(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
16．（本题15分）（23-24高二下·江西宜春·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
17．（本题15分）（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在三棱柱中，为底面的重心，点分别在棱上，且

(1)求证：平面；
(2)若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面DOG的夹角的余弦值．
18．（本题17分）（23-24高三上·四川成都·开学考试）已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，且点关于原点对称．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线过定点．
19．（本题17分）（2024·湖南·一模）已知为非零常数，，若对，则称数列为数列．
(1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列；
(2)设，若为数列，证明：；
(3)若为数列，证明：，使得．
编号
14
15
16
17
18
x
85
90
100
110
120
y
113
114
117
119
119
参考答案：
1．D
【分析】根据平面共线向量的坐标表示求出t，进而求出，可求解其模长.
【详解】由，得，解得，
所以，则，
故．
故选：D
2．B
【分析】解不等式，根据解集间的关系及充分条件与必要条件的概念判断可得出结论．
【详解】不等式，即或，解得或，
不等式，即，解得或，
因为或或
因此，“”是“”的必要而不充分条件，
故选：B．
3．D
【分析】由对图象的影响可得.
【详解】先将函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，
横坐标不变，得到函数的图象，
再将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，
横坐标不变，得到函数的图象，
即将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，
横坐标不变，得到函数的图象，
故选：D.
4．C
【分析】根据依次计算得到，，得到答案.
【详解】由题意:，
；；
；；
；；
，所以，
则解下第6个圆环最少需要移动的次数为．
故选：C．
5．C
【分析】根据条件概率的计算公式即可求得答案.
【详解】由题意知事件A：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含种情况，
事件：“甲和乙选择的景点不同，且恰有一人选择洪崖洞”包含种，
所以，
故选：C
6．B
【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可
【详解】设圆台的上、下底面的半径为，母线长为，
所以，
.
故选：B．
7．D
【分析】延长交椭圆于，则有，设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，再由韦达定理可知，，由，可得，从而得，，即可得答案.
【详解】解：延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，
设直线的方程，，，
联立，整理得：，
则，，
由，则，
整理得：，
则，
即，
∴椭圆的离心率，
∴椭圆的离心率的取值范围．
故选：D
8．B
【分析】利用同角的三角函数平方关系及辅助角公式化简后，代入求值即可.
【详解】由，故不妨设为锐角，则，
则
，
所以.
故选：B.
9．AD
【分析】根据复数的几何意义、复数模的公式、复数的四则运算及共轭复数的定义求解即可.
【详解】由，
在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
的共轭复数，故D正确.
故选：AD.
10．AB
【分析】对A：令，结合函数是奇函数，即可求得结果；对B：令，结合函数是奇函数，即可判断；对C：根据B中所求，即可判断；对D：取满足题意的特殊函数，即可判断.
【详解】对A：对，令，可得，
又在R上是奇函数，故，解得，故A正确；
对B：对，令，可得，
又在R上是奇函数，故，即，
由A可知，，故，故B正确；
对C：因为，则即，
则，即，故C错误；
对D：由C可知，为周期为的奇函数，
不妨画出满足题意的一个的图象如下所示：
显然，故D错误.
故选：AB.
11．ABD
【分析】
由面面垂直的性质定理可判断选项A；由线面平行的判定定理和性质定理可判断选项B；由截面是的外接圆及正弦定理可判断选项C;由面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及余弦定理可判断选项D；
【详解】设,连接，令中点为，连接，如图所示：
由底面是正方形可得：是的中点，且；
由平面，平面，平面,
可得平面平面，；
由，,可得四边形为矩形.
对于选项A:由，平面平面，
且平面平面,面，可得面，
又面,所以，故选项A正确；
对于选项B: 因为在矩形中,
所以四边形是平行四边形，则直线
因为平面,平面,则面.
故当是线段的中点时，直线面,故B正确；
对于选项C:因为在中，,
所以,
由正弦定理得：的外接圆直径,
则半径为，圆面积为,
因为三棱锥的外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上，且四边形为矩形，
所以点在三棱锥的外接球上.
所以三棱锥的外接球被平面所截取的截面是的外接圆，
因此三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是，故C错误．
对于选项D:因为面，平面,
所以面平面，
所以在平面内的射影在直线上，
即直线与平面所成角为.
在中，,
故选项D正确；
故选：ABD.
12．2
【分析】利用列举法求解集合，即可求解.
【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，
当时，时可满足，
时，，时，均不满足，
当时，可满足，时，，时，均不满足，
所以，故集合的元素有2个，
故答案为：2
13．
【分析】利用余弦定理计算及，的值，在中使用两角差的正弦公式计算即可.
【详解】如图所示，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
即，故，
由余弦定理得，
所以
又因为直线平分，所以，
所以，
所以，
化简得.
故答案为：.
14． 2
【分析】根据已知，利用对称性、重心的性质，求出对称点坐标，联立直线方程进行求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，
所以直线的方程为，的重心G的坐标为，
设点，，分别是点关于直线BC和y轴的对称点，
连接，所以，设，则有
，解得，所以，
由光的反射原理可知，四点共线，所以，
即，解得，此时，
所以，，，直线的方程为，
联立直线的方程与的方程有：，解得，
即，所以直线PQ的斜率为.
故答案为：，2.
15．(1)，140分
(2)①答案见解析；②答案见解析
【分析】（1）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；
（2）①根据回归方程的含义及统计知识解答疑惑即可；②补齐散点图，根据所学函数选择非线性回归方程即可.
【详解】（1），
，又的方差为，
所以，
，故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140分；
（2）①（i）所求的经验回归方程依据的样本数据时间范围在20~80分钟，
当时间范围扩大后，之间不一定还符合该方程，所以预测与实际情况可能会有较大的差别；
（ii）事实上，样本数据时间在70分钟以后，对应成绩的增速已有明显减缓的趋势，
因此当时间范围扩大后，相关系数会降低，所求经验回归方程模型不一定适合.
（iii）小李所拿到的样本数据的缺失可能使得回归模型不恰当，还应收集更多的样本数据分析，
（iv）如果原来成绩较低，通过增加学习时间可以有效提高成绩，但是当成绩提高到一定程度时（如110分以上），想要通过延长学习时间来提高学习成绩就比较困难了，需要想别的办法.
② 补齐散点图如图：

合适的回归模型如，，，等，
答案不唯一，只要能体现出增长速度逐渐变缓即可.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求，分，，讨论的单调性；
（2）分离参数得，求最小值即可.
【详解】（1）由题意可知的定义域为，
，
令，则，
①当时，，在上恒成立，在上单调递减．
②当时，， 时，，时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
③当时，，时，，时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，在单调递减．
综上：当时，在上单调递减．
②当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减．
③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减．
（2）当时，恒成立，故，
所以，即，
由得，
令（），
则，
令，则，在单调递增，
则，即在恒成立，故在单调递增．
所以，故在恒成立．
由在单调递增，而，，故．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明；
（2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值.
【详解】（1）如图，连接并延长，交于，延长线段，交于，连接．
因为为底面的重心，所以，
又，
所以，所以，
所以．
因为，所以，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．

（2）取的中点为，连接．
因为底面，且三棱柱的各棱长均相等，
所以直线两两互相垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设三棱柱的棱长为6，则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，可取
易知平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求，由此可得双曲线方程；
（2）设，分别联立直线，与双曲线方程，结合关于系数关系求点和点坐标，利用点斜式表示直线的方程，再证明直线过定点.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，
由已知，故，即，
所以渐近线方程为．
又到双曲线的渐近线的距离为，则，
所以．
所以双曲线的方程为．
（2）设，
若，则，
故，
直线的方程为，
若，设直线的方程为，
直线的方程与双曲线联立，
．
又，则
所以，即．
同理，
则，
则直线方程为，
令，则，
即
所以直线过定点．

【点睛】关键点点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
（2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）得到，证明出不合题意，符合要求，从而得到，结合得到，得到为递增数列，并得到不是常数，证明出结论；
（2）得到，利用放缩得到，结合证明出结论；
（3）得出，结合累加法得到，得到不等式，求出答案.
【详解】（1），
故为公差为的等差数列，所以，
若，则当时，，不合题意，
若，则，满足要求，
，
因为，所以，故，故数列为递增数列，
，由于为递增数列，故不是常数，
不是常数，故数列是递增数列，但不是等比数列；
（2）因为为数列，所以，故，
因为，
所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，所以；
（3）因为为数列，
所以，
所以，
令，则，解得，
所以，使得.
【点睛】思路点睛：数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后结合等差或等比公式进行求解，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.