江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份江西省南昌市第十中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题纸交回，给出下列命题，函数的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上．
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等差数列的前n项和记为，且，，则（ ）
A．70B．90C．100D．120
2．已知集合和关系的韦恩图如下，则阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
3．已知在等比数列中，，，若函数．则（ ）
A．2B．C．D．
4．给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，
则．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，，令，则数列的前2024项和（ ）
A．B．C．D．
7．设a为实数，若函数有且仅有一个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值D．函数有最大值
10．对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．存在，使得
11．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987是意大利数学家菜昂纳多·斐波那契在他写的《算盘全数》中提出的，所以它常被称作斐波那契数列，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．不一定是偶数B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．已知“，”，令，则M的取值范围是______．
13．某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有______人．
14．已知定义在R上的函数关于y轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则a的取值范围
是______．
四、解答题：本题共5小题，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分13分）
设集合，，
（1）若，求，；
（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
16．（本小题满分15分）
记等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，
且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．（本小题满分15分）
设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）求，；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）求数列的通项公式．
18．（本小题满分17分）
已知函数，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）求的单调区间：
（3）若，，使得，求a的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数，．
（1）求函数的极值：
（2），，是函数图像上任意两点，且满足，求实数a的取值范围，
（3）若，使成立，求实数a的最大值．
南昌十中2023-2024学年下学期期中考试高二数学试题答案
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D【解析】解：在等差数列中，，，成等差数列，所以，则，即．故选：D．
2．【答案】B【解析】解：由韦恩图可知阴影部分所表示的集合为，由，则，又则，故选B．
3．【答案】B【解答】解：由，
可知，
可知．
4．【答案】B【解答】解：对于①，由知，故①正确；对于②，不妨设，．则，故②错误；对于③，因为．所以，．又，所以，故③正确，综上①③正确．故选：B．
5．【答案】A【解答】解：令，其定义域为，因为，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D，当时，，所以，当时，，函数递增，当时，，函数递减，故排除C，故选：A．
6．【答案】B【详解】∵，，∴，∴，又，
∴是以首项为1，公差为2的等差数列，∴，∴，
∴令，
∴，
故选：B．
7．【答案】D【解答】解：由题意，显然，当时，，即函数在上单调递增，又，，根据函数零点存在定理可知，函数在上存在唯一1个零点又因为在R上仅有一个零点，所以函数在不存在零点即方程在上无解．
令，，
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；故当时，取得极大值．又，且时，．故在上的值域为，则．
故选D．
8．【答案】A【详解】因为在函数的图象上，所以，即是以为首项，为公比的等比数列．若，且，，则可能的情况由两种：（1）则，所以等比数列首项为负，公比，所以等比数列单调递增；
（2）则，所以等比数列首项为正，公比，所以等比数列单调递增．
所以“”是“为递增数列”的充分条件．若为递增数列，，又且，所以：或由；
由；所以“”是“为递增数列”的必要条件．故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】BC
【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；当时，；所以在，上单调递减，在，上单调递增．可知：A错误；B正确；且函数在处取得极大值，故C正确；虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；故选：BC．
10．【答案】AB【解析】对于A，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即A正确；对于B，因为，所以，即与是相同的，所以，B正确；
对于C，因为，所以，所以，即C错误；
对于D由于，而，故，即D错误．故选：AB．
11．【答案】BCD【详解】对于A选项，，为奇数，，
为偶数，则为奇数，为奇数，为偶数，，以此类推，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，故A不正确；对于B选项，又∵，
∴，故B正确：对于C选项，，∴，以此类推，故C正确；对于D选项
，所以，故D正确．故选：BCD．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】【解答】解：令，
∴，即，∴，又，，∴，，
则．故答案为：．
13．【答案】43【解析】解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合A，B，C，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为．故答案为43．
14．【答案】【详解】定义在R上的函数关于y轴对称，∴函数为R上的偶函数．
令，则，为奇函数．．
当时，不等式．∴，在单调递增．
∴函数在R上单调递增．对，不等式恒成立，
，即．∴．
当时，，则，则，；，；
故在单调递减，在单调递增；可得时，函数取得极小值即最小值，，∴．当时，，则，则则a的取值范围是．故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．【答案】解：（1）∵，，
∴，，
∴，．
（3）∵中只有一个整数，所以，且，
解得：，∴实数m的取值范围是．
16．【答案】（1），（2）
【详解】（1）
得：，∴或，
同理：∴或，∵是等差数列，∴．∴．∴，∵是等比数列，∴．∴．∴；
（2）令，其前n项和为，
当n为偶数时，
当n为奇数时，．综上所述，．
17．【答案】解：（1）由，得且，
当时，，解得，
当时，，解得；
（2）对于①，当，时，②
得：即，则，
又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，解得，
当，时，，
又当时，，不满足，所以，
18．【答案】（1）（2）递增区间为，；递减区间为，；
（3）
【解析】（1）时，，
，又，所以，即．
（2）由题可得
令，可得，，，
当时，，
当时，，所以的递增区间为，；递减区间为，．
（3）由题可得，
由（1）得在上递增，上递减，
，，所以．
由题可得，由可得，所以在上递减，在上递增．
若，即，则在单调递增，
则，所以．若，即，则在单调递减，所以，所以a无解．
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
所以或，则，且，
解得．综上所述，a的取值范围为
19．【答案】（1）极小值为1，无极大值（2）（3）1
【详解】（1）因为，所以
所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值；
（2），不妨设，则，
由，可得，变形得恒成立，
令，则在上单调递增，
故在上恒成立，∴在上恒成立．
∵，当且仅当时等号成立∴；
（3）∵，∴．
∵，∴，∴，使得成立，
令，则，
令，令，可得或（舍）．
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
∴，∴在上恒成立，
∴在上单调递增，则，即，
∴实数a的最大值为1．