四川省成都七中万达学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份四川省成都七中万达学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了在复平面内，复数，则等于，已知向量，则等于，下列各式中，值为的是，已知，则的值为，满足，奔驰定理等内容，欢迎下载使用。
开卷寄语：愿你一直保持初心，追逐梦想，每一份热爱，都值得全力以赴，在这个世界上闪耀属于自己独特的光芒.任何时候，都别否定自己，你特别好，特别值得!
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A.-2 B. C.2 D.
2.在复平面内，复数，则等于（ ）
A. B. C.2 D.
3.已知向量，则等于（ ）
A. B. C. D.
4.下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知是两个非零向量，同时满足，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.满足（其中分别为角所对的边）的三角形有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
8.奔驰定理：已知是内的一点，若的面积分别记为，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（共4个小题，每小题5分，共20分.每小题的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.对于非零向量，给出下列结论，其中正确的有（ ）
A.若，则；
B.若，则；
C.
D.
10.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则为等腰直角三角形
C.
D.若，则为钝角三角形
11.已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则为等边三角形
C.若，则为的垂心
D.若，则点的轨迹经过的重心
12.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.的表达式可以写成
B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C.在区间上单调递增
D.若方程在上有且只有6个根，则
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，且，则实数
14.函数的部分图像如图所示，则__________.
15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶300米后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度__________（米）
16.如图，在等腰梯形中，为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动，为圆弧与的交点.若，其中，则的取值范围是__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.其中17题10分，18题—22题每题12分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求：
（1）对角线所表示的复数；
（2）求点对应的复数.
18.已知向量.
（1）若向量与垂直，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围
19.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得这三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，现已测得三段线段的长度分别为.
（1）求出线段的长度；
（2）求出隧道的长度.
20.已知向量.
（1）若，求的值；
（2）当时，求函数的值域.
21.记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
22.设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线.
（1）证明，并求的范围；
（2）求的最小值；
（3）若，求的最小值.
成都七中万达学校高2026届高一下半期考试
数学答案与解析
一､单选题
1-5ADABD 6-8CAA
二､多选题
9.AD 10.ACD 11.CD 12.ABD
12.【详解】由，得，即，又，又的图象过点，则，即，即得，又，
所以，故A正确；
向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；
当时，则，由余弦函数单调性知，在单调递减，故错误；对于，由，得，解得或，方程在上有6个根，从小到大依次为：，而第7个根为，所以，故D正确.
三､填空题
13.-2 14. 15. 16.
16.【详解】依题意，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，其中，由题意可知，，则，.因为，所以，则，解得，所以.又，
所以.
四､解答题
17.【详解】：（1）所表示的复数为.
（2）所表示的复数为，
即点对应的复数为.
18.【详解】（1）依题意得：，
向量与垂直，，解得：.
（2）由（1）向量与的夹角为锐角，
且.解得且.
的取值范围是.
19.【详解】（1）由已知可得，
在中，由正弦定理得：，即，解得；
（2）由已知可得，在Rt中，，所以隧道长度.
20.【详解】（1）解：，，即，.
（2）解：因为，
所以，
当时，的值域为.
21.【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
则，
即，而，于是，
又，所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，
由为锐角三角形，得，解得，则，则，所以的取值范围是.
22.【详解】（1），
，
为锐角，，
解法一：
取的中点为，
.
解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，，
，
.
（2）解法一：由题意知：，
当且仅当时，等号成立，的最小值为.
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为.
（3）解法一：由题意知：
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：以为原点，以为轴，建立直角坐标系
三点共线，
，
，
.