云南省红河州弥勒市第一中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

这是一份云南省红河州弥勒市第一中学2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题，共13页。试卷主要包含了随机变量的分布列如下表所示，则，设函数满足，当时，，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
4．6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．360B．180C．90D．45
5．已知为等差数列，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设函数满足，当时，，则（ ）
A．2B．C．D．
7．设是同一个球面上四点，球的表面积为，是边长为6的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，，的周长为，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．当时，的取值范围为，
D．的图象可由图象向左平移个单位长度得到
10．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为（为自然对数的底数，为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”，依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．复数为纯虚数
B．复数对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
11．已知直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，点为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以为直径的圆和抛物线的准线相切
12．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”，则（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用，黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．过点且在轴上的截距为3的直线方程是______．（请写出一般式方程）
14．已知为锐角且满足，则______．
15．已知函数在点处的切线经过点，，，则的最小值为______．
16．若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图1所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则______．
图1
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在中，角所对的边分别为，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值．
18．（本小题满分12分）
设正项数列的前项和为，，，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且数列的前项和，求的值．
19．（本小题满分12分）
如图2，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点．
图2
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离．
20．（本小题满分12分）
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，使用按男女学生人数比例分配的分层抽样方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如图3所示的频率分布直方图．
图3
（Ⅰ）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（Ⅱ）试估计测评成绩的第三四分位数；
（Ⅲ）已知样本中男生与女生的比例是，男生样本的均值为69，方差为180，女生样本的均值为73，方差为200，求总样本的方差．
21．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若在上为减函数，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于，两点．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）记为坐标原点，求面积的最大值．
弥勒一中2023-2024学年下学期高一期中检测
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
【解析】
1．由题设得，，所以，故选D．
2．因为，，所以，所以，因为与方向相同的单位向量为，所以在上的投影向量为，故选A．
3．由条件可知，，解得，故，故选C．
4．6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为种，故选C．
5．设的公差为，若，则，则，可得或，所以“”不是“”的充分条件；若，则，所以“”是“”的必要条件；综上所述：“”是“”的必要而不充分条件，故选B．
6．因为，所以，所以，所以函数的周期为2，因为，所以，故选D．
7．如图1，已知的边长，此时外接圆的半径为，又，故球心到平面的距离为，故点到平面的最大距离为，此时，故选B．
图1
8．令双曲线的焦距为，依题意，解得在中，，由余弦定理得，整理得，所以双曲线的离心率为，故选D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9．因为，对于A，的最小正周期为，故A错误；对于B，因为在上单调递增，由得在上单调递增，故B正确；对于C，当时，，所以，所以的取值范围为，故C正确；对于D，图象向左平移个单位长度得到，故D错误，故选BC．
10．对于A，，所以为纯虚数，故A正确；对于B，，
因为，所以，，所以复数对应的点位于第二象限，故B正确；对于C，，复数的共轭复数为，故C错误；对于D，，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，故D正确，故选ABD．
11．如图2，依题意可知，所以，解得，A错；由消去可得，所以，，，B对；，C对；以为直径的圆的圆心横坐标为，而半径，故该圆圆心到轴的距离恰好等于半径，所以该圆与轴相切，与准线相离，D错，故选BC．
图2
12．，，故A正确；由题意可知，，故C正确；，，则，故B错误；，故D正确，故选ACD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．依题意，直线的斜率存在，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，所以直线方程为，即．
14．由，得，则，是锐角，．
15．，则切点为，又，切线斜率为，切线方程为，又点在切线上，，则，当且仅当，即，时等号成立．
16．因为斐波那契数列总满足，且，所以，，，类似的有，，其中，累加得，，故．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，
因为，所以，从而，
又，
所以，，
（Ⅱ）在中，由面积公式可得，
解得；
由余弦定理得：，
所以．
18．（本小题满分12分）
解：（I）由，及，得，
则，故正项数列为等比数列，
由于，，则，则或（舍去），
故公比，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以，
又，得，
解得．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取中点，连接，如图3所示，
图3
为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：，易知，又，得．
由平面，且直线与圆柱底面所成角为，
即，则有．
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则有，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则
令，有，，得，，
设点到平面的距离为，．
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，分数在的频率为，
在样本中分数在的人数为（人），
又在样本中分数在的学生有5人，
所以样本中低于40分的人数有人，
故总体中分数小于40的人数为人．
（Ⅱ）测试成绩从低到高排序，样本中分数在的频率为0.4，
样本中分数在的频率为0.8，则分位数在之间，
所以估计测评成绩的分位数为．
（Ⅲ）由题意可知总样本的均值为，
所以总样本的方差为．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，，定义域为，，
当时，；当或时，；
所以在和上为减函数，在上为增函数，
故的极小值为，的极大值为．
（Ⅱ）由已知得在上恒成立，
即在上恒成立，
分离参数得在上恒成立，
令，则，且，
所以在上单调递减，故，所以，
故的取值范围为．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，解得，，
故的方程为．
（Ⅱ）如图4，设，直线，
图4
联立，整理得：．
由得，且，，
，
点到直线的距离，，
令，故，故，
当且仅当，即，时等号成立，
故面积的最大值为．
1
2
3
4
0.1
0.3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
C
B
D
B
D
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABD
BC
ACD
题号
13
14
15
16
答案
6