2024三省三校（湖南省长郡中学、南京师大附中、杭州二中）高三下学期4月模拟考试数学含解析

这是一份2024三省三校（湖南省长郡中学、南京师大附中、杭州二中）高三下学期4月模拟考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。


考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则( )
A.B.C.D.
2.已知，，则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
3.若非空集合,,,满足：,，则( )
A.B.C.D.
4.抛物线上的点到焦点的距离为( )
A.B.2C.D.1
5.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积. 圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为( )
A.B.C.D.
6.已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为( )
A.2B.C.D.
7.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率
B.
C.面积的最大值为12
D.的最小值为
10.四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则( )
A.直线与平面有一个交点
B.
C.
D.三棱锥的体积为
11.已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则( )
A.
B.为等比数列
C.数列的前项和
D.不是任一等差数列的三项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中的系数为______.
13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则_____.
14.已知，函数恒成立，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.某手机公司对一小区居民开展个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：
(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份对这款不满意人数；
(2)工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
，
16.已知中，角,,所对的边分别为,,，且.
(1)求；
(2)若，为边上一点，，，求的面积.
17.如图，在直三棱柱中，，，点分别在棱上，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
18.已知双曲线的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)求的取值范围.
19.已知函数, a∈R.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，.月份x
1
2
3
4
5
不满意的人数y
120
105
100
95
80
使用
不使用
女性
48
12
男性
22
18
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
2024年高三三校联考数学模拟卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则( )
A.B.C.D.
【答案】D
2.已知，，则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
【答案】D
3.若非空集合,,,满足：,，则( )
A.B.C.D.
【答案】B
4.抛物线上的点到焦点的距离为( )
A.B.2C.D.1
【答案】A
5.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积. 圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
作圆锥的轴截面，轴截面与球内接圆锥底面交于
所求体积即为球缺与内接圆锥的体积之差
轴截面顶角为，，设圆锥底面半径为，则，即
则圆锥的高为，则
球缺的高为，则
6.已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为( )
A.2B.C.D.
【答案】B
7.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
令，则
因为，所以
又因为在区间上是单调函数，则在区间上是单调函数
所以，即，解得
8.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大
若圆上存在点，使得，则
由和可知，过且与圆相切的一条直线为，切点
则在直角三角形中，，从而
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的离心率
B.
C.面积的最大值为12
D.的最小值为
【答案】AC
10.四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则( )
A.直线与平面有一个交点
B.
C.
D.三棱锥的体积为
【答案】BD
【解析】
A.取棱中点，连接，
因为是棱的中点，则
因为，则，即，，，四点共面，则为直线
因为平面，平面，则平面，即平面，A错误
B.因为底面，平面，则
因为底面是正方形，，，则平面，则
因为，则为等腰直角三角形，
因为，且，平面，则平面，则，B正确
C.设，
因为四点共面，则，，即，C错误
D.，D正确
11.已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则( )
A.
B.为等比数列
C.数列的前项和
D.不是任一等差数列的三项
【答案】BCD
【解析】
A.，，A错误
B.设，即
，不是中的项，即不是的项
，是中的项，即是的项
，则，即为等比数列，B正确
C.错位相减法计算得，且，单调递增，所以
D.设是等差数列的第项，的首项为，公差为
是有理数，是无理数
原假设不成立，即不是任一等差数列的三项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中的系数为______.
【答案】
13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则_____.
【答案】
【解析】
，检测的两件产品均为正品或均为次品，则
，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则
14.已知，函数恒成立，则的最大值为______.
【答案】7
【解析】
先考虑的情况，则
令，则，则在单调递增，单调递减，则
因此，即
当，时，显然不成立
当时，，，即恒成立，则
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.某手机公司对一小区居民开展个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：
(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份对这款不满意人数；
(2)工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
，
【解析】
(1)由表中的数据可知：，
，
所求得回归直线方程为······················································5分
当时，
该小区月份的对这款不满意人数预估为37人········································9分
(2)零假设为：是否使用这款与性别无关·············································10分
由表中的数据可得························12分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否使用这款与性别有关，此推断的错误概率不大于0.01···································································13分
16.已知中，角,,所对的边分别为,,，且.
(1)求；
(2)若，为边上一点，，，求的面积.
【解析】
(1)因为，由正弦定理得
因为，可得，又因为，可得
所以，即
又因为，可得，所以，所以，可得·····················6分
(2)由知
则，即
化简得①································································8分
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得
而，所以，则，即②····10分
由①②得
由于，得，代入②得·····················································13分
所以的面积为········································15分
17.如图，在直三棱柱中，，，点分别在棱上，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】
(1)连接交于点，连接、、、
因为，，所以
因为，所以四边形为平行四边形，所以
因为，所以
因为平面，平面，所以平面·································6分
(2)因为
又因为
所以当时取最大值
即当时直三棱柱的体积最大············································9分
又平面，平面，所以，
如图建立空间直角坐标系，则，，
所以，
设平面的法向量为
则，取·················································12分
又平面的一个法向量为····················································13分
设平面与平面夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为···········································15分
18.已知双曲线的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)求的取值范围.
【解析】
(1)由题意知：，则，则·································4分
(2)易知的斜率为0时不成立
设，
，，···························6分
，，·····································8分
线段AB、CD的中点重合
··········································································10分
(3)································12分
O到直线AC的距离
······14分
令
则··························17分
19.已知函数, a∈R.
(1)当时，求在区间内极值点的个数；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：，.
【解析】
(1)时，
在单调递增，在内单调递增
当时，单调递减，，
，，在单调递增，单调递减····················2分
当时，单调递增，，
，，在单调递减，单调递增
，
，，在单调递减，单调递增··················4分
综上，在单调递增，单调递减，单调递增，共2个极值点··········5分
(2)，
是的极大值点
，即····························································7分
下证：当时，恒成立
，
①当时，，，则在单调递减
，在单调递增，···························9分
②当时，，则在单调递减
·····································································11分
综上，符合题意
(3)由(2)可知，，当且仅当时取等
··············13分
即证：·······························································15分
令，则
即证：，
令，则
时，，单调递减
，即，···········································17分
综上，，
月份x
1
2
3
4
5
不满意的人数y
120
105
100
95
80
使用
不使用
女性
48
12
男性
22
18
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
请在各题目的答题区域内作答 , 超出矩形边框限定区域的答案无效！
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2024年高三三校联考数学模拟卷答题纸
选择题(请用 2B 铅笔填涂)
非选择题（请使用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔书写）
班 级 姓 名 考 场
座 号
准 考 证 号
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
注 意 事 项
1. 答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的 位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及 考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨 水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。
3. 考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域 范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。
贴条形码区域
填涂样例
正确填涂: 错误填涂： VA
缺考标记：
1 [A] [B] [C] [D]
2[A] [B] [C] [D]
3[A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D]
6 [A] [B] [C] [D]
7 [A] [B] [C] [D]
8 [A] [B] [C] [D]
9[A] [B] [C] [D]
10[A] [B] [C] [D]
11[A] [B] [C] [D]

12
13
14
15.(本小题满分 13 分)
16.(本小题满分 15 分)
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请在各题目的答题区域内作答 , 超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答 , 超出矩形边框限定区域的答案无效！
17.(本小题满分 15 分)
18.(本小题满分 17 分)
19.(本小题满分 17 分)
数学 第 2 页（共 2 页)