2024自治区拉萨高三下学期5月月考试题数学（文）含解析

这是一份2024自治区拉萨高三下学期5月月考试题数学（文）含解析，共17页。试卷主要包含了已知平面向量，且，则实数的值为，函数的大致图象是，己知，则，已知等差数列的公差为，前项和为等内容，欢迎下载使用。
文科数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是方程的根，则（ ）
A.-3 B.-1 C.2 D.3
3.空气质量指数（Air Quality Index，简称）等级表：
以下是某市2024年4月1日至22日空气质量指数分布的散点图，下列关于这22天空气质量的描述，不正确的是（ ）
A.空气质量为“良”的天数最多
B.空气质量为“优”和“良”的天数超过一半
C.17日空气质量为“重度污染”
D.该市这22天空气质量越来越差
4.已知平面向量，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
6.函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知正四面体中，是的中点，连接是的中点，点满足，则（ ）
A.
B.平面
C.平面
D.平面平面
8.己知，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知椭圆的离心率为是椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为.设点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.6
10.已知等差数列的公差为，前项和为.若成等差数列，且，则（ ）
A.12 B.21 C.32 D.56
11.已知函数，下列关于的描述，不正确的是（ ）
A.
B.的最小正周期为
C.的图象关于直线对称
D.在上单调递增
12.已知圆锥的母线长为是底面圆的直径，为底面圆周上一点，，当圆锥的体积最大时，直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数__________.
14.已知等比数列的前项和为，则__________.
15.某企业钳工､车工和焊工三个车间分别推荐了1名男员工和1名女员工，供该企业工会从中选出2名员工参加全国技能比赛.若这6名员工每人被选上的机会相等，则选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率为__________.
16.设双曲线的左､右焦点分别为为左顶点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点（点在第一象限）.若，则双曲线的离心率__________，__________.（第一空2分，第二空3分）
三､解答题：共0分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知的内角的对边分别为.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18.（12分）
为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动.该校学生会从全校学生中随机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分（满分：100分）统计，分别绘制成频率分布直方图，如图所示.
（1）现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上（含80分）的同学，根据男生组和女生组得分在80分以上（含80分）的人数，按分层抽样比例分配，则男生组､女生组分别得多少张该戏剧的演出票？
（2）假定学生竞赛成绩在80分以上（含80分）被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成绩及性别制成下列列联表表示参加竞赛的学生成绩：
根据列联表，判断是否有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关？
参考公式：（其中.
19.（12分）
如图，在正四棱柱中，，为棱上一点（含端点），且.
（1）证明：；
（2）当时，证明：平面；
（3）设几何体的体积为，若，求的取值范围.
20.（12分）
己知函数.
（1）讨论的单调性：
（2）若有两个极值点，求证：.
21.（12分）
已知抛物线，准线与轴交于点为抛物线上一点，交轴于点.当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线的另一交点为（点在点之间），过点且垂直于轴的直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设是曲线上的两点，且.若直线上存在点，使得，求的取值范围.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，函数有两个零点，且满足，求实数的值.
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
空气质量指数
（AQI）
男生
女生
合计
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
2024届高三5月大联考（全国甲卷）
文科数学·全解全析及评分标准阅卷
注意事项：
1阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准.
2请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案､评分细则､答题角度后，再开始改卷.
3.请老师认真批阅，不可出现漏改､错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以点击回评按钮重评.
4.成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评.
5解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明､证明过程或演算步骤，合理即可给分.
6解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明､证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明､证明过程或演算步骤应给分，因第（1）问中结果算错，使后面最终结果出错（过程列式正确），不宜重复扣分.
7阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师（或考试负责人），由其统一在技术QQ群里反馈问题并协助解决.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【解析】由题意，知，所以.故选C.
2.A 【解析】由题意，得，即，所以，且，解得，所以.故选A.
3.D 【解析】从该市4月1日至22日空气质量指数分布的散点图可以看出，空气质量为“优”和“良”的天数超过一半，且为“良”的天数最多；17日的空气质量指数位于之间，属于“重度污染”，所以A，B，C都正确，而这22天的空气质量有变化，不完全是越来越差，所以D错误.故选D.
4.B 【解析】由已知，得，又，所以，即，所以，解得.故选B.
5.B 【解析】执行程序框图，初始值，判断“否”，
第一次执行循环体：，判断“否”；
第二次执行循环体：，判断“否”；
第三次执行循环体：，判断“否”；
第四次执行循环体：，判断“否”；
第五次执行循环体：，判断“否”；
第六次执行循环体：，判断“是”，输出.故选B.
6.C 【解析】由，得，所以的定义域为.又，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B错误；因为，所以当时，，所以，故A，D错误.故选C.
7.C 【解析】如图，连接，平面即平面.由是的中点和，知与相交.对于，因为四面体为正四面体，所以.若，又平面，且相交，所以平面.又平面，所以，与矛盾，所以错误；
对于，若平面，由平面，平面平面，得，与相交矛盾，所以错误；
对于，由，知三点共线，且.取的中点，连接，所以，所以.又平面平面，所以平面.又是的中点，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，且，所以平面平面.因为平面，所以平面，所以正确；
对于，连接，因为是的中点，所以.若平面平面，又平面平面，所以平面.又平面，所以，与矛盾，所以错误.故选C.
8.B 【解析】由已知，得，，所以.故选B.
9.A 【解析】设椭圆的半焦距为，由题意，得，所以.设椭圆的左焦点为，则，
所以.故选A.
10.C 【解析】因为数列的公差为，所以，.由题意，知，即，整理，得，解得或（舍去）.当时，.故选C.
11.D 【解析】，所以A正确；，画出函数的部分简图，如图：
由图象，知的最小正周期为，所以正确；
又的图象关于直线对称，由周期性，知的图象关于直线对称，所以C正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，由的周期性，知当时，在上单调递增，在上单调递减，所以D错误.故选D.
12.A 【解析】如图，圆锥的母线长.设圆锥的底面半径为，高为，则，圆锥的体积.
令，则.令，得或.因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，此时.
因为，所以.
延长交于点，连接，则四边形是平行四边形，所以，
所以直线与所成的角为或其补角.
在等腰三角形中，，所以，
所以直线与所成角的余弦值为.故选A.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2 【解析】因为，所以，所以.故填2.
14. 【解析】设等比数列的公比为，由，得，所以，所以，.故填.
15. 【解析】设3名男员工分别为名女员工分别为，其情况如下表：
则从6人中选出2人的基本事件有，，共15个，其中满足条件的基本事件有，，共6个，所以选出的2人恰好是1名男员工和1名女员工，且他们来自不同车间的概率.故填.
16.2； 【解析】由题意，知，设双曲线的焦距为，则.
由，得，且，所以，所以，即，所以双曲线的离心率.
如图，连接，设，则.在和中，由余弦定理的推论，得
，化简整理，得
所以在中，由余弦定理的推论，得
.
故填.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
【解析】（1）由和正弦定理，
得
.
因为，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，
所以，
即，解得
所以的面积
.
18.（12分）
【解析】（1）由频率分布直方图，
知男生组得分在80分以上（含80分）的有（人），
女生组得分在80分以上（含80分）的有（人），
男生占比为，女生占比为，
所以男生组分得票数为，
女生组分得票数为，
所以男生组､女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票.
（2）由（1），知男生组得分在80分以上（含80分）的有9人，80分以下的有51人；女生组得分在80分以上（含80分）的有21人，80分以下的有39人，
所以得如下列联表：
根据列联表中数据计算，得
根据临界值表，知没有的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关.
19.（12分）
【解析】（1）如图，连接.因为是正四棱柱，所以底面为正方形，
且平面，所以.又平面，所以.
又平面，所以平面.
又平面，所以.
（2）当时，为的中点，所以，
所以.
又，所以，所以.
由（1）知，.
因为平面，所以平面.
（3）因为为棱上一点（含端点），且，所以.
又，
所以
因为，所以，
解得，即的取值范围是.
20.（12分）
【解析】（1）的定义域为.
①若，则，所以在上单调递增；
②若，令，此时，
i）当，即时，，所以在上单调递增；
ii）当，即时，
方程的两个实数根为，且，
当或时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减.
（2）有两个极值点，结合（1），知，且是方程的两个实数根，所以，
所以.
令，则.
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，即.
21.（12分）
【解析】（1）因为当时，，所以四边形为平行四边形，
所以即所以
将代入，得，
解得分
所以抛物线的方程为.
（2）如图，由题意，得.设直线的方程为，则.
由，得，所以.
假设存在实数，使得，即.
由题意，知，
所以.
又，
所以，
即存在实数，使得成立.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）由（为参数，，消去参数，得直线的普通方程为.
由，得.
将代入，
得曲线的直角坐标方程为，即.
（2）由（1），知曲线表示圆心为，半径为的圆，为一条直线.
设弦的中点为，
因为，所以，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上.
又，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上.
依题意，直线上存在点，使得
所以点到直线的距离，即，
所以，
所以的取值范围为.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）若，则，
即
两边平方，得，即，
解得，所以实数的取值范围是.
（2）因为，所以函数.
观察图象（图略），知函数在上单调递减，在和上单调递增，且，
所以①当时，.由，解得；
②当时，，此时，与矛盾，舍去.
综上，实数的值为3.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
D
B
B
C
C
B
A
C
D
A
钳工
车工
焊工
男员工
女员工
男生
女生
合计
9
21
30
51
39
90
合计
60
60
120