安徽省皖北五校联考2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份安徽省皖北五校联考2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集，，集合，则集合( )
A.B.C.D.
2．已知z为复数且（i为虚数单位），则共轭复数的虚部为( )
A.2B.2iC.-2D.-2i
3．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A.2B.4C.5D.6
4．“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则( )
A.B.C.D.
6．甲、乙等6名高三同学计划今年暑假在A，B，C，D四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有( )
A.96种B.132种C.168种D.204种
7．已知不等式有解，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知实数x，y满足，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．一组数据，，，是公差为-2的等差数列，若去掉首末两项，则( )
A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差没变
10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A.若，则一定是等腰三角形
B.若，则一定是等边三角形
C.若，则一定是等腰三角形
D.若，则一定是钝角三角形
11．已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是( )
A.平面与平面夹角的余弦值为
B.若点P满足，则的最小值为
C.在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为
D.点Q在内，且，则点Q轨迹的长度为
三、填空题
12．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是________.
13．已知抛物线的焦点为F，抛物线C的准线l与x轴交于点A，过点A的直线与抛物线C相切于点P，连接，在中，设，则的值为________.
14．对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为α，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为β求________.
四、解答题
15．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求a，b的值
(2)求在上的最大值和最小值.
16．如图，在平行四边形ABCD中，，，，四边形ACEF为正方形，且平面平面ACEF.
(1)证明：；
(2)求点C到平面BEF的距离；
(3)求平面BEF与平面ADF夹角的正弦值.
17．现需要抽取甲、乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验.将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验.首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为.
(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；
方案二，从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
18．设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于两点，过B作的平行线交于点E.
(1)设动点E的轨迹为曲线C，求曲线C的方程.
(2)曲线C与x轴交于，点，在点的右侧.直线m交曲线C于点M，N两点m不过点，直线与直线的斜率分别是，且，直线和直线交于点.
(1)探究直线m是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
(2)证明：为定值，并求出该定值.
19．在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数(质数).历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”：；还有“欧拉质数多项式”：.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用索数的数据加密技术）——数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.
(1)数列中经数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据，，，的数值.
(2)依据，，，的数值写出数列的通项公式(不用严格证明但要检验符合).并求数列前n项的和.
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数，，是方程的两个根是的导数.设，.证明：对任意的正整数n，都有.(本小题数列不同于第(1)(2)小题)
参考答案
1．答案：B
解析：根据集合的运算性质，选B.
2．答案：C
解析：因为，所以，
所以，则共轭复数的虚部为-2.
故选：C
3．答案：A
解析：依题意，是等差数列，且，，，成等比数列，所以，，由于.所以，，故选A.
4．答案：D
解析：当时，两直线重合，故选D.
5．答案：B
解析：，所以，则，即，由正弦定理，.故选B.
6．答案：C
解析：根据排列，组合公式本题答案选C.
7．答案：A
解析：不等式有解，即，只需要，令，，
令，
，所以函数在上单调递增，又，所以存在，使得，即，，，即，，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，又由，可得，，，故选A.
8．答案：B
解析：将实数x，y满足通过讨论x，y得到其图像是样圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图像分析可得的取值就是图像上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.
解析：因为实数x，y满足，
所以当，时，其图像位于焦点在y轴上的椭圆第一象限，
当，时，其图像位于焦点在x轴上的双曲线第四象限，
当，时，其图像位于焦点在y轴上的双曲线第二象限，
当，时，其图像不存在，
作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中图像如下：
任意一点到直线的距离
所以
结合图像可得的范围就是图像上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条浙近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于P时，2d取得最小值，
当曲线上一点靠近双曲线的浙近线时2d取得最大值，不能取等号设与其图像在第一象限相切于点P
由，
因为或(舍去)，
所以直线与直线的距离为，
此时，
直线与直线的距离为，
此时，
所以的取值范围是，
故选B.
9．答案：BC
解析：对于选项A，原数据的平均数
去掉首末两项后的平均数
所以平均数不变，故选项A错误；
对于选项B，原数据的中位数为，去掉首末两项后的中位数为，所以中位数不变，故选项B正确；对于选项C，原数据的方差
去掉首末两项后的方差
所以方差变小，故选项C正确；
对于选项D，原数据的极差，去掉首末两项后的极差，所以极差变小，故选项D错误.
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：由，是等腰或直角三角形.故A错，答案是BCD，
11．答案：ABC
解析：将正四面体补全为正方体，并如图建系，，
，，，，，，，
设面的一个法向量，面的一个法向量，
所以取，解得，所以面的一个法向量，面的一个法向量，设平面与平面夹角为α，时，A对.
，
则P，A，B，C共面，正四面体棱长为3，
则正方体棱长为.
所以，，B对.
大正四面体内切球半径，
小正四面体梭长为a，此外接球半径.
，，，C对.
分别在上取使，延长至使，
，取，的中点M，Q在以M为球心，
为半径的球面上，且Q在内，作M在平面上的射影，
，，Q为图中，显然不是一个完整的圆，
Q的轨迹长度不为，D错.
故选ABC.
12．答案：
解析：由，可知，
所以二项式为.
其展开式的通项为
令，即，
所以常数项为.
故选：B.
13．答案：
解析：根据抛物线性质
14．答案：-3
解析：当函数恰有两个零点时，切点的横坐标恰为α.当函数恰有四个零点时，切点的横坐标恰为β.求得，以及.故本题答案为-3
15．答案：答案：(1)，；
(2)或
解析：(1)依题意可知点为切点，代人切线方程可得.
，即，
又由得，，
而由切线的斜率可知
，即，
由解得，
(2)由(1)知，
，
令，得或，
当x变化时，，的变化情况如下表：
最大值为13，最小值为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：在平行四边形ABCD中，，
在中，由余弦定理得：，即，
由，得，，
又四边形ACEF为正方形，，
又平面平面ACEF，平面平面，平面ACEF，
平面ABCD，又平面ABCD，，
又，平面ACEF，
平面ACEF，
平面ACEF，.
(2)解：由(1)得AB，AC，AF两两垂直，分别以AB，AC，AF所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面BEF的一个法向量，，，
则，取，得，
，C到平面BEF的距离，
(3)设平面ADF的一个法向量，，，
则，取，得，
设平面BEF与平面ADF所成锐二面角的平面角为，
则.
平面BEF与平面ADF夹角的正弦值.
17．答案：答案：(1)；(2)；(3)选择方案一，在二次检验抽到合格品的概率更大.；
解析：(1)设首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，抽到合格品记为事件B，则首次检验抽到合格品的概率
(2)在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
由上一小问已知：在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率，
若选择方案一，则在二次检验抽到合格品的概率，
若选择方案二，则在二次检验抽到合格品的概率，由于
所以，选择方案一，在二次检验抽到合格品的概率更大.
18．答案：答案：(1)；
(2)①；②；
解析：因为，故，
所以，故.
又圆A的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：
(2)①设点，，直线
联立方程得整理得，
，
所以，
即，
因为，所以，
化简整理可得，即，
所以直线l过定点；
②设直线和直线的斜率为，
由椭圆第三定义，得，又由①得，
所以，所以；
19．答案：答案：(1)，，；
(2)；
(3)证明见解析；
解析：(1)根据费马数
求得，
，，，
，，，
，，，
(2)根据上面的数据得数列的通项公式为
经检验：，，，的数值符合该公式.(如改卷时发现其他通项，检验符合也给分，不检验不给分)
数列前n项的和
(3)证明：，，
由依次可得，，，，(基本不等式取等条件不成立.）.
x
-2
2
0
-
0
+
13
单调递减
单调递增
13