河南省郑州市2024届高三下学期第三次质量预测数学试卷(含答案)

这是一份河南省郑州市2024届高三下学期第三次质量预测数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数（a,且）,若为纯虚数,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,则( )
A.B.C.D.
3．的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,则( )
A.5B.6C.8D.10
4．下列可以作为方程的图象的是( )
A.B.C.D.
5．已知等比数列的前三项和为56,,则( )
A.4B.2C.D.
6．如图,正方形的中心为O,边长为4,将其沿对角线折成直二面角,设M为的中点,N为的中点,则三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为( )
A.B.C.D.
7．拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体,四个面上的数字分别为1,2,3,4）,若骰子与桌面接触面上的数字为1或2,则再抛郑一次,否则停止抛掷（最多抛掷2次）.则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为( )
A.B.C.D.
8．设,,且,则( )
A.若,则B.若,则存在且不唯一
C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.是的对称中心
B.在上单调递增
C.经过点的直线与函数的图象相交
D.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象
10．已知直线（a,b不同时为0）,圆,则( )
A.当时,直线l与圆C相切
B.当时,直线l与圆C不可能相交
C.当时,与圆C外切且与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D.当时,直线l与坐标轴相交于A,B两点,则圆C上存在点P满足
11．已知三棱锥,,是边长为2的正三角形,D,E别是,的中点,,V在平面内的投影为点M,M在平面内的投影为点P( )
A.,,两两垂直
B.P在平面的投影为的中点
C.C,M,E三点共线
D.形如三棱锥的容器能被整体装人一个直径为2.5的球
三、填空题
12．已知,则的值为____________.
13．已知双曲线的离心率为,A,B分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点O重合）,点P在双曲线C上且,的面积为6,则该双曲线的实轴长为____________.
14．抛掷一枚不均匀的硬币,正面向上的概率为,反面向上的概率为,记n次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为,则数列的通项公式____________.
四、解答题
15．按照《中华人民共和国环境保护法》的规定,每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》,并向社会公开发布.下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
（1）求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）;
（2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述,并求出y关于x的经验回归方程;
（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,,
附：样本相关系数,.
16．已知函数.
（1）若,求在处的切线方程;
（2）讨论的零点个数.
17．如图,在三棱台中,,平面平面,.
（1）证明：平面;
（2）若三棱锥的体积为,求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知椭圆的左右顶点分别为和,离心率为,且经过点,过点P作垂直x轴于点H.在x轴上存在一点A（异于H）,使得.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）判断直线与椭圆C的位置关系,并证明你的结论;
（3）过点A作一条垂直于x轴的直线l,在l上任取一点T,直线和直线分别交椭圆C于M,N两点,证明：直线经过定点.
19．复数除了代数形式之外,还有两种形式,分别是三角形式和指数形式,著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进行乘法运算,我们可以定义旋转变换.
根据,我们定义：在直角坐标系内,将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换.设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为,且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此,比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：.
（1）求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标;
（2）求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程;
（3）等边中,,A,C在曲线上,求的面积.
参考答案
1．答案：A
解析：复数,a,,
且,,
,z是实数,,
故选：A.
2．答案：D
解析：由A中的不等式变形得：,
解得:,即;
由B中的函数,得到,即,
,
则.
故选:D.
3．答案：A
解析：在中,由余弦定理可得：$
化简得：,解得：或（舍）.
故选：A.
4．答案：B
解析：根据题意,对于方程,
当且 时,,而,该方程 不会成立,
即该方程在第三象限不会有图象,
分析选项,A、C、D不符合题意, B符合.
故选：B.
5．答案：D
解析：由等比数列通项公式可得:①,
②,
得,
化简得：,解得：,
代入,解得 ,
所以.
故选:D.
6．答案：C
解析：
7．答案：A
解析：抛掷次数为1的概率为,点数可能为3或4,
抛掷次数为2的概率为,
此时基本事件有,,,,,,,共八种,其中点数之和至少为4的情况有 ,,,,共五种,
故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为.
故选：A.
8．答案：C
解析：
9．答案：BC
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：,
,
可得,
解得,即,
故答案为:.
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：1次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为,
2次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为,
第 次抛郑后得到偶数次正面向上, 包括两种情况：
①前n次抛郑后得到偶数次正面向上,且第 次抛掷得到反面向上;
②前n次抛掷后得到奇数次正面向上, 且第次抛掷得到正面向上,
由全概率公式得,,
即,
所以,
则数列是首项为 ,公比为 的等比数列,
所以
所以 .
故答案为: .
15．答案：（1）-0.98
（2）y与x之间具有极强的线性相关关系,可用线性回归模型进行描述
（3）2.15%
解析：（1）由己知可得,,
,
由题可列下表：
,,,
.
（2）由（1）知,y与x的相关系数接近1,所以y与x之间具有极强的线性相关关系,可用线性回归模型进行描述.
（3）由（1）知,,
.
所求经验回归方程为.
令,预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）若,则,.
又.
故所求切线方程为
即.
（2）由题.
1°当时,,在R上单调递减,又,.
存在一个零点,此时零点个数为1.
2°当时,令得,令得,
则在上单减,在上单增.
的最小值为.
Ⅰ）当时,的最小值为0,此时有一个零点.
Ⅰⅰ）当时,的最小值大于0,此时没有零点.
Ⅰⅱ）当时,的最小值小于0,,
时,.此时有两个零点.
综上,当或时,有一个零点;当时,有两个零点;
当时,没有零点.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：如图,在等腰梯形中,连接,
又,可以解得,
在三角形中,,,
又平面平面,且平面平面,
,且平面,
平面.
又,且平面,
平面.
（2）由（1）可知,,
,,
以A为原点,以,为x,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
可得：,,,
易知平面的一个法向量为,
设平面的法向量为,又,,
由
令,解得平面的一个法向量为,
.
平面与平面的夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）直线与椭圆C相切
（3）直线经过定点
解析：（1）由题意得,将代入椭圆方程得,
联立方程组,解得,椭圆的方程为.
（2）直线与椭圆C相切.
理由如下：
设,由,得,解得,此时,
直线的方程为,
联立直线与椭圆消y得,,解得.
直线与椭圆C相切.
（3）设,
由,,三点共线,得,
由,,三点共线,得,
得,又,得,,
得,
即.
设直线的方程为,
即.
联立直线与椭圆消x得,
则有
将②式代入①式,得,解得（舍）或.
直线经过定点.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题可设所求点的坐标为,由
得所求点的坐标为.
（2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为.
则即
得,
所求曲线方程为.
（3）由题点在旋转角是的旋转变换下所得的点为.
设A,C在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为和.
设曲线在旋转角是的旋转变换下所得曲线为,则方程为.
则是曲线的下顶点.
由题,为等边三角形,的面积即为的面积.
设的边长为,由双曲线的对称性：
当和同在曲线的下支时,则,
代入的方程得t无解.
当和同在曲线的上支时,则,
代入的方程得,的面积为.
综上所述,的面积为.
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
-2
-1
0
1
2
1.3
0.4