北京市海淀区北京理工大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份北京市海淀区北京理工大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学期中练习
出题人：崔广平 审题人：何拓程 审核人：金永涛 考试时间90分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是CD中点，那么（ ）
A. 4B. 2C. D. 1
5. 已知是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（ ）
A B.
C. D.
7. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，角和顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知向量，其中，则的最大值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
10. 一粒子在平面上运动轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11. 已知向量满足，则______．
12. 已知，且为第二象限角．则______．
13. 已知，，则______．
14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．
15. 已知函数（其中）．给出下列四个结论：
①若，则是函数的一个零点；
②若，函数的最小值是；
③若，函数图象关于直线对称；
④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题
16. 某同学用五点法作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数的图象；

（2）将的图象向右平移（）个单位，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值．
17. 已知函数
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求的单调递增区间．
18. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（1）求的值；
（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
（1）判断是否具有性质；
（2）若，且具有性质，求的值；
（3）若具有性质，求证：且当时，．0
0
2
0
0
2023—2024学年度第二学期高一年级
数学期中练习
出题人：崔广平 审题人：何拓程 审核人：金永涛 考试时间90分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而可求解.
【详解】由题意可得，故D正确.
故选：D.
2. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由两向量平行坐标间的关系可求解.
【详解】由题意知，所以，解得，故A正确.
故选：A.
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】解：在区间上，，没有单调性，故排除A.
在区间上，，单调递减，故排除B.
在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；
根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除D.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E是CD的中点，那么（ ）
A. 4B. 2C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用化简，再结合数量积的定义可求该式的值.
详解】,
因为，故.
而为的中点，故，故.
故选：B.
5. 已知是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】充分性：由题意知，，为非零向量，当时，可得，故充分性满足；
必要性：当时，即，解得或，故必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由两相邻最值点与周期关系求解，再代入最值点求解.
【详解】由图象知，，解得，
将最大值点代入得，，
解得，又，则，即.
故选：A
【点睛】已知函数图象，确定其解析式的步骤：
（1）求，，确定函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求，确定函数的周期T，则.
（3）求，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间. 如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
7. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在区间上有且仅有两个零点，可得，从而得
【详解】由题意知在区间上有且仅有两个零点，
当时，，则，解得，
所以实数的最小值为，故C正确.
故选：C.
8. 如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意并根据可得，由三角函数定义知，然后应用差角余弦公式计算求值即可.
【详解】由题意，设，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得，
则.
故选：C
9. 已知向量，其中，则的最大值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求，然后求解，又由，从而可求解.
【详解】由题意得，
所以
，
又因为，所以，
所以的最大值为，故B正确.
故选：B.
10. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可.
【详解】由题知，粒子从为一个周期，
对应由为一个周期，
对应由为两个周期，
函数的周期是函数的周期的倍.
对于A，的周期为，的周期为，故A错误；
对于B，的周期为，的周期为，故B正确；
对于C，的周期为，的周期为，故C错误；
对于D，的周期为，的周期为，故D错误.
故选：B.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
11. 已知向量满足，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用向量数量积公式即可求解.
【详解】由题知，
所以.
故答案为：.
12. 已知，且为第二象限角．则______．
【答案】##
【解析】
【分析】由为第二象限角可求出，再利用正弦函数二倍角公式即可求解.
【详解】由题意知且α为第二象限角，所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知，，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值，结合已知条件中的范围，直接求解即可.
【详解】因为，故可得，或，
解得或，又，故或.
故答案为：或.
14. 若与关于轴对称，写出一个符合题意的值______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先由关于轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.
【详解】由题意得，，由诱导公式知，
显然满足题意，解得
故答案为：（答案不唯一）.
15. 已知函数（其中）．给出下列四个结论：
①若，则是函数的一个零点；
②若，函数的最小值是；
③若，函数图象关于直线对称；
④若，函数图象可由图象向右平移个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】当，得，从而可对①②判断；当，，从而可对③判断；由图象向左平移可对④判断；
【详解】对①②：当，，
因为，所以当时，，故②正确；
当时，，故①正确；
对③④：当，，
当，，故③正确；
将图象向左平移得，故④错误.
故答案为：①②③.
三、解答题
16. 某同学用五点法作函数（，，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数的图象；

（2）将的图象向右平移（）个单位，得到的图象，若的图象关于轴对称，求的最小值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知数据求得，再填表以及画图即可；
（2）根据（1）中所求函数解析式，结合三角函数图象变换求得的解析式，再根据其为偶函数，即可求得的最小值.
【小问1详解】
易知，，再根据表格中已知数据可知，，故可得；
令，解得；令，解得；令，解得；
故填表如下：
根据五点作图法，结合表格中数据，画图如下所示：
【小问2详解】
由（1）可知，，根据题意可得，
由题可知，为偶函数，故，故可得，
又，故当时，取得最小值.
17. 已知函数
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求的单调递增区间．
【答案】 单调递增区间为和（）
【考点定位】本题考查三角函数知识，此类型题在平时练习时练的较多，考生应该觉得非常容易入手．
【解析】
【详解】（1）只需，∴∴定义域为
∴最小正周期为
（2），
∴，
∴的单调递增区间为和（）
18. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
（1）求的值；
（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解，
（2）由和差角公式以及辅助角公式化简，由整体法即可代入求解.
【小问1详解】
选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①，
选条件②．
由题设，所以．
因为， 所以，所以．
所以．
选条件③，由题设．整理得．
以下同选条件②．
【小问2详解】
由（1）
因为， 所以．
于是，当且仅当，即时，取得最大值；
当且仅当，即时，取得最小值．
又，即时，．
且当 时， 单调递增，所以曲线与直线恰有一个公共点，则或
的取值范围是．
19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
（1）判断是否具有性质；
（2）若，且具有性质，求的值；
（3）若具有性质，求证：且当时，．
【答案】（1）具有性质
（2）4 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合新定义判断即可；
（2）在中取，根据数量积的坐标表示，求出可能的，再根据求出符合条件的值即可；
（3）取，，由，化简可得，所以异号，而是中的唯一的负数，所以中之一为，另一个为1，从而得到，最后通过反证法得出时，.
小问1详解】
具有性质.
因为，
所以，
若对任意，存在使得，
所以具有性质.
【小问2详解】
因为，且具有性质，
所以可取，
又中与垂直的元素必有形式中的一个，
当时，由，可得，不符合题意；
当时，由，可得，符合题意；
当时，由，可得，不符合题意；
所以.
【小问3详解】
证明：取，设，满足，
所以，所以异号，
因为是中的唯一的负数，
所以中之一为，另一个为1，
所以，
假设，其中，则，
选取，并设，满足，
所以，则异号，从而之中恰有一个为，
若，则，显然矛盾；
若，则，矛盾，
所以当时，，
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.
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