广东省（统考卷）2024年中考数学名师押题卷 考试卷+解答卷

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第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．下列各数最大的是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数大小的比较方法，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
根据实数大小的比较方法比较即可．
【详解】解：，
最大的是4，
故选C．
2．据悉，在国内大量终端的背景下，鸿蒙生态有望形成百亿级别的市场规模．仅移动端APP应用规模达2610000，为鸿蒙相关技术服务开辟道路．数据“2610000”用科学记数法表示（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：数据2610000用科学记数法表示为，
故选：B．
3．下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形指一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分会完全重合，中心对称图形指一个图形绕着一个点顺时针或者逆时针旋转后与自身重合，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，
A为轴对称图形，不是中心对称图形，
B是轴对称图形又是中心对称图形，
C不是轴对称图形也不是中心对称图形，
D不是轴对称图形也不是中心对称图形．
故选：B．
4．如图是一款折叠LED护眼灯示意图，是底座，，分别是长臂和短臂，点在上，若，，则长臂和短臂的夹角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂的除法法则即可判断选项A； 根据同底数幂的乘法法则即可判断选项B；根据积的乘方运算法则即可判断选项C；根据完全平方公式即可判断选项D．
【详解】解：A．，原变形错误，不符合题意；
B．，原变形正确，符合题意；
C．，原变形错误，不符合题意；
D．，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
6．如图，弦，是内接正八边形的两条边，D是优弧上一点，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的内角，圆的内接四边形，解题的关键是掌握正变形一个内角度数为，圆的内接四边形对角互补．
先求出，再根据圆的内接四边形的性质，即可解答．
【详解】解：∵弦，是内接正八边形的两条边，
∴，
∴，
故选：C．
7．有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有四个小球，分别标有数字1，2，3，4，乙袋装有三个小球，分别标有数字1，2，3，这些小球除数字不同外其余都相同，现从甲、乙两袋中各随机摸出一个小球，则“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数有6种，
∴“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为，
故选：B．
8．如图， 在长方形中，，将长方形沿折叠， 点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的长为 （ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，矩形的性质，得到，，，，利用勾股定理计算即可，本题考查了矩形的在，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】∵矩形，，
∴，，,,
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
9．如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为（ ）
A．6B．7C．5D．8
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为7，得出，由此解出k即可．
【详解】如图所示：
点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴，
四边形和为矩形，
点A、B在第一象限，
，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
，，
阴影部分的面积为7，
，
，
解得：．
故选：C．
10．在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．写出一个使在实数范围内有意义的x值： ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．
根据，得到，从满足要求的范围内任取一个数值即可．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，
，
故可取，
故答案为：1．
13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得且，
解得：且．
∴的取值范围为且．
故答案为：且．
14．如图，点为菱形的边上一点，且，，点为对角线上一动点，若的周长最小值为6，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，推出是直角三角形是解题关键．连接、，根据菱形好轴对称的性质，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理，推出是直角三角形，再求正弦值即可．
【详解】解：如图，连接、，
四边形是菱形，，，
，点和点关于对称，，
，
，
的周长，
的周长最小值为6，
，
，，，
，
是直角三角形，，
，
，
故答案为：
15．如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径画弧，交C于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积是 ．(结果保留π)
【答案】/
【分析】本题考查不规则图形的面积计算，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形，从而得到，继而得到从而得解．掌握扇形面积公式是解题的关键．
【详解】如图，连接．
∵，，，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形
∴，，
∵，
∴，
∴
∴=．
故答案为：．
三、解答题(一)：本大题共3小题，第16题6分、第17题7分，第18题8分，共21分.
16．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
．
当时，
原式
．
18．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道，经测量，点C在点A的正东方向，米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，米，点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．
(1)求步道的长；（精确到1米）
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D，请计算说明她走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】(1)283米；
(2)她走经过点B到达点D这条路较近，计算过程见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过作，垂足为，根据题意可得：四边形是矩形，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，然后利用矩形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
【详解】（1）过作，垂足为，
由题意得：四边形是矩形，
米，
在中，，
（米，
步道的长度约为283米；
（2）小红从出发，经过点到达点路程较近，
理由：在中，，米，
（米，
在中，，米，
（米，
（米，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
米，
小红从出发，经过点到达点路程（米，
小红从出发，经过点到达点路程（米，
米米，
小红从出发，经过点到达点路程较近．
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题10分，共30分.
19．近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着消费者前去体验．某露营地提供了、两种型号帐篷供游客租用．已知租用1顶型帐篷和2顶型帐篷一天的费用是190元；租用2顶型帐篷和1顶型帐篷一天的费用是140元．
(1)求租用每顶型帐篷和每顶型帐篷一天的费用；
(2)若某游学机构需要租用该景区、两种帐篷共30顶，租用型帐篷的数量不超过型帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
【答案】(1)租用每顶型帐篷需要30元，租用每顶型帐篷需要80元
(2)最省钱的租用方案是租用型帐篷10顶，则型帐篷20顶，此方案的总费用为1900元
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是找出不等量关系列不等式求解．
（1）设租用每顶型帐篷需要元，租用每顶型帐篷需要元，由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
（2）设租用型帐篷顶，则型帐篷顶，由题意列出一元一次不等式，求出的取值范围，根据一次函数的性质可得出答案．
【详解】（1）解：设租用每顶型帐篷需要元，租用每顶型帐篷需要元，
由题意得，，
解得，
答：租用每顶型帐篷需要30元，租用每顶型帐篷需要80元；
（2）设租用型帐篷顶，则型帐篷顶，设租用帐篷的总费用为W元，
由题意得，，
，
设租用帐篷的总费用为，
，
∴W随的增大而减小，
∴时，租用帐篷的总费用最少，方案的总费用为(元)，
答：最省钱的租用方案是租用型帐篷10顶，则型帐篷20顶，此方案的总费用为1900元．
20．随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A，B，C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了_____辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_______°；
【分析数据】
（3）由上表填空：_______，_______；
【判断决策】
（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
【答案】（1）20，图见解析；（2）；（3）430；450；（4）选择B型，见解析
【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；
（2）用360°乘续航里程为390km的占比即可；
（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．
【详解】解：（1）（辆），
的数量为：（辆），
补全条形统计图如下：
故答案为：20；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：，
故答案为：72；
（3）由题意得，．
故答案为：430，450；
（4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；
B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适．
【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．
21．如图1，在边长为5的正方形中，点是线段上一动点，连接，以为边在直线右侧作正方形．
(1)如图1，若与交于点，且，求的度数；
(2)在（1）的基础上，连接，求证：、、三点共线；
(3)如图2，当点是线段中点，连接，求线段的长．
【答案】(1)125°
(2)见详解
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，得，结合直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换，即可作答．
（2）根据正方形的性质，得，证明，得到，即可作答．
（3）根据正方形的性质，得，证明，再结合线段的中点换算，以及勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵四边形、四边形是正方形
∴
则
即
∵
∴
∵
∴
则
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形、四边形是正方形
∴
∴
则
∴
∴
∵
∴、、三点共线；
（3）解：过点F作的延长线，连接
∵四边形、四边形是正方形
∴
∵
∴
则
∴
∵正方形的边长为5
∴
【点睛】本题考查了勾股定理,正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，．
(1)求的度数；
(2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
(3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是圆与四边形的综合问题，考查了图形的旋转、圆的相关概念及性质、圆周角定理及推论、等腰直角三角形的性质、三角形相似模型、平行四边形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
（1）连接，由弧相等得到弦相等，再由直径所对的圆周角是直角，利用等腰直角三角形性质即可得到答案；
（2）由题中条件，结合等腰直角三角形性质求出角度及线段长，利用三角形相似的判定与性质代值求解即可得到答案；
（3）当与重合时，由得点在上，连接，如图所示，半圆与所围成的封闭图形的面积为，求出扇形面积及三角形面积代值即可得到答案．
【详解】（1）连接，如图1所示：

点K为半圆O的中点，
，
，
为直径，
，
在中，；
（2）如图2所示：

，，
，
在等腰中，，
则由勾股定理可得，
，
，
，
，
，
即，
；
（3）解：当与重合时，
，
点K在上，连接，如图3所示：

点K是半圆O的中点，
．
，
，
，
半圆O与所围成的弓形的面积为；
23．综合与探究：
如图1，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，连接，抛物线顶点为点M．
(1)求抛物线解析式及点M的坐标；
(2)平移直线得直线．
①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数．
②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3中的“W”形曲线）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①如图2，过点作于，过点作轴于，利用解直角三角形求得，再利用三角形外角的性质即可求解；
②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：当时，，
，
设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得：，
，
点M的坐标为；
（2）①设直线的解析式为
把代入得，解得
直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
把点代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
，
如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，
则，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
②当直线与新图象有两个公共点时，
n的取值范围为或．
解题过程如下：
，
把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图3，
则翻折后的图象的解析式为，
直线解析式为，
直线平移后的解析式为，
联立方程得，
整理得：，
当直线平移后与抛物线只有一个交点时，，
解得：，
当直线平移后经过点时，得，
当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．
型号
平均里程（km）
中位数（km）
众数（km）
A
400
400
410
B
432
m
440
C
453
450
n