江苏省南京市2024年中考数学名师押题卷 考试卷+解答卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．实数2024的倒数是（ ）
A．B．2024C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：实数2024的倒数是，
故选：D．
2．下列计算中，结果是是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，故该选项不合题意；
、，故该选项不合题意；
、，故该选项符合题意；
、，故该选项不合题意；
故选：．
3．整数a满足，则a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数的估算，确定即可求得结果
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以，只有选项C符合题意，
故选：C
4．反比例函数中，当时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随自变量x的增大而增大，
∴，
解得，
故选：A
【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为，．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点．使视线通过“矩”的另一端，测得， ．若“矩”的边 ．，边，则树高为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故选：B．
6．如图是一个体积为8的正方体，、为它的两个外表面的对角线，若平移，使其端点C与的端点D重合，此时点的对应点为P，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，认识立体图形，勾股定理等知识，连接，根据平移的性质可得出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵平移，
∴，，
∵正方体的体积为8，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”进行计算即可得．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
8．4月20日晚在中央电视台“情系玉树，大爱无疆——搞震救灾大型募捐活动特别节目”．据统计，这台募捐晚会共募得善款21.75亿元人民币．用科学记数法表示为 元人民币．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将21.75亿用科学记数法表示为：．
故答案为：．
9．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点，首先利用二次根式的乘法法则进行计算，再对二次根式进行化简，最后加减运算即可，熟练掌握运算法则是解决此题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
10．设、是方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．
首先根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案．
【详解】解：、是方程的两个根，
，
．
故答案为：．
11．已知：如图，，则的度数是 ．

【答案】/125度
【分析】由及对顶角相等可得出，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，再利用顶角相等可得出的度数．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，牢记平行线的判定与性质是解题的关键．
12．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得．
【详解】解：
故答案为：．
13．已知点A在第二象限，点O为坐标原点，．反比例函数的图像经过点A，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键．
利用反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．
【详解】解：当反比例函数的图象与图象交于点A时，k的绝对值最大，
此时点A的坐标为，
，
若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是，
故答案为：．
14．如图，的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边与y轴交于点E，若，，，则点E的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
求出，，，由平行四边形的性质得出，过点作轴于点，求出，，求出的长，则可得出答案．
【详解】
解：，，
，
，
，
，
，，，
四边形是平行四边形，
，
过点作轴于点，
，，
，
∴
∴，
，
．
故答案为：．
15．如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，结合半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点推理、正确计算是解题的关键．利用弧、弦、圆心角的关系，证明，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理列出一元二次方程求解，进而得出半圆的直径即可．
【详解】解：如图，点为圆心，过点作交于点，连接、、，
∵在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点，
∴和是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于，，
∴和所对的圆心角也相等，
∴，
∴，
又∵，，，
∴设，则，
，，
，
，
∵，
∴，
整理得：，
，
∴或，
解得：，（负值舍去），
∴半圆的直径，
故答案为：．
16．图1是利用边长为的正方形绘成的七巧板图案，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域（点在圆上，点在上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、垂径定理、勾股定理、七巧板图案，根据不共线三点确定一个圆，根据对称性确定圆心的位置，进而根据垂径定理和勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
，正方形的边长为，
图1中的，
由图可得：，，
过左侧的三个端点、、作圆，
，
，
点在上，连接，则为半径，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
圆的半径为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．化简，从中选出你喜欢的整数值代入求值.
【答案】，当时，值为1；当时，值为
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是运用分式的通分和约分来计算．
先对小括号里面的分式进行通分再相减；再根据完全平方公式将第二个分式的分母进行变形；最后相乘进行约分、求值即可．
【详解】解：原式
，
根据题意x不能取，
当时，原式．
当时，原式.
18．解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【答案】，最大整数解为5．
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
分别解不等式，求解集的公共部分，再找出整数解即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
故原不等式组的解集为：．
所以不等式组的最大整数解为5．
19．《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?”
【答案】大容器的容积是斛，小容器的容积是斛
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，
依题意，得：，
解得：，
答：大容器的容积是斛，小容器的容积是斛．
20．为了落实关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．
(1)从四门课程中随机选一门，选中趣味数学的概率等于_______；
(2)如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果是，再找到两次抽取卡片上的数字之积为偶数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有四门课程，每一门课程被选择的概率相同，
∴从四门课程中随机选一门，选中趣味数学的概率等于，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中2种符合题意，
∴他俩第二次同时选课程A或B的概率是．
21．已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)当满足 时，四边形为正方形．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法．
（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；
（2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：当，时，四边形是正方形．
证明：由（1）知，，
又，
，
四边形是平行四边形，
由（1）知，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：，．
22．2024年3月22日是第32届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校2000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，这些学生成绩的中位数是 ；
(2)补全上面不完整的条形统计图；
(3)根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数．
【答案】(1)60，96分
(2)见解析
(3)900名
【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和平均数数，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解．
（1）结合图形求出被抽查的学生总数，再求出分数为94分的人数，利用中位数定义求解即可；
（2）根据（1）中所求数值，补充条形统计图即可；
（3）求出98分及以上（含98分）的学生所占的百分比，再乘以2000即可．
【详解】（1）解：，
∴本次调查共抽取了60名学生，
∵，
∴94分的有12人，
∵，，
∴这些学生成绩的中位数是96分．
故答案为：60，96分；
（2）解：补全统计图：
；
（3）解：2000×=900（名）．
答：估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是900名．
23．读懂一座城，从博物馆开始．年月日上午，江苏盐城市博物馆正式开馆．盐城市博物馆新馆坐落于先锋岛西侧，整体建筑风格雅致，主馆建筑为传统宝塔造型，又充满中国皇家宫廷风韵．学校数学兴趣小组利用无人机测量该宝塔的高度，无人机的起飞点与宝塔（）相距，无人机垂直升到处测得塔的顶部处的俯角为，测得塔的底部处的俯角为．

(1)求宝塔的高度；
(2)若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议．（结果精确到m，参考数据：）
【答案】(1)m
(2)答案不唯一，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）延长交于点，根据题意可得：，m，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据多次测量求平均值，可以减小误差，即可解答．
【详解】（1）如图：延长交于点，
由题意得：，m，
在中，，
（m），
在中，，
（m），
（m），
宝塔的高度约为m；

（2）一条减少误差的建议：多次测量求平均值，可以减小误差（答案不唯一）．
24．某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润年销售利润研发费用)
【答案】(1)
(2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意是解决问题的关键．
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）当时，，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元，
答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元．
25．如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
(1)求证：是切线；
(2)若，，求⊙O的半径；
(3)若是中点，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
（1）连，证明≌，由全等三角形的性质得出，由切线的性质得出，则可得出，可得出结论；
（2）设，则，求出，得出，设，则，得出，求出则可求出答案；
（3）连接，，证≌，可得，可得，可证，可得结论．
【详解】（1）证明：连，
在和中，
，
∴≌，
，
与相切，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）解：连接，
∵，
∴设，则，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
半径为；
（3）解：，理由如下：
连接，，
由（1）可知：，
，，
又，，
≌，
，，
，
，
，
点是中点，，
，
，
，
，
，
．
26．【积累经验】：
（1）如图，在中，，垂足为，矩形的顶点，分别位于，上，，位于上，设，．
Ⅰ当，，设，，则______用含有的代数式表示．
Ⅱ设矩形的面积为，求的最大值用含有、的代数式表示．
【问题解决】：
（2）如图，在四边形中，，，，，现从中画一个面积最大的矩形，要求矩形的一边落在上，直接写出最大矩形的面积与的关系式及对应的取值范围．
【答案】（1）（Ⅰ）；（Ⅱ）．（2）当时，；当时，；当时，．
【分析】
（1）（Ⅰ）根据矩形的判定与性质得出，，即可证明，可得，即可求解；
（Ⅱ）设，则，由得出，表示出，利用二次函数的性质即可求解；
（2）利用三角函数求出、的长，利用面积法求出的长，设，，分和两种情况，得出与的关系式，表示出，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）（Ⅰ）∵四边形是矩形，，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（Ⅱ）设，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为．
（2）如图，延长，交于点，过点作于，交于，
，
，，
，
，
，
，，，
，，
由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
设，，
①当时，
，
∴，
，即，
，
∴
∵，
∴当时，时有最大值，最大值为，
当时，时有最大值，最大值为
如图，当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，即时，时有最大值为，
当时，即时，时有最大值为，
综上所述：当时，；当时，；当时，．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质，相似三角形的判定与性质及二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，，，分别为、边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．
(1)观察猜想
绕点旋转到如图所示的位置，若，则的值为______．
(2)类比探究
若，将绕点旋转到如图所示的位置，求的值．
(3)拓展应用
若，为的中点，，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的值为或
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠BMN＝∠BAC＝＝60°，∠ACB＝∠MNB，根据等边三角形的性质得到AB＝BC，BM＝BN，根据旋转的性质得到∠ABM＝∠CBN，根据全等三角形的性质得到AM＝CN，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABC和△BMN均为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到结论；
（3）分两种情况：①如图4，当△ABC旋转到直线BN的下方时，②如图5，当△ABC旋转到直线BN的上方时，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得AM的值于是得到结论．
【详解】（1）如图，
，
，
，
，
，
，
绕点旋转到如图所示的位置，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
（2），
和均为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∽，
；
（3）是的中点，
，
分两种情况：
如图，当旋转到直线的下方时，

，
，
在中，，
，
由知，，
；
图，当旋转到直线的上方时，

，
由知，，
；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．