江苏省苏州市2024年中考数学名师押题卷 考试卷+解答卷

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分,每小题有四个选项，其中只有一项是正确的．）
1．下列各数中，相反数等于的数是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数，即可求解．
【详解】解：相反数等于的是，
故选：D．
2．深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约7.2万平方米，设计藏书量800万册，其中800万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题关键是确定a和n．根据科学记数法定义进行表示即可得到答案．
【详解】解：∵800万，
∴科学记数法表示为：，
故选：C．
3．《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列地铁图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．武汉地铁B．重庆地铁
C．成都地铁D．深圳地铁
【答案】D
【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
【详解】解：A、该图案不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、该图案不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、该图案不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、图形是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
4．“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某班为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取6位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，85，80，90，80，82．则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．80和81B．81和80C．80和85D．85和80
【答案】A
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，出现次数最多的数为众数，以及把数据排序（小到大或大到小）后，位于中间位置的数为中位数（当中间位置为两个数时，取它们的平均数），据此即可作答．
【详解】解：出现次数为2，是最多的，故众数是；
排序后：78，80，80，82，85，90．
位于中间位置为：
∴这组数据的众数和中位数分别为80和81．
故选：A
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则、完全平方公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：．，该选项错误，不合题意；
．，该选项错误，不合题意；
C．，该选项错误，不合题意；
D．，该选项正确，符合题意；
故选：．
6．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．
【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，
∴，，
∴．
故选：B．
7．下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两”，即可列出关于x或y的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：∵如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九，则还差八两．
∴或或．
故选：D．
8．榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽，榫槽深度是，则它的里口宽为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形求出，再根据即可求解，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：过点分别作的垂线段，垂足分别为 ，连接，则，如图，
在中， ，
在， ，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故选：．
9．如图，在菱形中，，E是对角线上一点，连接，作交边于点F，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
10．如图（a），A，B是⊙O上两定点，，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段AP的长度是．图（b）是y随x变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
A．8B．6C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键．
根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．
【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长，
由图（b）得，最长时为6，此时，
，
，
此时点路程为90度的弧，
点从点运动到点的弧度为270度，
运动时间为，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式因式分解，即得答案．
【详解】．
故答案为：．
12．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：物理变化的卡片有A和D，则画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种，
所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为．
故答案为：．
13．如图，点A，B，C在⊙上，平分，若，则 °．
【答案】70
【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解答中涉及角平分线定义，三角形外角的性质，能准确作出辅助线，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．延长交于点E，连接，由已知条件求出，由角平分线定义，可得到，最后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求出的度数．
【详解】解：延长交于点E，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：70．
14．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出．
【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为，
∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴与之间的反比例函数为，
当时，,
∵，，
∴，
把代入得，
解得．
故答案为：
15．如图，在中，，，P是的高上一个动点，以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，在上截取，连接，构造，推出，根据垂线段最短，可知当时，有最小值，即有最小值．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
中，，，，
，，，
，
．
以B点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
当时，有最小值，即有最小值，
，，
是等腰直角三角形，
，
的最小值是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分.）
16．计算．
【答案】2
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂、绝对值、余弦值、零次幂，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
17．先化简，再从不等式组中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】，当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，再从不等式组中选择一个适当的整数代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
当或时，原式无意义，
故取整数时，
原式．
18．有效的垃圾分类，可以减少污染，保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

(1)求测试结果为D等级的人数占调查总人数的百分比；
(2)在扇形统计图中，求表示D等级的扇形的圆心角的度数；
(3)测试结果为A等级的有多少人？并补全条形统计图；
(4)测试结果达到A，B等级，社区居委会认定为优秀．若该社区共有居民1500人，请估计社区内达到优秀标准的居民大约有多少人？
【答案】(1)
(2)
(3)测试结果为A等级的有12人，详见解析
(4)达到优秀标准的居民大约有1125人
【分析】（1）先求出调查的总人数，再用“D组”的人数除以调查的总人数，即可求解；
（2）用乘以“D组”所占的百分比，即可求解；
（3）求出测试结果为A，B等级的人数，即可求解；
（4）用1500人乘以测试结果达到A，B等级所占的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：调查人数为：（人），
“D组”所占的百分比为：；
（2）解：D等级的扇形的圆心角的度数为；
（3）解：测试结果为B等级的有（人），
测试结果为A等级的有（人）；
补全条形统计图如下：

（4）解：（人）．
因此，达到优秀标准的居民大约有1125人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
19．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？
【答案】(1)《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元；
(2)订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，最低总费用为1120元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，利用数量总价单价，结合用14000元订购的《朝花夕拾》的数量比用7000元订购的《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《西游记》的订购单价，再将其代入中，即可求出《朝花夕拾》的订购单价；
（2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元；
（2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，
根据题意得：，
解得：．
设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为（元，此时（本．
答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元．
20．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种性质是解题的关键．
（1）连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明结论；
（2）作于点，利用已知条件证明，利用比例式求出线段长．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
直线是的切线；
（2）解：作于点，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
21．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数的定点的坐标是__________；
【理解应用】二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是__________，落在轴正半轴的定点的坐标是__________；
【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】是，２
【分析】【初步理解】解析式变形为，求解即可;
【理解应用】由二次函数变形为，求解即可;
【知识迁移】由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可；
【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
故一次函数必过一定点．
故答案为：．
【理解应用】由二次函数变形为，，
当时，无论值如何变化，
当时，无论值如何变化，
故二次函数必过定点，．
所以二次函数落在轴负半轴的定点的坐标是，落在轴正半轴的定点的坐标是；
故答案为：，．
【知识迁移】由题意得
∴，
由上一小题得：，
作轴交直线于点，作轴交直线于点，则，，，分别过点、作直线的垂线，垂足为、，则，，，
，
，
∵，，
即
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形．本题主要理解新定义，构建相似三角形解题，有一定的难度．
22．如图1，菱形中，，，是边上一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点是的中点，连接．

(1)填空：______，______（用含的代数式表示）；
(2)如图2，当，题干中其余条件均不变，连接．求证：．
(3)（2）的条件下，连接．
①若动点运动到边的中点处时，的面积为______．
②在动点的整个运动过程中，面积的最大值为______．
【答案】(1)，
(2)证明见详解
(3)①；②
【分析】（1）由是关于的对称点，可得沿翻折后可得到，可求，，再由三线合一定理得到，，求出的度数，即可求出答案；
（2）过作，交的延长线于， 在中，可求，再证得到，则，在中，，由此即可证明结论；
（3）连接交于，连接，可证、、、四点共圆，为圆心，在上，再证，可求，，从而可求，在中，，即可求解；②过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，可得，当取最大时，最大，所以当与重合时，即，最大，即可求解.
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，，
是关于的对称点，
沿翻折后可得到，
，，
，
是的中点，
，，即
，
，
∴．
故答案：，．
（2）证明：如图，过作，交的延长线于，

，
四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，，
由（1）得：
，
，
，
在中，，
；
，
，
，
在和中
，
（），
，
．
在中，，
∴，
∴

（3）解：①如图，连接交于，连接，

由（2）得：，
，
、、、四点共圆，为圆心，
四边形是正方形，
，
在上，
，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
在中，，
，
，，
由（1）折叠得：，
．
②如图，过作，交于，的运动轨迹是以为圆心，为半径的，与交于，

，
，
，
当取最大时，最大，
如图，当与重合时，即，最大，

，
，
，
，
故面积的最大值为.
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定及性质，对称和折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
隔壁听得客分银，
不知人数不知银，
七两分之多四两，
九两分之少半斤.
《算法统宗》
注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A
冰化成水
B
酒精燃烧
C
牛奶变质
D
衣服晾干