江苏省无锡市2024年中考数学名师押题卷 考试卷+解答卷
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第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.下列各数中,绝对值最小的数是( )
A.0B.C.D.
【答案】A
【分析】利用绝对值的定义求出各数的绝对值,再比较大小即可.
【详解】选项A中,;
选项B中,;
选项C中,;
选项D中,;
,
绝对值最小的数是0.
故选A.
【点睛】本题考查绝对值的求解及实数的大小比较,正确的计算和比较大小是解题的关键,并且绝对值非负,故一个数的绝对值的最小值是0.
2.函数中,自变量的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围,二次根式有意义的条件,根据二次根号下的数为非负数,二次根式才有意义,即可求解.
【详解】由题意得,
解得:,
故选C.
3.某水果店“五一”假期每天销售某种水果的数量(单位:)分别为:58,62,64,62.则这组数据的众数、中位数分别为( )
A.62,62B.64,62C.62,60D.64,60
【答案】A
【分析】本题考查了中位数和众数,熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键;先把原数据按由小到大排列,然后根据众数、中位数的定义求解即可;
【详解】解:数据从小到大排列为:58,62,62,64,
所以中位数为62;
数据62出现了2次,次数最多,
所以这组数据的众数为62.
故选:.
4.北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市,下列各届冬奥会会徽部分图案中,是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,根据中心对称图形的概念求解.
【详解】解:A.是中心对称图形,故本选项符合题意;
B.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C.不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D.不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念.解题的关键是掌握中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
5.下列式子中,计算正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】利用完全平方公式,合并同类项的法则,同底数幂的除法的法则,积的乘方的法则对各项进行运算即可.
【详解】解:A、,故不符合题意;
B、与不属于同类项,不能合并,故不符合题意;
C、,故符合题意;
D、,故不符合题意;
故选:C.
【点睛】本题主要考查完全平方公式,合并同类项,积的乘方,同底数幂的除法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
6.下列命题中属于假命题的是( )
A.同位角相等,两直线平行B.菱形的对角线互相垂直
C.三个角是直角的四边形是矩形D.三点确定一个圆
【答案】D
【分析】根据平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件进行判断即可.
【详解】解:同位角相等,两直线平行是真命题,故A不符合题意;
菱形的对角线互相垂直是真命题,故B不符合题意;
三个角是直角的四边形是矩形是真命题,故C不符合题意;
三点确定一个圆是假命题,故D符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查命题的真假判定、平行线的判定、菱形的性质、矩形的判定及确定圆的条件,熟练掌握相关定理是解题的关键.
7.如图,是的外接圆,是的直径,若,则的度数是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理.根据圆周角定理求得,得到,再根据圆周角定理求解即可.
【详解】解:连接,
∵是的直径,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
故选:C.
8.正比例函数和反比例函数交于,两点,其中点A在第一象限,则等于( )
A.3B.C.1D.
【答案】C
【分析】由于正比例函数和反比例函数y交于,两点,那么A和B在上,也在y上.
【详解】解:把,两点分别代入和y,
得,解得:,
即,,
于是得到,
解得和,
由于A在第一象限,
所以,即,
所以只能取值.
所以,
故选:C.
【点睛】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点.先由点的坐标求函数解析式,然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标,体现了数形结合的思想.
9.在平行四边形中,点是的中点,与交于点,则与四边形的面积之比( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题,设,由四边形是平行四边形,得,,则有,再根据相似三角形的性质即可求解,解题的关键是相似三角形的面积比等于相似比的平方.
【详解】设,
∵四边形是平行四边形,
∴,,
∴
∵点是的中点,
∴,
∴,
∴,,即,
∴,
∴,
∴,
∴与四边形EFCD的面积之比为:,
故选:.
10.如图,四边形是边长为4的菱形,,将沿着对角线平移到,在移动过程中,与交于点,连接、、.则下列结论:
①;
②当时,;
③当时,的长为;
④的面积最大值为.
其中正确的为( )
A.①③B.②③C.①②③D.①②④
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质,等边三角形的性质,解直角三角形,解一元二次方程.证明四边形是平行四边形,都是等边三角形,即可判断①;利用三角形内角和定理,通过计算即可判断②;设,证明,得到关于的一元二次方程,解方程即可判断③;设,利用,得到关于的二次函数,利用二次函数的性质即可判断④.
【详解】解:连接,
∵四边形是边长为4的菱形,,
∴和都是等边三角形,
∴,
由平移的性质得,四边形是平行四边形,
∴,,,,
∴都是等边三角形,
∴,
∴,①正确;
∵,
∴,
∴,
∵,即,
∴,②正确;
设,则,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
整理得,解得,
∴,③错误;
作于点,于点,
设,则,,
∴,,
∴等边、、的高都是,
∴,,
,
,
,,
∵,
∴当时,有最大值,最大值为,
④正确.
综上,①②④正确,
故选:D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,请把答案填写在答题卡相应位置上)
11.分解因式的结果是 .
【答案】
【分析】本题考查用公式法分解因式.直接用平方差公式分解即可.
【详解】解:,
故答案为:.
12.据统计,2024年3月24日无锡马拉松报名人数约为265000人,刷新了中国马拉松报名人数记录,将数据“265000”用科学记数法表示为 .
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时,理解“一般形式为,其中,n为整数,且n比原来的整数位数少1,”是解题的关键.
【详解】解:由题意得
.
故答案:.
13.方程的解为 .
【答案】x=5
【分析】按照解分式方程的步骤,进行计算即可解答.
【详解】解:,
去分母得:x+1=3(x-3),
解得:x=5,
检验:当x=5时,(x-3)(x+1)≠0,
∴x=5是原方程的根;
故答案为:x=5.
【点睛】本题考查了解分式方程,一定要注意解分式方程必须检验.
14.如图,用吸管吸易拉罐内的饮料时,吸管与易拉罐的上、下底面所形成的角分别是和,若,则 .
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质,先由平角的定义得到,再由两直线平行,同位角相等可得.
【详解】解:如图所示,
∵,
∴,
∵,
∴,
故答案为:.
15.若某函数图象经过点,且函数值随着自变量的增大而增大,请写出一个符合上述条件的函数表达式: .
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查的是一次函数的性质.设此函数的解析式为,再把点代入求出的值即可.
【详解】解:函数值随着自变量的增大而增大,
设此函数的解析式为,
函数图象经过点,
,
解得,
函数解析式为:.
故答案为:(答案不唯一).
16.某超市一月份的利润为10万元,三月份的利润为万元,设第一季度平均每月利润增长的百分率是,则根据题意可得方程为 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中增长率的问题,熟练掌握增长率的计算公式和方法是解题的关键,设平均每月增长率为,根据等量关系“一月份的利润乘以(1+平均每月增长率的百分率)的平方等于三月份的利润”,列出方程即可求解.
【详解】解:设平均每月增长率为,根据题意得:
,
故答案为:.
17.如图,在中,,的垂直平分线分别于点D,交于点E,交的延长线于点F,且.若四边形的面积为,则它的周长为 .
【答案】33
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质,相似三角形的判定与性质,正弦定义等知识,设出的三边,利用相似三角形的判定与性质可表示出,,再根据四边形的面积求出边长,即可求解.
【详解】解:连接,
∵的垂直平分线分别于点D,交于点E,
∴,,,
∵,
设,则,
∴,
∵,,
∴,
∴,
即,
∴,,
∴,
∵四边形的面积为,
∴,
解得(负值舍去)
四边形的周长为,
故答案为:33.
18.已知某二次函数的图象开口向上,与轴的交点坐标为和,点和点都在函数图象上,若,则的取值范围为 .
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质.依据题意得,抛物线的对称轴是直线,又二次函数的图象开口向上,越靠近对称轴函数值越小,再结合,可得,进而根据①;②;③分类讨论计算可以得解.
【详解】解:由题意得,抛物线的对称轴是直线.
又二次函数的图象开口向上,
越靠近对称轴函数值越小.
又,
.
.
①当时,,
.
;
②当时,,
.
;
③当时,,
.
综上,或.
三、解答题(本大题共10小题,第19、20、21、22题每题9分,第23、24、25、26、27、28题每题10分,共96分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(1)计算:
(2)化简:
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先算负指数幂,二次根式,特殊角三角函数,然后进行有理数的运算;
(2)先利用平方差公式和完全平方差公式的法则进行计算,然后合并同类项.
【详解】(1)
(2)
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负指数的运算法则、二次根式的化简,平方差与完全平方公式的运用及合并同类项,掌握运算法则正确计算是解题关键.
20.(1)解方程:;
(2)解不等式组
【答案】(1);(2)
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程以及解一元一次不等式组.
(1)先配方,再直接用开平方法解一元二次方程即可.
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可.
【详解】
解:(1)
即,
(2)
由第①式解得:;
由第②式解得:,
∴不等式组的解集组为:.
21.如图,点C在线段上,,,,.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质;
(1)由即可得证;
(2)由全等三角形的性质得,,即可求解;
掌握全等三角形的判定方法与性质,准确找出对应边、对应角是解题的关键.
【详解】(1)证明:,,
,
在和中,
,
();
(2)解:,
,
,
.
22.年月日无锡市迎来一场激动人心的体育盛会无锡马拉松.当日,来自全国各地的参赛选手齐聚无锡太湖湖畔,通过参加比赛感受秀美无锡的自然风光、人文风情和城市魅力,彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神比赛设置“全程马拉松”、“半程马拉松”以及“欢乐跑”三种不同项目.甲、乙两人分别各参加了其中一个项目.
(1)甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是___________;
(2)请用画树状图或列表法求解“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】
本题考查列表法与树状图法、概率公式,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.
(1)直接利用概率公式可得答案.
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果数,再利用概率公式可得出答案.
【详解】(1)
解:由题意得,甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是.
故答案为:.
(2)
将“全程马拉松”“半程马拉松”“欢乐跑”三种项目分别记为,,,
画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的结果有:,,,,,,共6种,
“甲、乙两人分别参加两种不同项目”的概率为.
23.寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于月日以视频课的形式开播.某校为了解学生观看视频课的时长,随机抽取了部分学生观看视频课的时长(单位:)作为样本,将收集的数据整理后分为,,,,五个组别,其中组的数据分别为:,,,,,绘制成如下不完整的统计图表.
各组观看视频课时长频数分布表
各组观看视频课的时长扇形统计图
请根据以上信息回答下列问题:
(1)本次调查的样本容量是 ;
(2)组数据的众数是 ;扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是 ;
(3)若该校有名学生,估计该校学生观看视频课时长超过的人数.
【答案】(1);
(2),;
(3)估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人.
【分析】()利用样本估计总体计算即可;
()利用众数的定义计算,利用扇形的知识计算求解可得到结论;
()利用项目的人数除以其所占的百分比即可得到结论,
此题考查了扇形统计图,频数分布表,读懂统计图,看懂分布表,从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解题的关键.
【详解】(1)解:∵组占,频数为,
∴本次调查的样本容量是,
故答案为:;
(2)∵组的数据分别为:,,,,,出现次数最多,
∴众数为,
组的数据有(人);
∴扇形统计图中组所在扇形的圆心角的度数是,
故答案为:,;
(3)(人),
答:估计该校学生观看视频课时长超过的人数为人.
24.如图,在中,.
(1)请在图(1)中用无刻度的直尺和圆规作图:作的角平分线交于点,在上求作点,使;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若,则 (如需画草图,请使用图2)
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可;
(2)过点D作于G,过点E作于F, 分别证明和得到,再分别证明和得到,然后利用正切定义求解即可.
【详解】(1)解:如图,射线、点E即为所求;
(2)解:如图,过点D作于G,过点E作于F,则,
∵平分,,,
∴,又,
∴,
∴,
∵,,
∴,则,
∴,
∴,又,,
∴,
∴,
∵,,
∴,又,
∴,即,
∵,,
∴,
∴,即,
∴(负值舍去),
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角,角平分线的性质、全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质、正切等知识,熟练掌握相关的知识的联系与运用,正确添加辅助线,利用全等三角形的性质和相似三角形的性质求解是解答的关键.
25.如图,中,,点在上,以为半径的经过点.
(1)若,求证:是的切线;
(2)在上取一点,连接,已知,,,求.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】()连接,由,得到, 根据等腰三角形的性质得到,由求得的度数,进而求得 即可;
()过作于,根据垂径定理得到, 求得 ,根据勾股定理即可得到结论;
本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,垂径定理,勾股定理,三角函数的定义,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】(1)证明:连接,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,即,
∵为的半径,
∴是的切线;
(2)解:作,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,,
∴在中,.
26.榴莲上市的时候,某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100箱榴莲.已知“线上”销售的每箱利润为100元,“线下”销售的每箱利润y(元)与销售量x(箱)(20≤x≤60)之间的函数关系如图中的线段AB.
(1)求y与x之间的函数关系;
(2)当“线下”的销售利润为4350元时,求x的值;
(3)实际“线下”销售时,每箱还要支出其它费用a元(a>0),若“线上”与“线下”售完这100箱榴莲所获得的总利润为w元,当20≤x≤45时,w随x增大而增大,求a的取值范围.
【答案】(1)y=﹣0.5x+160(20≤x≤60)
(2)x的值为30
(3)a的取值范围为0<a<15.5
【分析】(1)根据函数图象中的数据,可以计算出y与x之间的函数关系;
(2)根据题意和(1)中的结果,可以得到x(﹣0.5x+160)=4350,然后求解即可;
(3)根据题意,可以得到利润w与m的函数关系式,再根据二次函数的性质,可以求得a的取值范围.
【详解】(1)解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
∵点(20,150),(60,130)在该函数图象上,
∴,
解得,
即y与x的函数关系式为y=﹣0.5x+160(20≤x≤60);
(2)由题意可得,xy=4350,
又∵y=﹣0.5x+160,
∴x(﹣0.5x+160)=4350,
解得x1=30,x2=290(舍去),
即x的值30;
(3)设“线下”销售榴莲x箱,则“线上”销售榴莲(100﹣x)箱,总利润为w元,
由题意可得,w=x(﹣0.5x+160﹣a)+100(100﹣x)
=﹣x2+(60﹣a)x+10000,
该函数的对称轴为直线x=﹣=60﹣a,
∵当20≤x≤45时,w随x增大而增大,
∴60﹣a>44.5,解得a<15.5,
∴0<a<15.5.
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,写出相应的方程和函数关系式,利用数形结合的思想解答.
27.如图,矩形中,,.为边上的一个动点,沿翻折,点落在点处.
(1)如图1,若,且点与点重合时,交于点.
①求的长;
②若点在射线上,且,求的值.
(2)连接,在边上存在两个不同位置的点,使得,则的取值范围是____.
【答案】(1)①;②;
(2).
【分析】(1)①根据折叠的性质和矩形的性质可证明,得到,,设,则,,在中,由勾股定理即可求解;②连接交于点,过点作于点,可证明,得到,求出、,进而求出,证明,得到,推出,结合,求出,最后根据,即可求解;
(2)当落在直线上面时,过作于,根据题意得到,推出,结合折叠的性质可得,在中,,可求出的一个范围;当落在直线下面时,过作于,同理推出,进而得到,在中,,即可求解.
【详解】(1)①四边形是矩形,
,,
由折叠知,,,
,,
在和中,
,
,
,,
设,则,,
在中,由勾股定理得:,
即,
解得:,
则;
②如图,连接交于点,过点作于点,
,
(对顶角),
,
,
,,
则,
,(对顶角),
,
,
,
,
,
,
,
;
(2)当落在直线上面时,如图,过作于,
,,
,
,
又,
,
由翻折可知,
在中,,
,
又,
在中,,
此时只要,点在边上,
;
当落在直线下面时,如图,过作于,
同理可得,,
在中,,,,
,
,
,
在中,,
此时要在边上,则即可,即,
综上,.
【点睛】本题考查了折叠的性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角函数等知识,解题的关键是灵活运用这些知识.
28.如图1,抛物线经过,两点,作垂直x轴于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点是抛物线上一点,满足,求点的坐标;
(3)若点P为抛物线上一点,且在第四象限内.已知直线,与x轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)
(2),
(3)是定值,该定值为,理由见解析
【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
(2)分①当点D在直线的上方时与②当点D在直线的上方时两种情况讨论,对于前一种情况,可得轴,点A与点D重合,即可得解,对于后一种情况先求出与x轴的交点M,继而利用待定系数法求出直线的解析式,再与抛物线解析式联立求出点D的坐标即可;
(3)求出抛物线与x轴的交点为和,设点P的坐标是,则,再用待定系数法分别求出直线和的解析式,从而求出点E与点F的坐标,继而求出与,从而代入中化简即可得解.
【详解】(1)解:抛物线经过,两点,
∴,
解得:,
∴该抛物线的解析式为:;
(2)①当点D在直线的上方时,如下图所示:
∵,
∴轴,
∵点A与点B对应函数值都是3,即轴,
∴此时点A与点D重合,即;
②当点D在直线的下方时,设与x轴交于点M,如下图所示:
∵,
∴,
∵垂直x轴于点C,,
∴,,,
设,则,
在中,,
即,
解得:,
∴,
设直线的解析式是:,
将点B、M代入得:,
解得:,
∴直线的解析式是:
将直线的解析式与抛物线解析式联立得:,
解得:,或(舍去),
∴;
综上所述:点D的坐标是:,;
(3)是定值,该定值为,理由如下.
令,
解得,即抛物线与x轴的交点是:和,
设点P的坐标是,则,
设直线的解析式是:,
将点A、P代入得:,
解得:,
∴直线的解析式是:,
令,
解得:,即,
∴,
设直线的解析式是:,
将点B、P代入得:,
解得:,
∴直线的解析式是:,
令,
解得:,即,
∴,,
∴.
∴是定值,该定值为.
【点睛】本题考查二次函数的综合题,涉及待定系数法,二次函数与x轴的交点,二次函数与几何综合,勾股定理等知识,运算量较大,掌握待定系数法、联立方程组求函数交点的方法和数形结合思想是解题的关键.
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