福建省三明市2024届高三下学期5月三模数学试题（Word版附答案）

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（本试卷总分150分， 考试时间120分钟。）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线y=-x+2与圆 x²+y²=4相交于M，N两点，则|MN|=
A.2 B.2 C.22 D.4
2. 已知a，b，c分别为ΔABC三个内角A，B，C的对边， a=3，b=37，c=7，则A+C的值为
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
3.随机变量ξ~ N（μ，σ²），函数 fx=x²−4x+ξ没有零点的概率是 12，则μ的值为
A. 1 B.2 C.3 D.4
4.若 a=−2323，b=−1323，c=lg2313，则
A. c>a>b B. c>b>a C. a>b>c D. b>c>a
5.各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数（3750）8转换为十进制数的算法为3×8³+7×8²+5×8¹+0×8⁰=2024.若将八进制数 77⋯76个7转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是
A.3 B.4 C.5 D.6
6.函数 fx=sinωx+φω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且△ABC是等腰直角三角形，若 OB=−3OA，则向量 AO在向量 AC上的投影向量的坐标为
A. −14 −14 B. 14 14
C. −12 −12 D. 12 12
7.已知抛物线x²=2pyp>0)的焦点为F，第一象限的两点A，B在抛物线上，且满足|AF|-|BF|=3，|AB|=3 2若线段AB中点的横坐标为3，则p的值为
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知函数fx=eˣ⁻¹−e¹⁻ˣ+x³−3x²+3x，若实数x，y满足f3x²+f2y²−4=2，则x+y的最大值为
A. 1 B.52 C.5 D.303
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.i是虚数单位，下列说法正确的是
A.i2024=−1
B.若 ω=−12−32i，则 ω2=ω
C.若|z|=l，z∈C，则|z-2|的最小值为1
D.若-4+3i是关于x的方程 x²+px+q=0pq∈R的根，则q=7
10.假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是
A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为35
B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为120
C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为37150
D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为1837
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为 AB，BC，C1D1的中点，则下列说法正确的是
A.若点P在正方体的表面上，且PE⋅PG=0，则点P的轨迹长度为24π
B.若三棱锥F-C1CE的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为14π
C.过点E，F，D1的平面截正方体 ABCD−A1B1C1D1所得截面多边形的周长为2+213
D.若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小值为32
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 .
13.已知关于x的不等式x−keˣx²−k+3x+9≤0对任意x∈0，+∞均成立，则实数k的取值范围为 .
14.记Nm∗=123⋯mm∈N∗,Ak表示k个元素的有限集，S（E）表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k=SAk|Ak⊆Nm∗，则M4,3= ，若SMm,2≥817，则m的最小值为 .
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，多面体PABCD中，△PBD和△CBD均为等边三角形，平面ABD⊥平面PBD，BD=2，PC=3.
（1）求证：BD⊥PC;
（2）求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.
16.（15分）已知函数fx=sinωx+csωx+π6（其中ω>0）图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.
（1）若f（x）在（0，m）上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
（2）将函数f（x）的图象向右平移π6个单位长度；再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，设ℎx=gx+12x,求h（z）在−2π，π的极大值点.
17.（15分）某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14,园艺类占14民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25,25,45,选手乙答对这三类题目的概率均为12.
（1）求随机任选1题，甲答对的概率；
（2）现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.
18.（17分）已知数列aₙ满足a1⋅a2⋯a−1⋅an=2n2+a,n∈N∗.
（1）求数列aₙ的通项公式；
（2）设数列aₙ的前n项和为Sₙ，若不等式−1ntSn−14≤Sn2对任意的n∈N∗恒成立，求实数t的取值范围；
（3） 记 bn=1lg2an,求证： b1−b2b1+b2−b3b2+⋯+ba−bn+1ba<2n∈N∗.19.（17分）已知平面直角坐标系xy中，有真命题：函数 y=mx+nxm≥0，n>0)的图象是双曲线，其渐近线分别为直线 y=mx和y轴.例如双曲线 y=4x的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点O顺时针旋转 π4得到双曲线 x²−y²=8的图象.
（1）求双曲线 y=1x的离心率：
（2）已知曲线 E:x²−y²=2,过E上一点P作切线分别交两条渐近线于A，B两点，试探究 △AOB面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；
（3）已知函数 y=33x+32x的图象为Γ，直线 l:x+3y−3=0,过 F13的直线与Γ在第一象限交于M，N两点，过M，N作l的垂线，垂足分别为C，D，直线MD，NC交于点H，求△MNH面积的最小值.