北京市第一五六中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共6页，共100分+10分．考试时长100分钟．考生务必将答案写在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 65°
5. 在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
6. 已知坐标为，直线轴，且，则点的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
7. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果，，那么
8. 如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共76分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 的相反数是__________，绝对值是_______
10. 若点在第二象限，则实数m的取值范围是__________．
11. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，则______．
12. 已知，则________．
13. 若，则_______________________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，把沿轴向右平移得到，如果点的坐标为，则点的坐标为__________．
15. 如图，在实数范围内规定新运算“”，其规则是：ab=2a﹣b．已知不等式xk≥1的解集在数轴上，则k的值是_____．
16. 破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码_________．
三、解答题（本题共18分，第17、18题，每题5分，第19题8分，每小题4分）
17. 计算：．
18. 解方程组：．
19. （1）解不等式：．
（2），并将解集用数轴表示出来．
四、解答题（本题共42分，第20−22题，每小题5分，第23题6分，第24−26题，每小题5分，第27题6分）
20. 作图并回答问题：已知，如图，点P在的边上．
（1）过点P作边的垂线l；
（2）过点P作边的垂线段；
（3）过点O作的平行线交l于点E，比较，，三条线段的大小，并用“>”连接得___________，得此结论的依据是_____________．
21. 已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值．
22. 如图，直线与相交于点，于点，平分，且，求的度数．
23. 完成下面的证明：
已知：如图平分，平分.求证：.

证明：,
,（ ）
平分，平分，
， ，
，
（ ）.
24. 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点、、、均在格点上，其中为坐标原点，．
（1）点的坐标为______ ；
（2）将向_____平移后得到对应的，其中点A的对应点是，请在图中画出平移后的；
（3）求的面积；
（4）在轴上有一点，使得的面积等于的面积，直接写出点坐标．
25. 已知：如图，于点H，于点K，，求证：．
26. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
（1）学校购进红、蓝文化衫各几件?
（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
27. 如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．
五、附加题（本题共10分，第28题3分，第29题7分）
28. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，如，，根据你的理解完成以下问题：
（1）______；
（2）若，则实数x的最小整数是______
（3）已知，求的值．．
29. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点“非常距离”为；
若，则点与点的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
（1）已知点，B为y轴上的一个动点．
①若点A与点B的“非常距离”为2，直接写出点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点是直线m上的一个动点．
①如图2，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形的边长为1，边在x轴上，点E是正方形边上的一个动点，记d为点C与点E的“非常距离”的最小值，当正方形沿x轴平移，在平移过程中点G的横坐标大于等于0，且小于等于9时，直接写出d的最大值．
批发价（元）
零售价（元）
红色文化衫
25
45
蓝色文化衫
20
35