福建省泉州市泉港区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：由一元一次方程的定义可得，四个选项中只有D选项中的方程是一元一次方程，
故选：D．
2. 在数轴上表示不等式组，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
∴在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解答此题的关键．
3. 下列长度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】结合三角形满足的三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依次分析各个选项 ，选出正确答案.
【详解】A选项中，5+6>7可以构成三角形；
B选项中，3+7>8，能够构成三角形；
C选项中不能构成三角形；
D选项中2+4>5,能够构成三角形.
故选C.
【点睛】考查三角形构成规则，抓住三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，难度较容易.
4. 在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形高的定义即可求解．
【详解】解：由三角形高的定义可知，只有A选项中的作法是画边上的高线，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．
5. 一元一次方程，去分母后变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程两边乘以6去分母得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
6. 根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A 由a＞b得ac2＞bc2B. 由ac2＞bc2得a＞b
C. 由-a＞2得a＜2D. 由2x+1＞x得x＞1
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据不等式的基本性质可知：
A. 由a＞b，当c=0时， ac2＞bc2不成立，故此选项错误；
B. 由ac2＞bc2得a＞b，正确；
C. 由-a＞2得a＜-4，故此选项错误；
D. 由2x+1＞x得x＞-1，故此选项错误；
选项A、C、D错误；
故选B．
【点睛】本题考查不等式的基本性质．
7. 如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则n等于( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【详解】解：正n边形的一个内角=（360°-90°）÷2=135°，则
135n=（n-2）180，
解得n=8．
故选C．
8. 用代入法解二元一次方程组过程中，下列变形不正确的是（ ）
A. 由①得B. 由①得
C. 由②得D. 由②得
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，根据等式的性质，用一个字母表示另一个字母即可求解．
【详解】解：由①得，∴，故A正确，不符合题意；
由①得，∴，故B正确，不符合题意；
由②得，∴，故C正确，不符合题意；
由②得，∴，故D错误，符合题意；
故选：D
9. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解．
【详解】解：由题意得
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
10. 张明同学的家庭作业中有这样一道题：，处被墨水覆盖了，张明打电话问李晓同学，李晓告诉张明这个方程的解是，那么处应该是数字（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，引入参数是解题的关键.
先通过设为k，然后带入x的值，利用等式的性质，进行去分母，最后通过移项合并同类项解决问题.
【详解】解：设的数字为k，
∵ 是方程的解，
∴ ，
解得：.
故选：B.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 方程2x﹣1＝3的解是_____．
【答案】x＝2．
【解析】
【分析】根据一元一次方程的解法即可得.
【详解】2x﹣1＝3，
移项得：2x＝3+1，
合并同类项得：2x＝4，
把x的系数化为1得：x＝2．
故答案为：x＝2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，基本步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）把系数化为1.
12. 六边形的外角和等于_______°．
【答案】360
【解析】
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
【详解】六边形的外角和等于360度．
故答案为360．
【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是正确判断的前提．
13. “y的2倍与8的和不小于”用不等式表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】由“y的2倍与8的和不小于”，可得．
【详解】解：∵“y的2倍与8的和不小于”，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列不等式，解题的关键在于理解“不小于”的含义，从而正确地列不等式．
14. 如图，是的中线，是边上的中点，连接，若的面积为，则的面积为______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：是的中线，的面积为，
，
是边上的中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
15. 关于的二元一次方程组的解满足，则___________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据方程组的特点，可知(①+②)÷5，得x+y=，继而根据已知条件即可求出答案.
【详解】，
(①+②)÷5，得x+y=，
又∵x+y=3，
∴=3，
解得：k=6，
故答案为6.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法求解是关键.
16. 非负数，满足，记，的最大值为，最小值，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将变形，得到，，将其分别代入即可求得答案．
【详解】将变形，得
，．
将，分别代入，得
，．
∵，，
∴，当，可以取得最大值，最大值，
，当，可以取得最小值，最小值．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式，解题的关键在于通过等量代换得到不等式．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化1得：．
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】采用加减消元法即可求解．
【详解】，
由得：，，
即，
将代入中，得：，
即：，
则有：．
【点睛】本题主要考查了利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的知识，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
19. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来
【答案】，见解析
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】，
解不等式①，得x＞-2；
解不等式②，得x≤4，
在数轴上表示不等式①、②解集如图：
∴原不等式组的解集为：-2＜x≤4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】(1) 65°；(2) 25°
【解析】
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
21. 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
（1）若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元；
（2）若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？
【答案】（1）31.5
（2）小明家3月份的用水量是25吨
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题．
（1）根据收费标准列式求解即可；
（2）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为吨，依题意列出方程求解即可．
【小问1详解】
（元）；
【小问2详解】
解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元）
如果一个月用水18吨，则需水费：（元）
3月份的用水量超过了18吨．
设小明家3月份用水量吨，
依题意可得：
解得：
答：小明家3月份的用水量是25吨．
22. 阅读探索：
知识累计：解方程组．
解：设，原方程组可变为．
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高：运用上述方法解下列方程组：；
（2）能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，求出关于m，n的方程组的解．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键．
（1）利用换元法解方程组即可；
（2）设，进而得到，求解即可．
【小问1详解】
解：设，，
原方程组可变：
解得：；
即
解得：；
【小问2详解】
设
由题意，得
解得：．
23. 对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均非零常数）．例如：．已知，．
（1）求m，n的值；
（2）已若关于p的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目所在定义列出关于m、n的方程组求解即可；
（2）先分别求出，，然后解不等式组，根据不等式组的解集情况求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得，
，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键．
24. 基金会计划购买A、B两种纪念册共50册，已知B种纪念册的单价比A种的单价少10元，买3册A种纪念册与买4册B种纪念册的总费用310元．
（1）求A、B两种纪念册的单价分别是多少元？
（2）如果购买的A种纪念册的数量要大于B种纪念册数量的，但又不大于B种纪念册数量的，设购买A种纪念册m册．
①有多少种不同的购买方案？
②购买时A种纪念册每册降价a元（12≤a≤15），B种纪念册每册降价b元．若满足条件的购买方案所需的总费用一样，求总费用的最小值．
【答案】（1）A种纪念册的单价为50元/册，B种纪念册的单价为40元/册；（2）①有4种不同的购买方案；②1750元
【解析】
【分析】（1）设A种纪念册的单价为x元/册，B种纪念册的单价为y元/册，根据“B种纪念册的单价比A种的单价少10元，买3册A种纪念册与买4册B种纪念册的总费用310元”即可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求出结果；
（2）①根据题目中的两个不等关系“购买的A种纪念册的数量要大于B种纪念册数量的，但又不大于B种纪念册数量的”可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围，进而可得整数m的值，于是可得结果；
②设总费用为w元，先得出w与a、b、m的关系式，然后根据购买方案所需的总费用一样可得a、b的关系，从而可得w与a的关系式，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）设A种纪念册的单价为x元/册，B种纪念册的单价为y元/册，根据题意，
得，解得：，
答：A种纪念册的单价为50元/册，B种纪念册的单价为40元/册．
（2）①根据题意，得，解得：，
∵m为整数，∴m=15，16，17，18，
所以共有4种不同的购买方案；
②设总费用为w元，根据题意，得
=，
∵购买方案所需的总费用一样，即与m的取值无关，
∴，∴，
∴，
∵w随着m的增大而减小，且12≤a≤15，
∴当a=15时，w最小，且w的最小值=2500－50×15=1750元．
即总费用的最小值是1750元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用和一次函数的性质，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系、灵活应用上述知识是解题的关键．
25. 如图①，在中，与的平分线相交于点．
（1）若，则的度数是 ；
（2）如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）的度数是或或或
【解析】
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识．
（1）先求出，进而求出，即可求出；
（2）先求出，进而求出，即可求出；
（3）延长至点，先证明，再求出．分①，②，③，④四种情况分类讨论即可求解 ．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；
【小问3详解】
解：（3）如图③，延长至点，
为的外角的角平分线，
是的外角的角平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
，
即．
平分，平分，，
．
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①当时，则，
；
②当时，则，，
；
③当时，则，
；
④当时，则，
．
综上所述，的度数是或或或．月用水量
不超过12吨
的部分
超过12吨但
不超过18吨的部分
超过18吨
的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00