备考2024年中考数学核心素养专题四 数与式的阅读理解练习附解析

这是一份备考2024年中考数学核心素养专题四 数与式的阅读理解练习附解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，实践探究题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 |ac bd| 的意义是 |ac bd| =ad-bc．按照这个规定，若 |x−22x−1 xx−2| ＝0，则x的值是（ ）
A．－4B．1C．－4或1D．不存在
2．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行.如：a2−2a+3a−1=a(a−1)+a−2a+3a−1=a+−(a−1)+2a−1=a-1+2a−1，这样，分式就拆分成一个分式2a−1与一个整式a-1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个.
①若x为整数，x+4x+2为负整数，则x＝-3；②6＜6x2+18x2+2≤9；③若分式5x2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m-11+1n−6（整式部分对应等于5m-11，真分式部分对应等于1n−6），则m2+n2+mn的最小值为27.
A．0B．1C．2D．3
3．在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝ |Ax0+By0+C|A2+B2 ，例如：点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3＝0的距离为d＝ |4×0+3×0−3|42+32 ＝ 35 ，根据以上材料，求点P1（3，4）到直线y＝﹣ 34 x+ 54 的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y=ax2+bx（a≠0），我们把点（ −b2a ， 1−b24a ）称为该抛物线的焦点，把y= −b2+14a 称为该抛物线的准线方程。例如：抛物线y=x2+2x的焦点为（-1， −34 ），准线方程是y= −54 。根据材料，现已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的焦点的纵坐标为3，准线方程y=5，则关于二次函数y=ax2+bx的最值情况，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为4B．最小值为4C．最大值为3.5D．最小值为3.5
二、填空题
5．阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)．如图，在△ABC中，a=7，b=5，c=6，则BC边上的高为 ．
6．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n=1100n，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算n=120161n(n+1)= ．
7．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 3a−b=2 ，求代数式 6a−2b−1 的值.”可以这样解： 6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3 .根据阅读材料，解决问题：若 x=2 是关于x的一元一次方程 ax+b=3 的解，则代数式 4a2+4ab+b2+4a+2b−1 的值是 .
8．阅读材料：写出二元一次方程x﹣3y=6的几个解： x=0y=−2 ， x=3y=−1 ， x=6y=0 ，…，发现这些解的一般形式可表示为 x=3my=m−2 （m为有理数）．把一般形式再变形为 m=x3m=y+2 ，可得 x3 =y+2，整理得原方程x﹣3y=6．根据阅读材料解答下列问题：若二元一次方程ax+by=c的解，可以写成 x=2ny=n+1 （n为有理数），则a+b+c= ．
9．自学下面材料后,解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如: x−2x+1 >0; 2x+3x−1 0,b>0,则 ab >0;若a0,b0 或 a2．
解：如图2，首先在数轴上找出|x−1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为−1，3，则|x−1|>2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x−5|=3的解为 ．
（2）不等式|x|≥4的解集是 ．
（3）不等式2|x+2|+14的解集是 ．
（5）若|x−3|−|x+4|≤a对任意的x都成立，则a的取值范围是 ．
18．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ．
（2）利用上述方法①进行因式分解：a2−10a+21．
（3）参照方法②求4x2+4x+5的最小值．
19．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14
……
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是 .
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是 .
（3）猜想关于x的方程x-1x=112的解并验证你的结论
（4）在解方程y+y+2y+1=103时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．
20．阅读材料：
在数轴上，x=2表示一个点；在平面直角坐标系中，x=2表示一条直线；以二元一次方程x+y=2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=−x+2的图象，它也是一条直线.
如图1，在平面直角坐标系中，不等式x⩽2表示一个平面区域，即直线x=2及其左侧的部分；
如图2，不等式y⩽−x+2也表示一个平面区域，即直线y=−x+2及其下方的部分.
请根据以上材料回答问题：
（1）图3阴影部分(含边界)表示的是 (填写不等式)表示的平面区域；
（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域(含边界)的不等式组；
（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为(0，1)，且∠ABO=60°，点P为△ABO内部一点(含边界)，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC⩽PE⩽PD，则所有点P组成的平面区域的面积为 .
21．阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13．
证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，
易证△AEB≌△EFC(AAS)
∴EC=2k，CF=k，
∴FD=k，AD=3k
∴tanβ=DFAD=k3k=13，
若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．
同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
22．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】
已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？
四、综合题
23．阅读下面的材料：
如果函数 y=f(x) 满足：对于自变量 x 取值范围内的任意 x1 ， x2 ，
（ 1 ）若 x10
则 f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1+x2)(x1−x2)
∵x10 ， x2>0
∴x1+x2>0 ， x1−x22；x0b0x+1>0 或 x−24
综上所述，|x−3|+|x+1|的最小值是4，此时x的取值范围为−1≤x≤3
故答案为：4，−1≤x≤3
【分析】（1）根据题意，结合数轴上两点间的距离公式即可求出答案.
（2）①根据绝对值的非负性去绝对值，分情况讨论即可求出答案.
②根据绝对值的非负性去绝对值，分情况讨论即可求出答案.
13．【答案】（1）5+7
（2）解：(23+32)(23−32)−(3+2)2，
=(23)2−(32)2−(5+26)，
=12−18−5−26，
=−11−26．
（3）解：2225+3
=22(25−3)(25+3)(25−3)，
=22(25−3)11，
=2(25−3)
=45−6．
【解析】【解答】解：(1)∵5−75+7=52−72=5−7=−2，
∴5−7的一个有理化因式是5+7.
故答案为：5+7.
【分析】(1)利用平方差公式可得5−7与5+7的乘积是有理数，故5−7的一个有理化因式是5+7.
(2)先利用平方差公式和完全平方公式对乘积项进行展开，再进行实数的运算.
(3)由平方差公式可知25+3的一个有理化因式是25−3，利用分式的基本性质将分母化为有理数，再化简分式.
14．【答案】（1）(x+p)(x+q)
（2）m2+[9+(−2)]m+9×(−2)=(m−2)(m+9)；x2+[2+(−4)]x+2×(−4)=(x+2)(x−4)；(xy)2+[(−2)+(−5)]xy+(−2)×(−5)=(xy−2)(xy−5)
【解析】【解答】解：（1）x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；
故答案为：（x+p）（x+q）
（2）①m2+7m-18= m2+[9+(−2)]m+9×(−2)=(m−2)(m+9)；
② x2-2x-8=x2+[2+(−4)]x+2×(−4)=(x+2)(x−4)；
③x2y2-7xy+10=(xy)2+[(−2)+(−5)]xy+(−2)×(−5)=(xy−2)(xy−5).
故答案为：m2+[9+(−2)]m+9×(−2)=(m−2)(m+9)；x2+[2+(−4)]x+2×(−4)=(x+2)(x−4)；(xy)2+[(−2)+(−5)]xy+(−2)×(−5)=(xy−2)(xy−5).
【分析】（1）根据阅读材料可直接得出答案；
（2）利用阅读材料提供的方法分解即可.
15．【答案】（1）﹣4；10
（2）解： 设经过t秒，点A与点B相距4个单位，
|14+t-3t|=4，
解得：t=5或9，
答：点A、B同时出发沿数轴向左移动，速度分别为1个单位长度/秒，3个单位长度/秒，经过5或9秒，点A与点B相距4个单位；
（3）解：设时间为x秒，
∵根设经过t秒，点A与点B相距4个单位，根据题意得出|14+t-3t|=4，求出方程的解即可；
∴AM＝x×1＝x，ON＝10+2x，
∴OP＝12ON＝12 （10+2x）=5+x， ，
∵OP﹣AM的值为y，
∴y＝（5+x）﹣x＝5，
即在移动过程中，y的值不发生变化，y=5．
【解析】【解答】解：（1）∵多项式(a+4)x3+10x2−5x+3 是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，
∴a=−4，b=10，
∵数轴上两点 A，B 对应的数分别为a，b，
∴点 A 表示的数是−4，点B表示的数是10；
故答案为：−4，10；
【分析】（1）根据多项式定义确定出a、b的值；
（2）根据数轴动点问题求解。 根设经过t秒，点A与点B相距4个单位，根据题意得出|14+t-3t|=4，求出方程的解即可；
（3）根据数轴上两点间的距离求解。先求出AM和OP的长，再求出y即可．
16．【答案】（1）解：x2-10x+y2+2y+26=0
即x2-2·5x+25+y2+2y+1=0，
∴（x-5）2+（y+1）2=0，
∴x=5，y=-1；
则xy=5−1=15.
（2）解：x2-4xy+5y2-2y+1=0
即x2-4xy+4y2+y2-2y+1=0，
∴（x-2y）2+（y-1）2=0，
∴x-2y=0，y=1，
∴x=2，
则x+y=2+1=3
（3）解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a2+b2+c2=ac+ab+bc，
即a2+b2+c2-ac-ab-bc=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0，
即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0，
∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形.
【解析】【分析】（1）首先将x2-10x+y2+2y+26=0分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入xy即可解答；
（2）首先将x2-4xy+5y2-2y+1=0分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入x+y即可解答；
（3）先将原等式右边的部分移项到等号的左边，再将等式两边乘以2，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质得到a=b=c，即可确定出三角形形状.
17．【答案】（1）x1=8或x2=2
（2）x≥4或x≤−4
（3）−6≤x≤2
（4）x3
（5）x0 ， x1x2>0
∴x2−x1x1x2>0 ，即 f(x1)−f(x2)>0
∴函数 f(x)=1x(x>0) 是减函数.
【解析】【解答】解：（1） f(3)=13 ， f(4)=14
【分析】（1）将x=3，x=4分别代入求出函数值即可；
（2） 任取 x10 ， x2>0 ，利用作差法求出f(x1)−f(x2)的值，然后判断即可. x
…
－3
－2
－1
1
2
3
…
y
…
2.83
1.73
0
0
1.73
2.83
…