上海交通大学附属中学2023-2024学年高三下学期摸底考试数学试题及参考答案

这是一份上海交通大学附属中学2023-2024学年高三下学期摸底考试数学试题及参考答案，共12页。试卷主要包含了03，； 2， ； 9，B； 14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）
1．设复数满足（为虚数单位），则的模为________．
2．*已知集合，，则________．
3．不等式的解集为________．
4．一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘以5，所得到的新数据的方差是________．
5．已知，若，则________．
6．*已知向量，向量，则向量在向量上的数量投影为________．
7．从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是________．
8．已知，若对任意，，则的取值范围是________．
9．容量为的一组数据，它的第百分位数（为1到99之间的整数）各不相同，则的最小值为________．
10．定义在上的函数，其图像与水平直线的交点从左往右分别记为．若，则的取值范围是_________．
11．设双曲线的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于两点，且，则的离心率为________．
12．已知向量满足，，则的取值范围是________．
二、选择题．（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）
13．*已知两个不同的平面和，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件，
C．充要条件： D．既非充分也非必要条件．
14．中，以下与“”不等价的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
15．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ）
A．丁酉年； B．丁戌年； C．戊酉年； D．戊戌年．
16．如图，已知中为直角，是线段上任意一点（不含端点），沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ）
A．； B．与的大小关系与点位置有关；
C．； D．与的大小关系与大小有关．
三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤）
17．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数的表达式．
（1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明；
（2）当吋，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
并判断，该市一天空气中浓度与浓度是否有关？
附：．
19．（本题满分14分）第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分．
在三棱柱中，平面，，，，点分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．
（i）求证：点轨迹方程为；
（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．
21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设和是两个等差数列，记，其中表示，，…，这个数中最大的数．
（1）若，，求，，的值；
（2）若为常数列，证明是等差数列；
（3）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，…是等差数列．
32
18
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6
8
12
3
7
10
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4. ； 5. ； 6. ； 7.；
8. ； 9. ； 10. ； 11.； 12. ；
11．设双曲线的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于两点，且，则的离心率为________．
【答案】
【解析】不妨设直线与圆的切点为，此时，且.
又，所以.
过点作于点，此时，因为为的中点，
所以，，因为，所以为锐角，
则，可得，
此时，所以.
易知，即，解得，则离心率
12．已知向量满足，，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】.
∴，
∴的取值范围是.
二、选择题
13.B； 14.C； 15.A； 16.
15．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ）
A．丁酉年； B．丁戌年； C．戊酉年； D．戊戌年．
【答案】A
【解析】天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期. 1777年与2024年相隔247年，天干有24个周期，余7年；地支有20个周期，余7年。故甲往前数7年为丁，辰往前数7年为酉，故1777年为丁酉年，选A.
三、解答题
17.（1），证明略 （2）
18.（1）0.64
（2）表格补充如下：
假设该市一天空气中浓度与浓度无关.
经计算得：，即原假设成立的可能性低于，故有的把握认为原假设错误，
19.（1）证明略；（2）；（3）.
20. 已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点．
（i）求证：点轨迹方程为；
（ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得.
因为，.
在中，由余弦定理得，解得，
则，故椭圆的方程为；
（2）证明：当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为，
联立得.
因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交.
设，由韦达定理得，
所以.
因为为线段中点，所以，此时，则.
联立得，则.
不妨设，所以.
不妨设，由得，
即.
因为，所以.
∵，所以，即，则点在定直线上.
当直线斜率为0时，轴，此时.
因为，所以，则，故点在定直线上；
当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴，所以点在轴上，则.∵，所以，即，则点在定直线上.
综上可得：点在定直线上.
21. 设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．
（1）若，，求，，的值；
（2）若为常数列，证明：是等差数列；
（3）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，…是等差数列．
【答案】（1），，；（2）证明见详解；（3）略.
【解析】（2）设（为常数），的通项公式为.
先考虑，
则，所以.
当时，则，，此时为常数，所以是等差数列；
当时，则，，此时是常数列，也是等差数列；
综上所述：是等差数列；64
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