2024年河南省郑州市中考数学第二次适应性试卷附解析

这是一份2024年河南省郑州市中考数学第二次适应性试卷附解析，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2的绝对值是（ ）
A．±2B．2C．D．﹣2
2．（3分）近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积16.8亿亩，其中16.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.68×108B．1.68×109
C．16.8×108D．0.168×1010
3．（3分）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（ ）
A．1+3＝4B．﹣1+3＝2
C．0+3＝3D．﹣1+（﹣3）＝﹣4
4．（3分）如果一个四边形绕对角线交点旋转90°，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
5．（3分）a，b，c是三个连续的正偶数，以b为边长的正方形面积的为S1，分别以a，c为长和宽的长方形的面积为S2，则S1与S2的数量关系是（ ）
A．S1＝S2B．S1﹣S2＝2C．S1﹣S2＝4D．S2﹣S1＝4
6．（3分）在平面直角坐标系中，某个图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数，此时图形却未发生任何改变．下列说法正确的是（ ）
A．该图形是轴对称图形且关于y轴对称
B．该图形是轴对称图形且关于x轴对称
C．该图形是中心对称图形且关于原点中心对称
D．该图形是任意图形均可
7．（3分）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）下面的三个问题中都有两个变量：
①某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x小时后，这个水池有水y m3；
②某电信公司手机的A类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计．若一个月的通话时间为x min，应缴费用为y元；
③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为y，其中一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
9．（3分）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7B．2＜x＜6C．3＜x＜5D．3＜x＜4
10．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则点F的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）平面上两条直线的位置关系是 或 ．
12．（3分）某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下：
根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为 人．
13．（3分）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为130m的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为 m（用含α的式子表示）．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在边AB上，OA＝2，以O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到AE，连接EC，ED，当△ECD为直角三角形时，α的度数为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）某校所在城市中学段跳远成绩达到596cm就很可能夺冠，该市跳远记录为609cm．该校要从甲、乙两名运动员中挑出一人参加全市中学生跳远比赛．李老师记录了二人在最近的10次选拔赛中的成绩（单位：cm），并进行整理、描述和分析．
a．甲、乙二人最近10次选拔赛成绩：
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624．
b．甲、乙两人最近10次选拔赛成绩的统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）分析这两名运动员的成绩各有什么特点？
（2）你认为李老师会让谁去参加比赛？请说明理由．
18．（9分）如图，点A，B为⊙O上的两点，连接AO，BO，AB（∠AOB＜90°）．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点B作OA的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的平行线与⊙O交于点C，连接AC，则∠CAO与∠O有怎样的数量关系，请说明理由．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝x+1交于点A（1，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P为直线y＝x+1在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当PQ＝2时，求a的值；
（3）观察图象，直接写出当PQ＞2时，a的取值范围．
20．（9分）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：
＝100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c），显然99a+9b能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除．
应用材料解答下列问题：
（1）设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除；
（2）设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由．
21．（9分）生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W（单位：g）与脉搏率f存在着一定的关系．如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散点图，图2画出了1lgf与lgW的散点图（lgX是一种运算，如1g100＝2，lg2≈0.3，lg3≈0.5）．
为了较好地描述体重W和脉搏率f的关系，现有以下两种模型供选择：
①f＝kW+b；②lgf＝klgW+b．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求出lgf关于lgW的函数表达式．
（参考数据：1g200≈2.3，lg2000≈3.3，lg300≈2.5．）
22．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）写出一组b，c的值，使抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0），（2，3）．
①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点P（m，n）为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围．
23．（10分）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k为常数且k＞0，k≠1）．
（1）若c＝a1，用k表示a和c的数量关系；
（2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数；
（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1相似使得k是正整数？请说明理由．
2024年河南省郑州市中考数学第二次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）2的绝对值是（ ）
A．±2B．2C．D．﹣2
【答案】B
【分析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离，可得答案．
【解答】解：2的绝对值是2．
故选：B．
2．（3分）近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积16.8亿亩，其中16.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.68×108B．1.68×109
C．16.8×108D．0.168×1010
【答案】B
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：16.8亿＝1680000000＝1.68×109．
故选：B．
3．（3分）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（ ）
A．1+3＝4B．﹣1+3＝2
C．0+3＝3D．﹣1+（﹣3）＝﹣4
【答案】D
【分析】根据加法法则知识进行判断即可．
【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如﹣1+（﹣3）＝﹣4，
故选：D．
4．（3分）如果一个四边形绕对角线交点旋转90°，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【答案】D
【分析】根据旋转对称图形的定义和正方形的判定作答．
【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．
故选：D．
5．（3分）a，b，c是三个连续的正偶数，以b为边长的正方形面积的为S1，分别以a，c为长和宽的长方形的面积为S2，则S1与S2的数量关系是（ ）
A．S1＝S2B．S1﹣S2＝2C．S1﹣S2＝4D．S2﹣S1＝4
【答案】C
【分析】根据a，b，c是三个连续的正偶数，可设b＝2n，则a＝2n﹣2，c＝2n+2，进而求出S1，S2即可．
【解答】解：设b＝2n，则a＝2n﹣2，c＝2n+2，
所以S1＝（2n）2＝4n2，S2＝ac＝（2n﹣2）（2n+2）＝4n2﹣4，
所以S1﹣S2＝4，
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，某个图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的相反数，此时图形却未发生任何改变．下列说法正确的是（ ）
A．该图形是轴对称图形且关于y轴对称
B．该图形是轴对称图形且关于x轴对称
C．该图形是中心对称图形且关于原点中心对称
D．该图形是任意图形均可
【答案】A
【分析】根据关于y轴的对称图形可得答案．
【解答】解：图形上各点的纵坐标保持不变，而横坐标变为相反数，图形就关于y轴对称．
故选：A．
7．（3分）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将造纸术、指南针、火药和活字印刷术四张纪念卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：AB，BA，共2种，
∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为．
故选：C．
8．（3分）下面的三个问题中都有两个变量：
①某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x小时后，这个水池有水y m3；
②某电信公司手机的A类收费标准为：每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计．若一个月的通话时间为x min，应缴费用为y元；
③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为y，其中一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】A
【分析】①根据x小时后，这个水池的蓄水量等于原来的蓄水量加上后来增加的进水量判断即可；
②根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可；
③根据矩形的面积公式判断即可．
【解答】解：①由题意得，y＝15+5x，故变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示；
②由题意得，y＝12+0.2x，故变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示；
③用长度为1的铁丝围成一个矩形，设矩形的面积为y，其中一边长x．
则y＝x•，此函数是二次函数，不能用如图所示的图象表示．
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
9．（3分）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7B．2＜x＜6C．3＜x＜5D．3＜x＜4
【答案】C
【分析】由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是3＜x＜5，即可得到答案．
【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，
由三角形三边关系定理得：，
不等式①恒成立，
由不等式②得：x＞3，
由不等式③得：x＜5，
∴不等式组的解集是3＜x＜5，
故选：C．
10．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，△ABC的高，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则点F的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出AB和BC，作AQ⊥BC，利用等面积法求出AQ，再用勾股定理求出BQ，即可求出点F坐标．
【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝8，即AB＝8，
当点P运动到点C处时，x＝15，即BC＝7，
作AQ⊥BC，如图，
当点P运动到点Q处时，AP最短，
由等面积得AB•CG＝BC•AQ，
∴AQ＝4，
∴点F纵坐标为4，
在Rt△ABQ中，AB2＝AQ2+BQ2，
∴BQ＝4，
∴AB+BQ＝12，
∴点F的横坐标为12，
∴点F坐标（12，4）．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）平面上两条直线的位置关系是 相交 或 平行 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．
【解答】解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．
故填相交、平行．
12．（3分）某校为了解九年级1000名学生一分钟跳绳的情况，随机抽取50名学生进行一分钟跳绳测试，获得了他们跳绳的数据（单位：个），数据整理如下：
根据以上数据，估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为 600 人．
【答案】600．
【分析】用1000乘样本中跳绳的个数不低于175个的人数所占比例可得答案．
【解答】解：由题意得：
1000×＝600（人），
即估计九年级1000名学生中跳绳的个数不低于175个的人数为600人．
故答案为：600．
13．（3分）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为130m的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为 65tanα m（用含α的式子表示）．
【答案】65tanα．
【分析】根据底部是边长为130m的正方形求出BC的长，再由锐角三角函数的定义表示出AC的长即可．
【解答】解：如图，
∵底部是边长为130m的正方形，
∴BC＝×130＝65（m），
∵AC⊥BC，∠ABC＝α，
∴AC＝BC•tanα＝65tanα（m），
故答案为：65tanα．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在边AB上，OA＝2，以O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积为 +π ．
【答案】+π．
【分析】连接OD，过OH⊥AC于H点，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝45°，则OH＝OA＝，再根据切线的性质得到OD⊥BC，于是可判断OD∥AC，所以∠EOD＝∠BAC＝45°，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S△AOD+S扇形DOE进行计算．
【解答】解：连接OD，过OH⊥AC于H点，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∴OH＝OA＝×2＝，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠BAC＝45°，
∴阴影部分的面积＝S△AOD+S扇形DOE＝×2×+＝+π．
故答案为：+π．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，将边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到AE，连接EC，ED，当△ECD为直角三角形时，α的度数为 60°或120° ．
【答案】60°或120°．
【分析】根据所给旋转方式，画出示意图，利用分类讨论的数学思想即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点E在以A为圆心，AB长为半径的圆上．
当∠EDC＝90°时，
则CE为⊙A的直径．
∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝120°．
即旋转角α的度数为120°．
当∠ECD＝90°时，
则DE为⊙A的直径．
∵∠CDA＝60°，
∴∠CED＝30°．
∵AB∥CD，CD⊥EC，
∴AB⊥EC，
∴∠BAE＝90°﹣30°＝60°．
即旋转角α的度数为60°．
∵以CD为直径的圆与⊙A除C，D之外无交点，
∴不存在∠CED＝90°的情况．
综上所述，旋转角α的度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先求立方根，去绝对值，算负整数指数幂，再算加减；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1
＝；
（2）原式＝÷
＝•
＝．
17．（9分）某校所在城市中学段跳远成绩达到596cm就很可能夺冠，该市跳远记录为609cm．该校要从甲、乙两名运动员中挑出一人参加全市中学生跳远比赛．李老师记录了二人在最近的10次选拔赛中的成绩（单位：cm），并进行整理、描述和分析．
a．甲、乙二人最近10次选拔赛成绩：
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624．
b．甲、乙两人最近10次选拔赛成绩的统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）分析这两名运动员的成绩各有什么特点？
（2）你认为李老师会让谁去参加比赛？请说明理由．
【答案】（1）甲平均成绩高且比乙的成绩稳定；（2）选择甲参加比赛．
【分析】（1）从甲和乙的平均成绩与方差描述成绩特点；
（2）再从10次成绩中达到5.96m的次数确定选拔人员．
【解答】解：（1）根据甲的平均数高于乙的平均数，
甲的方差小于乙的方差，
所以甲平均成绩高且比乙的成绩稳定；
（2）甲10次成绩中有9次成绩达到5.96m，而乙10次成绩中只有5次达到5.96m，而且甲的成绩稳定，
∴应该选择甲参加比赛．
18．（9分）如图，点A，B为⊙O上的两点，连接AO，BO，AB（∠AOB＜90°）．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点B作OA的平行线（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的平行线与⊙O交于点C，连接AC，则∠CAO与∠O有怎样的数量关系，请说明理由．
【答案】（1）见解答．
（2）∠O＝2∠CAO，理由见解答．
【分析】（1）根据平行线的判定，在OB的右侧作∠OBC＝∠AOB，则直线BC即为所求．
（2）由平行线的性质可得∠CAO＝∠BCA，由圆周角定理可得∠O＝2∠BCA，则∠O＝2∠CAO．
【解答】解：（1）如图，在OB的右侧作∠OBC＝∠AOB，
则BC∥OA，
则直线BC即为所求．
（2）∠O＝2∠CAO．
理由：∵BC∥OA，
∴∠CAO＝∠BCA，
∵∠O＝2∠BCA，
∴∠O＝2∠CAO．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝x+1交于点A（1，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P为直线y＝x+1在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当PQ＝2时，求a的值；
（3）观察图象，直接写出当PQ＞2时，a的取值范围．
【答案】（1）m＝2，k＝2．（2）a＝2或；（3）a＞2或0＜a＜．
【分析】（1）将点A（1，m）坐标代入y＝x+1求出m，将A（1，2）坐标代入反比例函数解析式求出k值即可；
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y＝，设点P坐标为（a，a+1），则Q（a，），列出关于a的方程解答即可；
（3）数形结合得到PQ＞2时，a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，m）在直线y＝x+1上，
∴m＝2，
∴A（1，2），
∵A（1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝2，
∴m＝2，k＝2．
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y＝，
设点P坐标为（a，a+1），则Q（a，），
∴PQ＝丨a+1﹣丨＝2，
∴a+1﹣＝±2，
解得：a＝2或﹣1（舍去）或或（舍去），
∴a＝2或，
（3）由图象可知，当PQ＞2时，a＞2或0＜a＜．
20．（9分）阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性．以三位数为例，设是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3整除．论证过程如下：
＝100a+10b+c＝（99a+9b）+（a+b+c），显然99a+9b能被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么就能被3整除．
应用材料解答下列问题：
（1）设是一个三位数，直接写出满足什么条件时，它可以被5整除；
（2）设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由．
【答案】（1）c＝0或5时，能被5整除；
（2）当10c+d能被4整除时，能被4整除．
【分析】（1）把三位数化为10（10a+b）+c，根据整除的性质得出结论；
（2）把四位数化为4（250a+25b）+10c+d，根据整除的性质得出结论．
【解答】解：（1）＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c，
∵10（10a+b）能被5整除，
∴当c能被5整除时，即c＝0或5时，能被5整除；
（2）＝1000a+100b+10c+d＝4（250a+25b）+10c+d，
∵4（250a+25b）能被4整除，
∴当10c+d能被4整除时，能被4整除．
21．（9分）生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W（单位：g）与脉搏率f存在着一定的关系．如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散点图，图2画出了1lgf与lgW的散点图（lgX是一种运算，如1g100＝2，lg2≈0.3，lg3≈0.5）．
为了较好地描述体重W和脉搏率f的关系，现有以下两种模型供选择：
①f＝kW+b；②lgf＝klgW+b．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求出lgf关于lgW的函数表达式．
（参考数据：1g200≈2.3，lg2000≈3.3，lg300≈2.5．）
【答案】（1）模型②最符合实际．理由见解答．
（2）∴lgf＝﹣lgw+．
【分析】（1）根据图2中各点形成的图象基本呈直线形式，可得模型②最符合实际；
（2）取表1中豚鼠和兔的体重、脉搏率数据代入所选函数模型，求得k和b的值，即可求得相应的函数解析式．
【解答】解：（1）模型②最符合实际．
∵图2中各点形成的图象基本呈直线形式，
∴模型②最符合实际．
（2）由题意得：．
∵lg200≈2.3，lg2000≈3.3，lg300≈2.5，
∴．
解得：．
∴lgf＝﹣lgw+．
22．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）写出一组b，c的值，使抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0），（2，3）．
①求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
②设抛物线与y轴交于点A，点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，点P（m，n）为抛物线上点A，B之间（不含点A，B）的一个动点，求点P的纵坐标n的取值范围．
【答案】（1）b＝3，c＝2；（答案不唯一）（2）①y＝﹣x2+2x+3；顶点为（1，4）；②﹣5＜n＜4，且n≠3．
【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，从而Δ＝b2﹣4c＞0，进而可以举例得解；
（2）①依据题意，由抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0），（2，3），进而建立方程组计算可以得解析式，又化成顶点式即可得解；
②由题意，对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，可得A（0，3），又点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，可得x＝2或x＝﹣2，进而可得B（2，3）或B（﹣2，﹣5），从而根据二次函数的性质进行分类讨论即可得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4c＞0．
不妨取b＝3，c＝2，满足题意．
（2）①由题意，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（﹣1，0），（2，3），
∴．
∴．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
又∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点为（1，4）．
②由题意，对于y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，
∴y＝3．
∴A（0，3）．
∵点B为抛物线上的一点，且到y轴的距离为2个单位长度，
∴x＝2或x＝﹣2．
∴当x＝2时，y＝3或当x＝﹣2时，y＝﹣5．
∴B（2，3）或B（﹣2，﹣5）．
a．当P（m，n）在A（0，3），B（2，3）之间时，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3开口向下，
又当x＝1时，y取最大值为4，
∴3＜n＜4．
b．当P（m，n）在A（0，3），B（﹣2，﹣5）之间时，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3开口向下，
又对称轴是直线x＝1，且﹣2＜0＜1，
∴此时y随x的增大而增大．
∴﹣5＜n＜3．
综上，﹣5＜n＜4，且n≠3．
23．（10分）如图，△ABC的三边长分别为a，b，c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k为常数且k＞0，k≠1）．
（1）若c＝a1，用k表示a和c的数量关系；
（2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数；
（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1相似使得k是正整数？请说明理由．
【答案】（1）a＝kc；
（2）取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2；
（3）不存在，理由见解析．
【分析】（1）已知两个三角形的相似比为k，则对应边a＝ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论；
（2）先选取△ABC的三边长，然后以c的长作为a的值，再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；
（3）首先根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞I），
∴＝k，a＝ka1；
又∵c＝a1，
∴a＝kc；
（2）解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2；
此时＝2，
∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1；
（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1；
又∵b＝a1，c＝b1，
a＝2a1＝2b＝4b1＝4c；
∴b＝2c；
∴b+c＝2c+c＝3c，4c＝a，
∴b+c＜a，
而应该是b+c＞a；
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2．
跳绳的个数/个
115≤x＜135
135≤x＜155
155≤x＜175
175≤x＜195
x≥195
人数/人
2
5
13
24
6
平均数
中位数
方差
达到596cm的次数
达到610cm的次数
甲运动员成绩
601.6
600.5
65.84
9
3
乙运动员成绩
599.3
595.5
284.21
5
4
动物名
鼠
大鼠
豚鼠
兔
小狗
大狗
羊
体重W
25
200
300
2000
5000
30000
50000
脉搏率f
670
420
300
200
120
85
70
跳绳的个数/个
115≤x＜135
135≤x＜155
155≤x＜175
175≤x＜195
x≥195
人数/人
2
5
13
24
6
平均数
中位数
方差
达到596cm的次数
达到610cm的次数
甲运动员成绩
601.6
600.5
65.84
9
3
乙运动员成绩
599.3
595.5
284.21
5
4
动物名
鼠
大鼠
豚鼠
兔
小狗
大狗
羊
体重W
25
200
300
2000
5000
30000
50000
脉搏率f
670
420
300
200
120
85
70