2025届高考数学一轮总复习第二章一元二次函数方程和不等式第二节基本不等式课件

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基本不等式也称为“均值不等式”
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　　　　. (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时,等号成立. (3)其中,　　　　　　叫做正数a,b的算术平均数,　　　　叫做正数a,b的几何平均数. 
2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥　　　　(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. 
3.利用基本不等式求最值已知x≥0,y≥0.(1)如果积xy等于定值P,那么当　　　　时,和x+y有最小值　　　　(简记:积定和最小). (2)如果和x+y等于定值S,那么当　　　　时,积xy有最大值　　　　(简记:和定积最大). 
微点拨利用基本不等式求最值的注意点(1)应用基本不等式求最值应满足“一正、二定、三相等”,忽略某一条件就会导致错误.(2)应用基本不等式求最值时应尽量避免多次运用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证它们的等号成立的条件一致.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2.下列结论不正确的是(　　)A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5
A.5B.1C.-5D.-1
例1.(多选)(2023湖南岳阳模拟)已知正实数a,b满足a+4b=2,则(　　)
名师点析利用基本不等式判断命题真假的注意点(1)要熟记基本不等式及其各种变形的形式与成立的条件,明确其中等号成立的条件.(2)理解基本不等式的一般性,基本不等式中,a,b可以换成不同的数、式,但必须满足相应的条件,否则就会得出错误的结论.
对点训练1(多选)下列不等式的证明过程正确的是(　　)
考向1.通过拼凑利用基本不等式求最值典例突破
答案 (1)A　(2)
对点训练2已知a,b∈R,若a-3b=2,则2a+ 的最小值为　　　　　. 
考向2.通过常数代换利用基本不等式求最值典例突破
方法点拨常数代换法求最值
对点训练3若实数x,y满足x>2y>0,且xy=1,则 的最小值是　　　　　. 
考向3.通过消元利用基本不等式求最值典例突破
例4.已知正实数x,y满足x-2y=1,则 +y的最小值为　　　　　. 
名师点析消元法求最值在条件最值问题中,当含有多个变量时,可以根据已知条件,用一个变量表示另一个变量,从而将欲求最值的代数式中的变量减少,只保留一个变量,然后通过拼凑,创造符合基本不等式应用的条件,求得最值.
考向4.利用基本不等式“和”“积”互化求最值典例突破
例5.已知正数a,b满足 =3,则a+b的取值范围是　　　　　;ab的最小值为　　　　　. 
名师点析“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值.(2)在解决条件最值时,如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.
考向5.通过多次利用基本不等式求最值典例突破
易错警示多次利用基本不等式求最值的注意点(1)注意对代数式进行合理地转化,转化不当则无法连续运用基本不等式;(2)当多次连续运用基本不等式时,应确保每次使用的基本不等式中等号成立的条件是一致的,否则,相应的最值是取不到的.
对点训练6若a>b>0,则a2+ 的最小值为　　　　　. 
考向1.基本不等式与其他知识的综合典例突破
解析设等比数列{an}的公比为q.由题意得2S2=S3-a1,即2(a1+a2)=a2+a3=q(a1+a2),又等比数列{an}的各项均为正数,所以q=2,an>0.
名师点析基本不等式是求最值的一种重要方法,因此具有广泛的应用,在三角函数、数列、平面向量、立体几何等综合问题中,常常利用基本不等式求得最值.
考向2.基本不等式的实际应用典例突破
例8.(2023山东淄博二模)某学生到工厂实践,欲将一个底面半径为2,高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗,则得到的圆柱体的最大体积是(　　)
名师点析利用基本不等式解决实际问题的方法(1)理解题意,明确数量关系,引进变量,注意设变量时,一般把求最大值或最小值的量定义为函数.(2)根据题意抽象出函数解析式,利用基本不等式求函数的最值.(3)求最值时,注意在函数定义域内求解,并验证等号成立的条件.
对点训练8(2023安徽芜湖一中模拟)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为m g,则(　　)A.m>10B.m=10C.m