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2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第四节二次函数与幂函数课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第四节二次函数与幂函数课件，共42页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，yxα，xx≠0，yy≥0，奇函数，答案B，答案D，答案A等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.幂函数的概念
一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
注意幂函数与指数函数的区别
2.常用5个简单幂函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
微点拨二次函数解析式的三种基本形式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:若函数的顶点坐标为(h,k),则y=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点式:若函数的两个零点为x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
常用结论1.所有幂函数的图象都经过点(1,1),所有幂函数的图象都不经过第四象限.2.幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在(0,+∞)上单调递减.3.一般地,对于幂函数f(x)= (m,n∈N*,m与n互质),当m为偶数时,f(x)为偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函数.4.如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
3.已知幂函数f(x)= ,若f(a+1)
解析 依题意有 解得3
(2)(2023江西南昌一模)已知函数 ,若对于任意的x∈[2,3],不等式f(x)+f(a-2x)≤1恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-∞,4)D.(-∞,4]
答案 (1)B (2)D
名师点析幂函数的图象与性质应用技巧(1)由于幂函数解析式中只含有一个参数,因此只需一个条件,利用待定系数法即可确定幂函数的解析式.(2)对于幂函数的图象,可结合5个常见幂函数的图象特点进行分析判断.(3)对于幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在(0,+∞)上单调递减,而f(x)在(-∞,0)上的单调性由函数的定义域以及奇偶性决定.
(2)(多选)已知点 在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)( )A.是奇函数B.是偶函数C.在(0,+∞)上单调递增D.在(0,+∞)上单调递减
关系是( )A.c
典例突破例2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式.
解 (方法1) 利用二次函数的一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(方法3) 利用二次函数的零点式)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
解得a=-4.故f(x)=-4x2+4x+7.
方法总结求二次函数解析式的方法求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
对点训练2为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图).若对应的两条曲线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm,则右轮廓线DFE所对应的二次函数的解析式为( )
考向1.二次函数的图象典例突破
例3.(2023上海青浦二模)已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式(ax+b)(bx+c)(cx+a)<0的解集是 .
突破技巧二次函数图象的应用技巧
对点训练3已知函数f(x)=ax2+bx+c.若a>b>c且a+b+c=0,则f(x)的图象可能是( )
考向2.二次函数的单调性典例突破
例4.(2023四川南山中学一模)已知函数f(x)=x2-2x在定义域[-1,n]上的值域为[-1,3],则实数n的取值范围为 .
答案 [1,3] 解析 ∵f(x)=x2-2x图象的对称轴为直线x=1,∴f(x)在[-1,1]上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,由x2-2x=-1,得x=1,由x2-2x=3,得x=-1或x=3,即f(-1) =f(3)=3,∴要使函数f(x)=x2-2x在定义域[-1,n]上的值域为[-1,3],则n的取值范围是[1,3].
方法点拨解决二次函数单调性问题的基本方法(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论. (2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆(-∞,- ](A⊆[- ,+∞)),即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧).
对点训练4已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象不可能是( )
考向3.二次函数的最值典例突破
例5.(多选)(2023山东烟台期末)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最值有如下结论,其中正确的是( )A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间[2,3]上的最小值为2,最大值为5D.f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)
答案 BC 解析函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,∵f(x)在区间[-1,0]上单调递减,∴f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误.在选项B中,∵f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,∴f(x)的最小值为f(1),最大值为f(-1),B正确.在选项C中,∵f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴f(x)的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确.在选项D中,当12时,f(x)在区间[0,a]上的最大值为f(a),D错误.故选BC.
技巧点拨二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴固定、区间变动.(2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
解析由题意知a≠0.因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),所以a>0,且
对点训练5已知函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则 的最小值为( )A.-3B.3C.-4D.4
考向4.二次函数中的恒成立问题典例突破例6.已知函数f(x)=x2+(1-m)x-m,若f(f(x))≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
解析 f(x)=x2+(1-m)x-m=(x-m)(x+1).(1)当m>-1时,f(f(x))≥0恒成立等价于f(x)≥m或f(x)≤-1(不符合题意,舍去)恒成立,即f(x)=x2+(1-m)x-m≥m恒成立,
(2)当m=-1时,恒成立,符合题意.
(3)当m<-1时,f(f(x))≥0恒成立等价于f(x)≤m(不符合题意,舍去)或f(x)≥-1
方法点拨不等式恒成立求参数取值范围的方法(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.(2)对于二次函数的恒成立问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
知识梳理1.幂函数的概念
一般地,函数 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
注意幂函数与指数函数的区别
2.常用5个简单幂函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
微点拨二次函数解析式的三种基本形式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:若函数的顶点坐标为(h,k),则y=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点式:若函数的两个零点为x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
常用结论1.所有幂函数的图象都经过点(1,1),所有幂函数的图象都不经过第四象限.2.幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在(0,+∞)上单调递减.3.一般地,对于幂函数f(x)= (m,n∈N*,m与n互质),当m为偶数时,f(x)为偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函数.4.如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
3.已知幂函数f(x)= ,若f(a+1)
解析 依题意有 解得3
(2)(2023江西南昌一模)已知函数 ,若对于任意的x∈[2,3],不等式f(x)+f(a-2x)≤1恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-∞,4)D.(-∞,4]
答案 (1)B (2)D
名师点析幂函数的图象与性质应用技巧(1)由于幂函数解析式中只含有一个参数,因此只需一个条件,利用待定系数法即可确定幂函数的解析式.(2)对于幂函数的图象,可结合5个常见幂函数的图象特点进行分析判断.(3)对于幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在(0,+∞)上单调递减,而f(x)在(-∞,0)上的单调性由函数的定义域以及奇偶性决定.
(2)(多选)已知点 在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)( )A.是奇函数B.是偶函数C.在(0,+∞)上单调递增D.在(0,+∞)上单调递减
关系是( )A.c
典例突破例2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求二次函数f(x)的解析式.
解 (方法1) 利用二次函数的一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(方法3) 利用二次函数的零点式)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
解得a=-4.故f(x)=-4x2+4x+7.
方法总结求二次函数解析式的方法求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下:
对点训练2为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图).若对应的两条曲线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm,则右轮廓线DFE所对应的二次函数的解析式为( )
考向1.二次函数的图象典例突破
例3.(2023上海青浦二模)已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式(ax+b)(bx+c)(cx+a)<0的解集是 .
突破技巧二次函数图象的应用技巧
对点训练3已知函数f(x)=ax2+bx+c.若a>b>c且a+b+c=0,则f(x)的图象可能是( )
考向2.二次函数的单调性典例突破
例4.(2023四川南山中学一模)已知函数f(x)=x2-2x在定义域[-1,n]上的值域为[-1,3],则实数n的取值范围为 .
答案 [1,3] 解析 ∵f(x)=x2-2x图象的对称轴为直线x=1,∴f(x)在[-1,1]上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,由x2-2x=-1,得x=1,由x2-2x=3,得x=-1或x=3,即f(-1) =f(3)=3,∴要使函数f(x)=x2-2x在定义域[-1,n]上的值域为[-1,3],则n的取值范围是[1,3].
方法点拨解决二次函数单调性问题的基本方法(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论. (2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆(-∞,- ](A⊆[- ,+∞)),即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧).
对点训练4已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象不可能是( )
考向3.二次函数的最值典例突破
例5.(多选)(2023山东烟台期末)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最值有如下结论,其中正确的是( )A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间[2,3]上的最小值为2,最大值为5D.f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)
答案 BC 解析函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,∵f(x)在区间[-1,0]上单调递减,∴f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误.在选项B中,∵f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,∴f(x)的最小值为f(1),最大值为f(-1),B正确.在选项C中,∵f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴f(x)的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确.在选项D中,当1
技巧点拨二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴变动、区间固定;③对称轴固定、区间变动.(2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
解析由题意知a≠0.因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),所以a>0,且
对点训练5已知函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则 的最小值为( )A.-3B.3C.-4D.4
考向4.二次函数中的恒成立问题典例突破例6.已知函数f(x)=x2+(1-m)x-m,若f(f(x))≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
解析 f(x)=x2+(1-m)x-m=(x-m)(x+1).(1)当m>-1时,f(f(x))≥0恒成立等价于f(x)≥m或f(x)≤-1(不符合题意,舍去)恒成立,即f(x)=x2+(1-m)x-m≥m恒成立,
(2)当m=-1时,恒成立,符合题意.
(3)当m<-1时,f(f(x))≥0恒成立等价于f(x)≤m(不符合题意,舍去)或f(x)≥-1
方法点拨不等式恒成立求参数取值范围的方法(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.(2)对于二次函数的恒成立问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
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