2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第八节函数与方程课件

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知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系
方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
微点拨函数的零点是一个实数,是使函数值等于0的自变量的值,它不是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点,而是公共点的横坐标,也就是说,函数的零点不是一个点,而是一个实数.
2.函数零点的判定(函数零点存在定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间　　　　　内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　　,这个　　也就是方程f(x)=0的解. 
f(a)f(b)<0
微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在区间(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?
提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在区间(a,b)内有零点”的充分不必要条件.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
(x1,0),(x2,0)
　 求函数零点近似值的一种方法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
常用结论1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.2.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.3.连续不断的函数,其图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.4.若f(x)=g(x)-h(x),则函数f(x)零点的个数就是函数g(x),h(x)图象交点的个数.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=4-x2的两个零点是(-2,0)和(2,0).(　　)(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内一定没有零点.(　　)(3)奇函数若存在零点,则零点个数不一定为奇数.(　　)(4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点.(　　)
解析 因为函数y=ax+b的图象经过点(2,0),所以2a+b=0,即b=-2a,所以y=bx2-ax=-2ax2-ax,令-2ax2-ax=0,解得x1=0,x2=- ,所以函数y=bx2-ax的零点是0和- .
2.若函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点(2,0),则函数y=bx2-ax的零点是(　　)
3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上的零点有2 023个,则f(x)的零点的个数为(　　)A.2 023B.4 045C.4 046D.4 047
解析 因为f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上的零点有2 023个,所以f(x)在(-∞,0)上的零点也有2 023个,又因为f(0)=0,所以f(x)的零点个数为4 047,故选D.
答案 (3,4)　
例1.(2023辽宁葫芦岛一模)请估计函数 零点所在的一个区间　　　　　. 
突破技巧判断函数零点所在区间的方法(1)利用函数零点存在定理:即通过验证函数在区间端点处的函数值是否异号来判断该区间内是否存在零点.(2)数形结合法:通过画出函数的图象,观察图象与x轴公共点所在的区间进行判定.
对点训练1已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k=(　　)A.1B.2C.3D.4
解析因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且它在区间(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)至多有一个零点.又f(3)=lg 3-1<0,f(4)=lg 4+1>0,所以f(x)的零点在区间(3,4)内,故k=3.
(2)函数f(x)=|x-4|- 的零点的个数为(　　)A.0B.1C.2D.3
例2.(1)(2023广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时, ,则f(x)在[0,8]上的零点个数为(　　)A.4B.6C.8D.9
答案 (1) D　(2)D　
解析(1)∵函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),∴f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为2,当
∴当x∈[0,2)时,f(x)有两个零点,∴f(x)在[0,8)上的零点个数为2×4=8,又∵f(8)=f(0)=0,∴f(x)在[0,8]上的零点个数为9.故选D.
突破技巧函数零点个数的判断方法(1)直接法:解方程f(x)=0,解的个数即为零点的个数;(2)函数零点存在定理法:若函数在[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0,可结合函数的性质(如单调性、奇偶性等)确定零点的个数;(3)图象交点法:将函数构造为两函数的差,画出两个函数的图象,其交点的个数就是原函数零点的个数;(4)换元法:形如f(g(x))的函数,可先令g(x)=t,求得f(t)=0时t的值,再根据g(x)的图象及性质确定g(x)=t时x的值的个数,即f(g(x))的零点的个数.
对点训练2已知函数f(x)= 则函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数是　 . 
解析函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数等价于函数f(x)与y=ln(x-1)图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中,分别作出函数f(x)与y=ln(x-1)的图象,如图.
由图可知,函数f(x)与y=ln(x-1)的图象有3个交点,故函数y=f(x)-ln(x-1)的零点个数为3.
考向1.根据零点个数求参数典例突破
(2)已知函数f(x)=ln|x|-|x-1|,若函数y=f(x)-m有三个零点,则实数m的值为　　　　　. 
答案 (1)D　(2)-2　
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
所以函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,且f(-1)=-1-1=-2.作出函数f(x)的图象,如图所示.
显然,当m=-2时,直线y=m与函数f(x)的图象有三个交点,即函数y=f(x)-m有三个零点.
突破技巧已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)的常用方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题进行求解;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
对点训练3(1)已知函数f(x)= 若方程f(x)=k有且仅有两个不等实根,则实数k的取值范围是(　　)A.(1,3)B.[1,3)C.(0,3)D.(-∞,3)
f2(x)+bf(x)+c=0有6个互不相等的实数解的充要条件为　　　　　　　　　. 
答案 (1)B　(2)-2画出f(x)在(0,+∞)上的图象,利用偶函数的对称性,易得f(x)在其定义域上的图象,如图.
由图象可知,当t=0时,f(x)=t有两个解;当0考向2.根据零点范围求参数典例突破例4.已知函数f(x)=2x- -a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)
答案 C　解析 由题意得f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(1)f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0名师点析根据零点范围求参数的方法(1)直接法:直接求出函数的零点,将零点用参数表示,解关于参数的不等式即得参数的取值范围;(2)利用函数零点存在定理:分析函数的性质,利用函数零点存在定理求解;(3)数形结合法:针对两个函数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求解.
A.[-1,0)B.(-1,0]C.[0,1]D.[0,1)
考向3.研究零点的性质典例突破
突破技巧研究函数零点的性质的方法(1)数形结合是基本思路,通过函数图象,发现零点的个数、零点的取值范围以及零点之间的大小关系、等量关系等.(2)注意函数奇偶性、单调性的应用,同时注意基本不等式在求最值或取值范围中的运用.