2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第九节函数模型及其应用课件

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知识梳理1.几类常见的函数模型
微点拨对勾函数f(x)=x+ (a>0)模型
2.三种函数模型的增长特点
微点拨指对函数的增长特点“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
3.解函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=2x的函数值恒比y=x2的函数值大.(　　)(2)幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.(　　)(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题.(　　)(4)若f(x)=2x,g(x)=x2,h(x)=lg2x,则当x∈(4,+∞)时f(x)>g(x)>h(x).(　　)
2.在某次物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:
则对x,y最适合的拟合函数是(　　)A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2D.y=lg2x
答案 D　解析 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各组数据代入函数y=lg2x,可知D满足题意,故选D.
3.某同学大学毕业后回到家乡开了一家网店,专门卖当地的土特产.为了增加销量,该同学计划搞一次促销活动,一次购物总价值不低于M元,顾客就少支付20元,已知网站规定每笔订单顾客在网上支付成功后,该同学可以得到货款的85%,为了在本次促销活动中该同学从每笔订单中得到的金额均不低于促销前总价的75%,则M的最小值为(　　)A.150 B.160C.170 D.180
答案 C　解析 由题意,在本次促销活动中该同学从每笔订单中得到的金额为(M-20)·85%元,所以(M-20)·85%≥M·75%,解得M≥170,所以M的最小值为170,故选C.
典例突破例1.如图,在正方形ABCD中,AB=2,点M从点A出发,沿A→B→C→D→A方向,以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动;点N从点B出发,沿B→C→D→A→B方向,以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发,运动时间为t(单位:秒),△AMN的面积为f(t),规定A,M,N共线时其面积为零,则点M第一次到达点A时,y=f(t)的图象为(　　)
突破技巧 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法:当根据题意能够建立函数模型并得到解析式时,可先建立模型,再根据模型选择图象;(2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,可根据两个变量的变化规律与特点,分析图象的变化趋势,排除不符合题意的情况,得到正确答案.
对点训练1如图,设有圆C和定点O,当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图象大致是如图所示的四种情况中的(　　)
答案 C　解析观察可知阴影部分的面积S的变化情况为“一直增加,先慢后快,过圆心后又变慢”,由此可知选项C中图象符合要求.
例2.(2023安徽合肥二模)Malthus模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时,得到的Malthus模型是N(t)=N0e0.46t,其中N0是t=t0时刻的细菌数量,e为自然对数的底数.若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍,则t约为(　　)(ln 6.3≈1.84)A.2B.3C.4D.5
解析当N=t时,N(t)=N0e0.46t=6.3N0,即e0.46t=6.3,则0.46t=ln 6.3≈1.84,解得t≈4.故选C.
技巧点拨根据给定函数模型解决实际问题的技巧(1)认清函数模型,明确其中的变量,弄清楚哪些为待定系数.(2)根据已知条件,确定模型中的待定系数.(3)分析函数模型,借助函数的性质解决相关问题.
对点训练2(多选)(2023新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20× ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2
p1≤100p2.所以D正确.故选ACD.
考向1.构建二次函数模型典例突破例3.某公司进行技术创新,将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态的化工产品,从而实现“变废为宝、低碳排放”.经过生产实践和数据分析,在这种技术下,该公司二氧化碳月处理成本y(单位:元)与二氧化碳月处理量x(x∈[300,600],单位:吨)之间满足函数关系y= x2-300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200元.(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最低平均成本是多少?(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100元.
当且仅当x=500时,等号成立,所以当x∈[300,600]时,25 000≤U≤45 000,所以该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是45 000元,此时二氧化碳的月处理量为500吨.
突破技巧构建二次函数模型解决实际问题的注意点(1)确定二次函数模型的解析式时,一般是借助已知点来确定,常用待定系数法;(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
对点训练3食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人类健康带来一定的危害.为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足 ,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?
即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.所以当甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.
考向2.构建指对函数模型典例突破例4.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与 (p>0,k>0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
因此,凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
方法点拨 应用指对函数模型应注意的问题(1)指对函数模型的应用类型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指对函数模型来解决.(2)应用指对函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
对点训练4(2023北京密云三模)某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元,在此基础上,计划每年投入的研发资金比上一年增加10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是(　　)(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477,lg 5≈0.699,lg 11≈1.041)A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年
解析设从2021年后,第x年该公司全年投入的研发资金为y万元,则y=300×(1+10%)x,由题意得,300×(1+10%)x>600,即1.1x>2,故x>lg1.12= ≈7.3,则x≥8,故公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年.故选C.
考向3.构建分段函数模型典例突破
例5.(2023黑龙江佳木斯一中模拟)为响应国家“降碳减排”的号召,新能源汽车得到蓬勃发展,而电池是新能源汽车最核心的部件之一.某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇,决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元,每生产x台(x∈N*)需要另投入成本a(x)
析,该企业生产新能源电池设备能全部售完.
(1)求年利润y(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数关系式;(2)当年产量x为多少台时,该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大?最大利润是多少万元?
∴当年产量为49台时,该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大,最大为701万元.
突破技巧构建分段函数模型解决问题的注意点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,应构建分段函数模型求解;(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏;(3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大者(最小者).
对点训练5某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量W(x)(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系: 肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克,且销售畅通供不应求,记该水果单株利润为f(x)(单位:元).(1)写出单株利润f(x)(单位:元)关于施用肥料x(单位:千克)的关系式;(2)当施用肥料为多少千克时,该水果树单株利润最大?最大利润是多少?