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2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第二节利用导数研究函数的单调性课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第二节利用导数研究函数的单调性课件，共43页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，单调递增，单调递减，答案C，易错警示，答案D，典例突破等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.函数的单调性与其导数的关系
微思考在区间(a,b)内,“f'(x)>0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增”的充要条件吗?
提示 不是,应为充分不必要条件.当f'(x)>0时,f(x)在区间(a,b)内一定单调递增,反之不一定,如果有个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x3在定义域(-∞,+∞)上单调递增,但由f'(x)=3x2,知f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
微点拨利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)解不等式f'(x)>0得函数的单调递增区间;解不等式f'(x)<0得函数的单调递减区间.
2.导数的绝对值与函数值变化的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就比较“平缓”.常用结论1.若f(x)在区间I上单调递增(减),则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立.2.若f(x)在区间I上存在单调递增(减)区间,则f'(x)>0(f'(x)<0)在区间I上有解.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数f(x)在区间(a,b)内恒有f'(x)≤0,且f'(x)=0的根有有限个,则f(x)在区间(a,b)内单调递减.( )(2)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f(x)在(a,b)内各点处的切线的倾斜角都是锐角.( )(3)函数f(x)=sin x-x在R上单调递减.( )(4)函数f(x)在区间(a,b)内变化得越快,其导数就越大.( )
2.(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )A.e2D.e-2
3.函数f(x)= 的单调递减区间为 .
答案 (0,1)和(1,e)
典例突破例1.(1)函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间是( )
(2)函数f(x)=2cs x+sin 2x的一个单调递增区间是( )
答案 (1)C (2)B
对点训练1若曲线f(x)= 在点(1,f(1))处的切线过点(-1,0),则函数f(x)的单调递减区间为( )A.(-∞,0) B.(0,+∞)和(-1,0)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-∞,-1)和(-1,0)
例2.(2023贵州贵阳模拟)实数k>0,f(x)=ln(x+1),g(x)= .(1)若f(x-1)≤kx-1恒成立,求实数k的取值范围;(2)讨论f(x)-g(x)的单调性并写出过程.
解(1)由题意,令φ(x)=f(x-1)+1-kx=ln x+1-kx,φ(x)的定义域为(0,+∞),
∴当x∈(0,1)时,m'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,m'(x)<0,∴m(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴m(x)max=m(1)=1,∴k≥1,即实数k的取值范围为[1,+∞).
令h'(x)=0,解得x1=0,x2=k2-2k.当-10时,k>2.①当k∈(0,1)∪(1,2),x∈(-1,k2-2k)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,k2-2k)内是增函数;x∈(k2-2k,0)时,h'(x)<0,h(x)在(k2-2k,0)内是减函数;x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上是增函数;
x∈(-1,0)时,h'(x)<0,h(x)在(-1,0)内是减函数;x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上是增函数;③当k=2时,h'(x)≥0,h(x)单调递增;④当k>2,x∈(-1,0)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,0)内是增函数;x∈(0,k2-2k)时,h'(x)<0,h(x)在(0,k2-2k)内是减函数;x∈(k2-2k,+∞)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.
方法总结分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间;(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点;(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等;(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
对点训练2已知函数f(x)= +aln x,a∈R,a≠0,求函数f(x)的单调区间.
考向1.辨析图象典例突破例3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )
答案 C 解析 由图可知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0;当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合,故选C.
方法点拨利用单调性辨析函数图象的策略辨析函数与其导函数的图象关系时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.
对点训练3已知函数f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案 B 解析 由f'(x)的图象可知,当x<1或x>2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当10,函数f(x)单调递增,故选B.
考向2.比较大小与解不等式典例突破
A.a
答案 (1)C (2)C
解析 (1)构造函数f(x)=(1-x)ex,x∈(0,+∞),则f'(x)=(1-x)ex-ex=-xex<0,故f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,故f(0.1)
名师点析利用导数比较大小或解不等式的方法利用导数比较大小或解不等式,其关键是构造函数,把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性,再根据单调性比较大小和解不等式问题.比较大小时,还要注意当自变量不在同一单调区间内时,应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上,再进行比较;解不等式时,还要注意将常数巧妙地转化为函数值,再根据单调性去掉函数符号“f”.
对点训练4已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的图象经过点(6,8),且∀x∈(0,+∞),f'(x)>1,则不等式f(2x-2)<2x的解集为( )A.(-∞,3)B.(1,3)C.(1,2) D.(0,1)
答案 B 解析 设函数g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0,所以函数g(x)=f(x)-x在区间(0,+∞)上单调递增,而g(2x-2)=f(2x-2)-2x+2,g(6)=f(6)-6=8-6=2,故不等式f(2x-2)<2x可化为g(2x-2)
(2)(2023四川凉山二模)已知f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数且
A.6B.5C.4D.3
答案 (1)B (2)A
存在定理可知,f(x)在(0,1),(1,e),(e,+∞)上各有一个零点,又f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数,则函数f(x)有6个零点.故选A.
方法总结根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法
对点训练5(1)(2023四川资阳三模)已知函数f(x)= 关于x的方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0恰有4个解,则m的取值范围是( )A.(0,1)∪(2,4)B.(0,1)∪(1,3)C.[0,1]∪(2,4)D.[0,3](2)(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
解析(1)当x≤0时,f'(x)=3x2-3,由f'(x)>0,得x<-1,由f'(x)<0,得-1
知识梳理1.函数的单调性与其导数的关系
微思考在区间(a,b)内,“f'(x)>0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增”的充要条件吗?
提示 不是,应为充分不必要条件.当f'(x)>0时,f(x)在区间(a,b)内一定单调递增,反之不一定,如果有个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)=x3在定义域(-∞,+∞)上单调递增,但由f'(x)=3x2,知f'(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
微点拨利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)解不等式f'(x)>0得函数的单调递增区间;解不等式f'(x)<0得函数的单调递减区间.
2.导数的绝对值与函数值变化的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就比较“平缓”.常用结论1.若f(x)在区间I上单调递增(减),则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立.2.若f(x)在区间I上存在单调递增(减)区间,则f'(x)>0(f'(x)<0)在区间I上有解.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数f(x)在区间(a,b)内恒有f'(x)≤0,且f'(x)=0的根有有限个,则f(x)在区间(a,b)内单调递减.( )(2)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则f(x)在(a,b)内各点处的切线的倾斜角都是锐角.( )(3)函数f(x)=sin x-x在R上单调递减.( )(4)函数f(x)在区间(a,b)内变化得越快,其导数就越大.( )
2.(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )A.e2D.e-2
3.函数f(x)= 的单调递减区间为 .
答案 (0,1)和(1,e)
典例突破例1.(1)函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间是( )
(2)函数f(x)=2cs x+sin 2x的一个单调递增区间是( )
答案 (1)C (2)B
对点训练1若曲线f(x)= 在点(1,f(1))处的切线过点(-1,0),则函数f(x)的单调递减区间为( )A.(-∞,0) B.(0,+∞)和(-1,0)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-∞,-1)和(-1,0)
例2.(2023贵州贵阳模拟)实数k>0,f(x)=ln(x+1),g(x)= .(1)若f(x-1)≤kx-1恒成立,求实数k的取值范围;(2)讨论f(x)-g(x)的单调性并写出过程.
解(1)由题意,令φ(x)=f(x-1)+1-kx=ln x+1-kx,φ(x)的定义域为(0,+∞),
∴当x∈(0,1)时,m'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,m'(x)<0,∴m(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴m(x)max=m(1)=1,∴k≥1,即实数k的取值范围为[1,+∞).
令h'(x)=0,解得x1=0,x2=k2-2k.当-1
x∈(-1,0)时,h'(x)<0,h(x)在(-1,0)内是减函数;x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(0,+∞)上是增函数;③当k=2时,h'(x)≥0,h(x)单调递增;④当k>2,x∈(-1,0)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,0)内是增函数;x∈(0,k2-2k)时,h'(x)<0,h(x)在(0,k2-2k)内是减函数;x∈(k2-2k,+∞)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.
方法总结分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间;(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点;(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等;(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述.
对点训练2已知函数f(x)= +aln x,a∈R,a≠0,求函数f(x)的单调区间.
考向1.辨析图象典例突破例3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )
答案 C 解析 由图可知函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf'(x),当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)>0;当x∈(-1,0)时,xf'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,xf'(x)>0,且当x=-1时,xf'(x)=0,当x=0时,xf'(x)=0,显然选项C符合,故选C.
方法点拨利用单调性辨析函数图象的策略辨析函数与其导函数的图象关系时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.
对点训练3已知函数f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案 B 解析 由f'(x)的图象可知,当x<1或x>2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当1
考向2.比较大小与解不等式典例突破
A.a
答案 (1)C (2)C
解析 (1)构造函数f(x)=(1-x)ex,x∈(0,+∞),则f'(x)=(1-x)ex-ex=-xex<0,故f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,故f(0.1)
名师点析利用导数比较大小或解不等式的方法利用导数比较大小或解不等式,其关键是构造函数,把比较大小和解不等式问题转化为先利用导数判断函数单调性,再根据单调性比较大小和解不等式问题.比较大小时,还要注意当自变量不在同一单调区间内时,应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上,再进行比较;解不等式时,还要注意将常数巧妙地转化为函数值,再根据单调性去掉函数符号“f”.
对点训练4已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的图象经过点(6,8),且∀x∈(0,+∞),f'(x)>1,则不等式f(2x-2)<2x的解集为( )A.(-∞,3)B.(1,3)C.(1,2) D.(0,1)
答案 B 解析 设函数g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0,所以函数g(x)=f(x)-x在区间(0,+∞)上单调递增,而g(2x-2)=f(2x-2)-2x+2,g(6)=f(6)-6=8-6=2,故不等式f(2x-2)<2x可化为g(2x-2)
(2)(2023四川凉山二模)已知f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数且
A.6B.5C.4D.3
答案 (1)B (2)A
存在定理可知,f(x)在(0,1),(1,e),(e,+∞)上各有一个零点,又f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数,则函数f(x)有6个零点.故选A.
方法总结根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法
对点训练5(1)(2023四川资阳三模)已知函数f(x)= 关于x的方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0恰有4个解,则m的取值范围是( )A.(0,1)∪(2,4)B.(0,1)∪(1,3)C.[0,1]∪(2,4)D.[0,3](2)(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
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