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2025届高考数学一轮总复习第七章平面向量复数第二节平面向量基本定理及向量坐标运算课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第七章平面向量复数第二节平面向量基本定理及向量坐标运算课件，共41页。PPT课件主要包含了强基础增分策略，不共线，λ1e1+λ2e2，互相垂直，答案A，答案ACD，增素能精准突破，答案12，答案4，答案C等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= .若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 .把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量作正交分解.
微点拨1.组成基底的e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.2.基底给定,同一向量的分解形式唯一.
3.对于一个基底{e1,e2},若a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则
4.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.
微思考平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?
提示 不一定.两个向量只有不共线才能组成一个基底表示平面内的任一向量.
2.平面向量的坐标运算
已知A(x1,y1),B(x2,y2) ,则 =(x2-x1,y2-y1).
微点拨1.向量坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键.2.要区分点的坐标与向量坐标,尽管在形式上它们类似,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息,也有大小的信息.
3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ .
微点拨若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成 .因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.
x1y2-x2y1=0
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )(4)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
2.若a=(2,1),b=(-1,1),(2a+b)∥(a+mb),则m的值为( )
解析由题意,向量a=(2,1),b=(-1,1),可得2a+b=(3,3),a+mb=(2-m,1+m),因为(2a+b)∥(a+mb),可得3×(1+m)=3×(2-m),解得m= .
3.(多选)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,则以下a,b可组成该平面内一个基底的是( )A.a=e1+e2,b=e1
C.a=e1+e2,b=e1-e2D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2
解析 对于A,a不能用b表示,故a,b不共线,故符合;对于B,b= a,所以a,b共线,故不符合;对于C,a不能用b表示,故a,b不共线,故符合;对于D,a不能用b表示,故a,b不共线,故符合.故选ACD.
考向1.用已知基底表示向量典例突破
名师点析应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
考向2.解析法(坐标法)在向量中的应用典例突破
解析建立直角坐标系如图所示,
方法总结应用平面向量基本定理的两种方法
解析以O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,则
考向3.利用平面向量基本定理求参数的值(或取值范围)典例突破
A.-2B.-1C.1D.2
方法总结利用平面向量基本定理求参数值的基本思路利用定理的唯一性,对某一向量用基底表示两次,然后利用系数对应相等列方程(组)求解,即对于基底{e1,e2},若a=xe1+ye2,且a=me1+ne2(x,y,m,n∈R),则
即λ+μ=t∈(0,1].
综上,λ+μ的取值范围是[0,1].
(1)3a+b-3c;(2)满足a=mb+nc的实数m,n;
解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)(方法1)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
突破技巧平面向量坐标运算的技巧利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
A.(-3,-3)B.(7,9)C.(3,3) D.(-6,-10)
答案 (1)C (2)
(2)(2023甘肃高考诊断一)已知向量a=( m,2),b=(2,3m),若a与b共线且方向相反,则|2a+b|= .
考向1.利用向量共线求向量或点的坐标典例突破例5.已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为 .
答案 (3,3)
方法总结一般地,在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R).
对点训练5已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
答案 (2,4)
考向2.利用向量共线求参数典例突破
A.-3B.-2C.2D.3
(2)(2023广东茂名二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,λ),若a+2b与2a-b平行,则实数λ的值为( )
答案 (1)A (2) D
故m+n的最大值为-3,故选A.
(2)∵a=(-1,2),b=(3,λ),∴a+2b=(5,2+2λ),2a-b=(-5,4-λ).又a+2b与2a-b平行,∴5(4-λ)=-5(2+2λ),解得λ=-6.故选D.
方法总结利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
知识梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= .若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 .把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量作正交分解.
微点拨1.组成基底的e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底.2.基底给定,同一向量的分解形式唯一.
3.对于一个基底{e1,e2},若a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则
4.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.
微思考平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?
提示 不一定.两个向量只有不共线才能组成一个基底表示平面内的任一向量.
2.平面向量的坐标运算
已知A(x1,y1),B(x2,y2) ,则 =(x2-x1,y2-y1).
微点拨1.向量坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键.2.要区分点的坐标与向量坐标,尽管在形式上它们类似,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息,也有大小的信息.
3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ .
微点拨若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件不能表示成 .因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.
x1y2-x2y1=0
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )(4)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
2.若a=(2,1),b=(-1,1),(2a+b)∥(a+mb),则m的值为( )
解析由题意,向量a=(2,1),b=(-1,1),可得2a+b=(3,3),a+mb=(2-m,1+m),因为(2a+b)∥(a+mb),可得3×(1+m)=3×(2-m),解得m= .
3.(多选)设e1,e2是平面内两个不共线的向量,则以下a,b可组成该平面内一个基底的是( )A.a=e1+e2,b=e1
C.a=e1+e2,b=e1-e2D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2
解析 对于A,a不能用b表示,故a,b不共线,故符合;对于B,b= a,所以a,b共线,故不符合;对于C,a不能用b表示,故a,b不共线,故符合;对于D,a不能用b表示,故a,b不共线,故符合.故选ACD.
考向1.用已知基底表示向量典例突破
名师点析应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
考向2.解析法(坐标法)在向量中的应用典例突破
解析建立直角坐标系如图所示,
方法总结应用平面向量基本定理的两种方法
解析以O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示,则
考向3.利用平面向量基本定理求参数的值(或取值范围)典例突破
A.-2B.-1C.1D.2
方法总结利用平面向量基本定理求参数值的基本思路利用定理的唯一性,对某一向量用基底表示两次,然后利用系数对应相等列方程(组)求解,即对于基底{e1,e2},若a=xe1+ye2,且a=me1+ne2(x,y,m,n∈R),则
即λ+μ=t∈(0,1].
综上,λ+μ的取值范围是[0,1].
(1)3a+b-3c;(2)满足a=mb+nc的实数m,n;
解由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)(方法1)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
突破技巧平面向量坐标运算的技巧利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.
A.(-3,-3)B.(7,9)C.(3,3) D.(-6,-10)
答案 (1)C (2)
(2)(2023甘肃高考诊断一)已知向量a=( m,2),b=(2,3m),若a与b共线且方向相反,则|2a+b|= .
考向1.利用向量共线求向量或点的坐标典例突破例5.已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为 .
答案 (3,3)
方法总结一般地,在求与一个已知向量a(a≠0)共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R).
对点训练5已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
答案 (2,4)
考向2.利用向量共线求参数典例突破
A.-3B.-2C.2D.3
(2)(2023广东茂名二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,λ),若a+2b与2a-b平行,则实数λ的值为( )
答案 (1)A (2) D
故m+n的最大值为-3,故选A.
(2)∵a=(-1,2),b=(3,λ),∴a+2b=(5,2+2λ),2a-b=(-5,4-λ).又a+2b与2a-b平行,∴5(4-λ)=-5(2+2λ),解得λ=-6.故选D.
方法总结利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
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