2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第二节两条直线的位置关系课件

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知识梳理1.两条直线的平行与垂直
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2
k1=k2,且b1≠b2
A1B2-A2B1=0
A1A2+B1B2=0
直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组 的解.相交⇔方程组有　　　　　　; 平行⇔方程组　　　　; 重合⇔方程组有　　　　　　　　. 
微点拨虽然利用方程组解的情况可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用.
此公式与两点的先后顺序无关
可以转化为点到直线的距离
微点拨应用点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式时应注意:(1)将方程化为最简的一般形式;(2)利用两平行直线之间的距离公式时,应使两直线方程中x,y的系数分别对应相等.
微思考点P(x1,y1),Q(x2,y2)关于直线y=kx+b(k≠0)对称,列出P,Q坐标的关系式.
常用结论1.两种求直线方程的设法(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0.(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线可设为Ax+By+n=0.
2.六种常见的对称点(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
3.三种直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(n∈R).
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.(　　)(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(　　)(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(　　)
2.平行直线3x+4y-9=0和6x+8y+2=0之间的距离是(　　)
解析 因为直线6x+8y+2=0可化为3x+4y+1=0,所以两条平行直线之间的距离为 =2.故选B.
3.若直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,垂足为(1,b),则a-b+c=(　　)A.-6B.4C.-10D.-4
解析 因为直线ax-4y+2=0与直线2x+5y+c=0垂直,则2a-20=0,可得a=10.因为垂足为(1,b),则10-4b+2=0,解得b=3,且有2+5×3+c=0,解得c=-17,因此a-b+c=-10.
考向1.判断两直线的位置关系典例突破
例1.已知条件p:直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0平行, 条件q:a=1,则p是q的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
名师点析解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的充要条件.
当a=1时,直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0重合.所以p是q的既不充分也不必要条件.
对点训练1直线l1:ax+y-1=0,l2:(a-1)x-2y+1=0,则“a=2”是“l1⊥l2”的(　　)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B　解析 l1⊥l2的充要条件是a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1,所以“a=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选B.
考向2.由两直线的位置关系求参数典例突破例2.已知两条直线l1:(3+t)x+4y=5-3t,l2:2x+(5+t)y=8,l1∥l2,则t=(　　)A.-1或-7B.-1C.-7
名师点析解决两直线平行或垂直求参数的问题时要“前思后想”
对点训练2已知直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:2x+ay+1=0,若l1⊥l2,则a=(　　)A.0B.2 C.±2D.4
考向3.由两直线的位置关系求直线方程典例突破例3.过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为　 . 
答案 4x-3y+9=0
故所求直线的方程为4x-3y+9=0.(方法3)由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2,所以所求直线的方程为4x-3y+9=0.
方法总结求过两直线交点的直线方程的两种方法
对点训练3过x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线方程为(　　)A.3x-2y-1=0B.3x+2y-5=0C.2x-3y+1=0D.2x-3y-1=0
典例突破例4.(1)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是 ,则m+n=(　　)A.0B.1C.-2D.-1(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则实数a的取值范围为　　　　　. 
答案 (1)A　(2)[0,10]　
名师点析利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|; (2)利用两平行线间的距离公式时要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.
对点训练4(1)若直线x-y-m=0与直线mx+y-4=0平行,则它们之间的距离为(　　)
(2)设m∈R,已知直线l1:(m+2)x+2my+2-m=0,过点(2,3)作直线l2,且l1∥l2,则直线l1与l2之间距离的最大值是　　　　　. 
考向1.中心对称问题典例突破例5.过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为　　　　　. 
答案 x+4y-4=0　解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a).由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.因为点A(4,0),P(0,1)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
方法总结两类中心对称问题
(1)点关于点对称:点P(x,y)关于M(a,b)的对称点P'(x',y')满足
(2)直线关于点对称的两种方法
对点训练5若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点(　　)A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)
答案 B　解析 直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又因为直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).故选B.
考向2.点关于直线对称典例突破
例6.(2023河北统考模拟)已知直线l:x-y+5=0和M(1,0),N(7,9)两点,若直线l上存在一点Q使得|QM|+|QN|的值最小,则点Q的坐标为　　　　　　. 
解析 设点N(7,9)关于l:x-y+5=0的对称点为N'(a,b),
即N'坐标为(4,12).
根据对称性可知,|QM|+|QN|=|QM|+|QN'|≥|MN'|,当点M,Q,N'三点共线时,等号成立,
方法总结若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)对称,
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.
对点训练6(2023上海徐汇一模)已知正实数a,b满足3a+2b=6,则
解析 设直线3x+2y=6,点P(a,b)在直线3x+2y=6上,且在第一象限,
如图所示,点A关于直线3x+2y=6的对称点设为B(m,n),
考向3.直线关于直线对称典例突破例7.直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　)A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0
解析 设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于直线x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0),
因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故所求直线方程为x-2y+3=0.故选A.
方法总结直线关于直线对称的两种求解方法