2025届高考数学一轮总复习第九章平面解析几何高考解答题专项五第三课时证明与探究问题课件

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考向1.利用直接法证明圆锥曲线中的问题
(1)求椭圆C的方程和离心率;(2)设P,Q为椭圆C上不同的两个点,直线AP与y轴交于点E,直线AQ与y轴交于点F,若点M(1,0)满足MF⊥ME,求证:P,O,Q三点共线.
(2)证明 (方法1)设点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1≠±2,x2≠±2),
当n=2k时,直线PQ的方程y=k(x+2)过A(-2,0),不合题意.故n=0,所以P,O,Q三点共线.综上,P,O,Q三点共线.
要证P,O,Q三点共线,由椭圆的对称性,只需证Q(-x0,-y0)在直线AF上.
所以Q(-x0,-y0)在直线AF上,所以P,O,Q三点共线.
(方法3)由题意得A(-2,0),不妨令点E在x轴上方,因为MF⊥ME,所以△EMF为直角三角形,由射影定理得|OE|·|OF|=|OM|2=1.
故x1+x2=0,y1+y2=0,所以P,Q关于原点对称,即P,O,Q三点共线.
名师点析对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质或基本不等式求得最值.
对点训练1已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为9,
(1)求抛物线C的方程.(2)经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,E为直线x=-1上任意一点,证明:直线EA,EF,EB的斜率成等差数列.
考向2.利用转化法证明圆锥曲线中的问题
例2.(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点( )的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于 .
(2)证明 (方法1)设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示,设直线AB的斜率为k(k>0).不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧.
成立,此时矩形ABCD为正方形.(用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题)
(方法2)不妨设A,B,C三点在W上,且AB⊥BC.
名师点析利用转化法证明圆锥曲线问题的三种策略
对点训练2在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过定点F(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆的圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设M为直线l:x=-1上任意一点,过点M作曲线C的切线,切点为N,证明:MF⊥NF.
考向1.利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题例3.已知抛物线H:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线H上的一点M的横坐标为
(1)求抛物线H的方程;(2)若一直线经过抛物线H的焦点F,与抛物线H交于A,B两点,点C为直线x=-1上的动点.
②是否存在这样的点C,使得△ABC为正三角形?若存在,求点C的坐标;若不存在,说明理由.
(1)解 因为抛物线H的方程为y2=2px,M在抛物线H上,且横坐标为5,
Δ=(-4m)2-4×(-4)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=4m2+2,x1x2=1.
名师点析利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题的流程
(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知椭圆E的上顶点为A,圆M:(x-1)2+y2=r2(r>0),椭圆E上是否存在两点B,C使得圆M内切于△ABC?若存在,求出直线BC的方程;若不存在,请说明理由.
(2)由(1)可知椭圆的上顶点为A(0,1),假设符合条件的两点B,C存在,设B(x1,y1),C(x2,y2),
因为y1≠1,两边同时除以1-y1,得(1-r2)×4×(1+y1)+(1-r2)(1-y1)-2x1=0,整理得-2x1+3(1-r2)y1+5(1-r2)=0,即点B在直线-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0上.同理,由直线AC与圆M相切,得出点C也在直线-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0上.因此直线BC的方程为-2x+3(1-r2)y+5(1-r2)=0.
考向2.利用探究转化法解答圆锥曲线中的探究问题
(2)存在.理由如下.假设存在这样的直线,由题可知直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+m.
名师点析转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体、易求.对于范围及最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.
得(m2-4)y2+2my-3=0.
∵m2-4≠0,Δ=4m2+12(m2-4)>0,∴m2>3且m2≠4.设M(x1,y1),N(x2,y2),