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2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件与概率课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件与概率课件，共54页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，频率fnA，有限个，3由所给数据得，典例突破等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.事件的分类
2.频率与概率一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用 来估计概率 .
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小
微点拨理解频数与频率需注意:①前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.②频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比
微思考随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系?
提示 随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.
3.事件的关系与运算
微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生, A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
微思考随机事件A,B互斥与对立有何区别与联系?
提示 当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥,即两事件互斥是对立的必要不充分条件.
4.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有 ; ②等可能性:每个样本点发生的可能性 .
判断一个试验是否是古典概型的关键点
(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= .其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
微思考试验:“种下一粒种子,观察它是否发芽”是古典概型吗?
提示 不是.“发芽”与“不发芽”出现的可能性不相等.
常用结论概率的几个基本性质性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.( )(3)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.( )
2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为( )C.0.7
答案 B 解析 由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为P=1-0.3-0.32=0.38.故选B.
3.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
解析 设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.
考向1.随机事件之间关系的判断典例突破
例1.(1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件
(2)(多选)(2023广东德琳学校月考)从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球,则( )A.“都是红球”与“都是白球”是互斥事件B.“至少有1个红球”与“都是白球”是对立事件C.“恰有1个白球”与“恰有1个红球”是互斥事件D.“至少有1个红球”与“至少有1个白球”是互斥事件
答案 (1)D (2)AB
解析 (1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.
(2)“都是红球”与“都是白球”不能同时发生,是互斥事件,A正确;“至少有1个红球”与“都是白球”不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,B正确;“恰有1个白球”与“恰有1个红球”能够同时发生(如1红1白),不是互斥事件,C错误;“至少有1个红球”与“至少有1个白球”能够同时发生(如1红1白),不是互斥事件,D错误.故选AB.
方法总结判断互斥事件、对立事件的两种方法
对点训练1 (1)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有( )A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球
(2)(多选)(2023江苏盱眙中学模拟)下列结论正确的是( )A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥C.若事件A与B对立,则P(A∪B)=1D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥
答案 (1)BD (2)ABC
解析 (1)口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则样本空间Ω={(红,红),(绿,绿),(蓝,蓝),(红,蓝),(红,绿),(蓝,绿)},共6种情况.则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有2个小球恰有1个红球和2个小球都为绿球,故B,D正确;而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件,故A错误;2个小球至少有1个红球包括2个红色、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色,故C错误.故选BD.
(2)若A,B互为对立事件,P(A)=1,则A为必然事件,故B为不可能事件,则P(B)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,即A,B,C不能同时发生,则A与B∪C也不可能同时发生,故B正确;若事件A与B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故C正确;若事件A与B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,例如:从装有2个红球和2个白球的袋子中任取两个球,记事件A:一个红色,一个白色;事件B:两个都是红色;事件C:两个都是白色,显然事件A与B互斥
考向2.随机事件的频率与概率典例突破例2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
方法总结计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤
对点训练2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为 =0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
考向3.互斥事件与对立事件的概率典例突破例3.经统计,在某银行一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
方法总结求复杂互斥事件概率的两种方法
对点训练3(1)人类通常有O,A,B,AB四种血型,某一血型的人能给哪些血型的人输血,是有严格规定的,输血法则可归结为4条:①X→X;②O→X;X→AB;④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O,A,B,AB中某种血型,箭头左边表示供血者,右边表示受血者).已知我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上,按照规则,若受血者为A型血,则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为( )
(2)(2023福建厦门二模)厦门山海健康步道全长约23千米,起于邮轮码头,终于观音山梦幻沙滩,沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”.市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率为( )
解析 (1)当受血者为A型血时,供血者可以为A型或O型,即B,AB两种血型不能为供血者,我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为P=24%+7%=31%=0.31.故选B.
(2)从11个景点随机选取相邻的3个游览,共有9种情况,选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的,共有4种情况,则其概率P= ,从11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率P=1- .故选C.
例4.(1)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )
(2)(2023全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
答案 (1)D (2) D
(2)由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率P= .
方法总结古典概型中样本点个数的探求方法
对点训练4(1)(2023全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
(2)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为 .
解析(1)甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同
典例突破例5.某市围绕“贯彻新发展理念,建设节水型城市”这一主题,开展了形式多样、内容丰富的活动,进一步增强全民保护水资源,防治水污染,节约用水的意识.为了解活动开展成效,某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况,随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分,将得到的分数分成6组:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计这300名业主评分的中位数;(2)若先用分层随机抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人,然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈,求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率.
解(1)由题意得,(0.025+0.035+a+0.050+0.030+0.020)×5=1,解得a=0.040.又第一组的频率为0.025×5=0.125,第二组的频率为0.035×5=0.175,第三组的频率为0.200,前三组的频率之和为0.125+0.175+0.200=0.500,故这300名业主评分的中位数为85.(2)由频率分布直方图,知评分在[90,95)的人数与评分在[95,100]的人数的比值为3∶2,采用分层随机抽样法抽取5人,评分在[90,95)的有3人,评分在[95,100]的有2人.设评分在[90,95)的3人分别为A1,A2,A3,评分在[95,100]的2人分别为B1,B2,
则从5人中任选2人的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10种.其中选取的2人中至少有1人的评分在[95,100]的样本空间Ω1={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共7种.
名师点析有关古典概型与统计综合的题型,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,此类问题即可解决.
对点训练5(2023陕西汉中二模)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心,据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值和这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表);(2)现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查,求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.
知识梳理1.事件的分类
2.频率与概率一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用 来估计概率 .
从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小
微点拨理解频数与频率需注意:①前提:对于给定的随机事件A,在相同的条件S下重复n次试验,观察事件A是否出现.②频数:指的是n次试验中事件A出现的次数nA.频率:指的是事件A出现的比
微思考随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系?
提示 随机事件A发生的频率是随机的,而概率是客观存在的确定的常数,但在大量随机试验中,事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近.
3.事件的关系与运算
微点拨定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生, A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.
微思考随机事件A,B互斥与对立有何区别与联系?
提示 当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥,即两事件互斥是对立的必要不充分条件.
4.古典概型(1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.①有限性:样本空间的样本点只有 ; ②等可能性:每个样本点发生的可能性 .
判断一个试验是否是古典概型的关键点
(2)古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= .其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
微思考试验:“种下一粒种子,观察它是否发芽”是古典概型吗?
提示 不是.“发芽”与“不发芽”出现的可能性不相等.
常用结论概率的几个基本性质性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生.( )(3)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.( )
2.从一批羽毛球中任取一个,其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为( )C.0.7
答案 B 解析 由互斥事件的概率计算公式可得质量在[4.8,4.85)(单位:克)范围内的概率为P=1-0.3-0.32=0.38.故选B.
3.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
解析 设除甲、乙外,其余三名同学为A,B,C.从甲、乙等5名同学中随机选3名,则所有的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10个.甲、乙都入选的可能结果为(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3个.
考向1.随机事件之间关系的判断典例突破
例1.(1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件
(2)(多选)(2023广东德琳学校月考)从装有2个白球和3个红球的袋子中任取2个球,则( )A.“都是红球”与“都是白球”是互斥事件B.“至少有1个红球”与“都是白球”是对立事件C.“恰有1个白球”与“恰有1个红球”是互斥事件D.“至少有1个红球”与“至少有1个白球”是互斥事件
答案 (1)D (2)AB
解析 (1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.
(2)“都是红球”与“都是白球”不能同时发生,是互斥事件,A正确;“至少有1个红球”与“都是白球”不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,B正确;“恰有1个白球”与“恰有1个红球”能够同时发生(如1红1白),不是互斥事件,C错误;“至少有1个红球”与“至少有1个白球”能够同时发生(如1红1白),不是互斥事件,D错误.故选AB.
方法总结判断互斥事件、对立事件的两种方法
对点训练1 (1)(多选)一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有( )A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球
(2)(多选)(2023江苏盱眙中学模拟)下列结论正确的是( )A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥C.若事件A与B对立,则P(A∪B)=1D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥
答案 (1)BD (2)ABC
解析 (1)口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个,一次任意取出2个小球,则样本空间Ω={(红,红),(绿,绿),(蓝,蓝),(红,蓝),(红,绿),(蓝,绿)},共6种情况.则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有2个小球恰有1个红球和2个小球都为绿球,故B,D正确;而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件,故A错误;2个小球至少有1个红球包括2个红色、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色,故C错误.故选BD.
(2)若A,B互为对立事件,P(A)=1,则A为必然事件,故B为不可能事件,则P(B)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,即A,B,C不能同时发生,则A与B∪C也不可能同时发生,故B正确;若事件A与B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故C正确;若事件A与B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,例如:从装有2个红球和2个白球的袋子中任取两个球,记事件A:一个红色,一个白色;事件B:两个都是红色;事件C:两个都是白色,显然事件A与B互斥
考向2.随机事件的频率与概率典例突破例2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a(元).因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
方法总结计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤
对点训练2某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为 =0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
考向3.互斥事件与对立事件的概率典例突破例3.经统计,在某银行一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?
解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
方法总结求复杂互斥事件概率的两种方法
对点训练3(1)人类通常有O,A,B,AB四种血型,某一血型的人能给哪些血型的人输血,是有严格规定的,输血法则可归结为4条:①X→X;②O→X;X→AB;④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(其中X代表O,A,B,AB中某种血型,箭头左边表示供血者,右边表示受血者).已知我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上,按照规则,若受血者为A型血,则一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为( )
(2)(2023福建厦门二模)厦门山海健康步道全长约23千米,起于邮轮码头,终于观音山梦幻沙滩,沿线串联筼筜湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”.市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率为( )
解析 (1)当受血者为A型血时,供血者可以为A型或O型,即B,AB两种血型不能为供血者,我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,所以一位供血者不能为这位受血者正确输血的概率为P=24%+7%=31%=0.31.故选B.
(2)从11个景点随机选取相邻的3个游览,共有9种情况,选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的,共有4种情况,则其概率P= ,从11个景点中随机选取相邻的3个游览,则选取的景点中有“水”的概率P=1- .故选C.
例4.(1)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为( )
(2)(2023全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
答案 (1)D (2) D
(2)由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率P= .
方法总结古典概型中样本点个数的探求方法
对点训练4(1)(2023全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
(2)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为 .
解析(1)甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同
典例突破例5.某市围绕“贯彻新发展理念,建设节水型城市”这一主题,开展了形式多样、内容丰富的活动,进一步增强全民保护水资源,防治水污染,节约用水的意识.为了解活动开展成效,某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况,随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分,将得到的分数分成6组:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计这300名业主评分的中位数;(2)若先用分层随机抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人,然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈,求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率.
解(1)由题意得,(0.025+0.035+a+0.050+0.030+0.020)×5=1,解得a=0.040.又第一组的频率为0.025×5=0.125,第二组的频率为0.035×5=0.175,第三组的频率为0.200,前三组的频率之和为0.125+0.175+0.200=0.500,故这300名业主评分的中位数为85.(2)由频率分布直方图,知评分在[90,95)的人数与评分在[95,100]的人数的比值为3∶2,采用分层随机抽样法抽取5人,评分在[90,95)的有3人,评分在[95,100]的有2人.设评分在[90,95)的3人分别为A1,A2,A3,评分在[95,100]的2人分别为B1,B2,
则从5人中任选2人的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10种.其中选取的2人中至少有1人的评分在[95,100]的样本空间Ω1={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共7种.
名师点析有关古典概型与统计综合的题型,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,此类问题即可解决.
对点训练5(2023陕西汉中二模)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心,据此,某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况,调查数据表明,参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位:岁)分组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值和这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表);(2)现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查,求抽取的2人中至少有1人的年龄在第1组中的概率.
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