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2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布高考解答题专项六课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布高考解答题专项六课件，共46页。
考情分析从近两年的新高考试题来看,概率与统计是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.考查了排列组合、随机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列与均值.着重考查数据分析和数学运算核心素养.
例1.(2023新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解(1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,
由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.
故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.
名师点析频率分布直方图、频率分布表等是考查数据收集和整理的常用依据,掌握图中常见数据的提取方法,将频率看作概率是解决这类问题的关键.
对点训练1在一次联考中某两校共有3 000名学生参加,成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求在本次考试中成绩处于[110,130)内的学生人数;(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况.现从全省考生中随机选取3人,记成绩在110分(包含110)以上的考生人数为X,求X的分布列和均值.
解(1)由题知,成绩处于[110,130)的频率为0.01×20=0.2,故成绩处于[110,130)的人数为3 000×0.2=600.(2)由频率分布直方图可知,成绩在110分及以上的考生概率为
例2.(2023山东潍坊三模)某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品,统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1),
产品的性能指数在[50,70)的适合儿童使用(简称:A类产品),在[70,90)的适合少年使用(简称:B类产品),在[90,110]的适合青年使用(简称:C类产品),A,B,C三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5(单位:元).以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.(1)该公司为了解年营销费用x(单位:万元)对年销售量y(单位:万件)的影响,对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5)的数据做了初步处理,得到散点图(如图2)及一些统计量的值(如下表).
根据散点图判断,y=a·xb可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程,求y关于x的回归方程;(取e4.159≈64)(2)求每件产品的平均销售利润,并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费,才能使得该产品一年的收益达到最大?(收益=销售利润-营销费用)
解 (1)由y=a·xb得,ln y=ln(a·xb)=ln a+bln x.令u=ln x,v=ln y,c=ln a,则v=c+bu.
(2)由题意及(1),设每件产品的销售利润为X元,则X的可能取值为1.5,3.5,5.5,由频率分布直方图可得,A,B,C三类产品的频率分别为0.15,0.45,0.4,P(X=1.5)=(0.004+0.011)×10=0.15,P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,所以随机变量X的分布列为
E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,故每件产品的平均销售利润为4元.
则f'(t)=256-4t3=4(64-t3).当t∈(0,4)时,f'(t)>0,f(t)在(0,4)内单调递增,当t∈(4,+∞)时,f'(t)<0,f(t)在(4,+∞)内单调递减,当t=4,即x=256时,z有最大值,为768.估计当该公司一年投入256万元营销费时,能使得该产品年收益达到最大,最大值为768万元.
名师点析概率与经验回归方程的综合常涉及相互独立事件的概率、二项分布、超几何分布及经验回归方程等知识,考查学生的阅读能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.
对点训练2某品牌汽车4S店对2023年该市前几个月的汽车成交量(单位:辆)进行统计,用y表示2023年x月份该店汽车成交量,得到统计表格如下:
例3.(2023全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和均值;(2)试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.225.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.835.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
②根据①中的列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有无差异.
(2)①m=23.4.列联表如下:
②零假设为H0:小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量没有差异.由列联表中的数据,可得χ2= =6.4>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
名师点析概率与独立性检验的综合应用也常涉及频率与概率、古典概型、相互独立事件的概率、二项分布、超几何分布、独立性检验等知识,考查了信息提取与数据处理能力.
对点训练3语音正成为手机一族重要的联系方式,为了解某市语音的使用情况,某公司随机抽查了100名语音用户,得到如下数据:
(1)如果认为每天使用超过3次语音的用户是“喜欢使用语音”,完成下面2×2列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析“喜欢使用语音”与年龄是否有关联.
(2)每天使用6次及以上语音的人称为“语音达人”,视频率为概率,在该市所有“语音达人”中随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户,既有30岁及以下的“语音达人”又有30岁以上“语音达人”的概率;②为鼓励30岁以上用户使用语音,对抽取的30岁以上“语音达人”,每人奖励100元话费,记奖励总金额为X,求X的均值.
解 (1)由题中表格数据可得2×2列联表如下:
零假设为H0:“喜欢使用语音”与年龄无关联.将列表中的数据代入公式计算得
根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即“喜欢使用语音”与年龄无关.
例4.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生的跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(2)若该校高二年级共有2 000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:①估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);②若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列、均值与方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)设“两人得分之和小于35分”为事件A,则事件A包括以下四种情况:①两人得分均为16分;②两人中一人16分,一人17分;③两人中一人16分,一人18分;④两人均17分.由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,则由古典概型的概率计算公式可得
名师点析正态分布与概率统计的综合,考查了学生的阅读能力、数据处理能力及应用意识,解读这类问题的关键是培养敢于克服困难完成读题、建模的能力.
对点训练4某公司拟对某手机芯片进行科技升级,根据市场调研与模拟,得到科技升级投入x(单位:亿元)与科技升级直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下:
(1)根据下列表格中的数据,比较当0
(3)科技升级后,该芯片的效率X大幅提高,经实际试验得X大致服从正态分布N(0.52,0.012).公司对科技升级团队的奖励方案如下:若芯片的效率不超过50%,不予奖励;若芯片的效率不低于50%,但不超过53%,每部芯片奖励2元;若芯片的效率不低于53%,每部芯片奖励4元.记Y为每部芯片获得的奖励,求E(Y)(精确到0.01).(附:若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93(亿元).
考情分析从近两年的新高考试题来看,概率与统计是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.考查了排列组合、随机事件的概率、相互独立事件、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列与均值.着重考查数据分析和数学运算核心素养.
例1.(2023新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解(1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,
由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.
故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.
名师点析频率分布直方图、频率分布表等是考查数据收集和整理的常用依据,掌握图中常见数据的提取方法,将频率看作概率是解决这类问题的关键.
对点训练1在一次联考中某两校共有3 000名学生参加,成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求在本次考试中成绩处于[110,130)内的学生人数;(2)以两校这次考试成绩估计全省考生的成绩情况.现从全省考生中随机选取3人,记成绩在110分(包含110)以上的考生人数为X,求X的分布列和均值.
解(1)由题知,成绩处于[110,130)的频率为0.01×20=0.2,故成绩处于[110,130)的人数为3 000×0.2=600.(2)由频率分布直方图可知,成绩在110分及以上的考生概率为
例2.(2023山东潍坊三模)某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品,统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1),
产品的性能指数在[50,70)的适合儿童使用(简称:A类产品),在[70,90)的适合少年使用(简称:B类产品),在[90,110]的适合青年使用(简称:C类产品),A,B,C三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5(单位:元).以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.(1)该公司为了解年营销费用x(单位:万元)对年销售量y(单位:万件)的影响,对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5)的数据做了初步处理,得到散点图(如图2)及一些统计量的值(如下表).
根据散点图判断,y=a·xb可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程,求y关于x的回归方程;(取e4.159≈64)(2)求每件产品的平均销售利润,并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费,才能使得该产品一年的收益达到最大?(收益=销售利润-营销费用)
解 (1)由y=a·xb得,ln y=ln(a·xb)=ln a+bln x.令u=ln x,v=ln y,c=ln a,则v=c+bu.
(2)由题意及(1),设每件产品的销售利润为X元,则X的可能取值为1.5,3.5,5.5,由频率分布直方图可得,A,B,C三类产品的频率分别为0.15,0.45,0.4,P(X=1.5)=(0.004+0.011)×10=0.15,P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,所以随机变量X的分布列为
E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,故每件产品的平均销售利润为4元.
则f'(t)=256-4t3=4(64-t3).当t∈(0,4)时,f'(t)>0,f(t)在(0,4)内单调递增,当t∈(4,+∞)时,f'(t)<0,f(t)在(4,+∞)内单调递减,当t=4,即x=256时,z有最大值,为768.估计当该公司一年投入256万元营销费时,能使得该产品年收益达到最大,最大值为768万元.
名师点析概率与经验回归方程的综合常涉及相互独立事件的概率、二项分布、超几何分布及经验回归方程等知识,考查学生的阅读能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识.
对点训练2某品牌汽车4S店对2023年该市前几个月的汽车成交量(单位:辆)进行统计,用y表示2023年x月份该店汽车成交量,得到统计表格如下:
例3.(2023全国甲,理19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和均值;(2)试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.225.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.835.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
②根据①中的列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有无差异.
(2)①m=23.4.列联表如下:
②零假设为H0:小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量没有差异.由列联表中的数据,可得χ2= =6.4>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
名师点析概率与独立性检验的综合应用也常涉及频率与概率、古典概型、相互独立事件的概率、二项分布、超几何分布、独立性检验等知识,考查了信息提取与数据处理能力.
对点训练3语音正成为手机一族重要的联系方式,为了解某市语音的使用情况,某公司随机抽查了100名语音用户,得到如下数据:
(1)如果认为每天使用超过3次语音的用户是“喜欢使用语音”,完成下面2×2列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析“喜欢使用语音”与年龄是否有关联.
(2)每天使用6次及以上语音的人称为“语音达人”,视频率为概率,在该市所有“语音达人”中随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户,既有30岁及以下的“语音达人”又有30岁以上“语音达人”的概率;②为鼓励30岁以上用户使用语音,对抽取的30岁以上“语音达人”,每人奖励100元话费,记奖励总金额为X,求X的均值.
解 (1)由题中表格数据可得2×2列联表如下:
零假设为H0:“喜欢使用语音”与年龄无关联.将列表中的数据代入公式计算得
根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即“喜欢使用语音”与年龄无关.
例4.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛,计分规则如下表:
年级组为了解学生的体质,随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本,绘制了如下样本频率分布直方图.
(1)现从样本的100名学生的跳绳个数中,任意抽取2人的跳绳个数,求两人得分之和小于35分的概率;(2)若该校高二年级共有2 000名学生,所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中σ2≈225,μ为样本平均数的估计值(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表).利用所得的正态分布模型,解决以下问题:①估计每分钟跳绳164个以上的人数(结果四舍五入到整数);②若在全年级所有学生中随机抽取3人,每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列、均值与方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解 (1)设“两人得分之和小于35分”为事件A,则事件A包括以下四种情况:①两人得分均为16分;②两人中一人16分,一人17分;③两人中一人16分,一人18分;④两人均17分.由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,则由古典概型的概率计算公式可得
名师点析正态分布与概率统计的综合,考查了学生的阅读能力、数据处理能力及应用意识,解读这类问题的关键是培养敢于克服困难完成读题、建模的能力.
对点训练4某公司拟对某手机芯片进行科技升级,根据市场调研与模拟,得到科技升级投入x(单位:亿元)与科技升级直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下:
(1)根据下列表格中的数据,比较当0
(3)科技升级后,该芯片的效率X大幅提高,经实际试验得X大致服从正态分布N(0.52,0.012).公司对科技升级团队的奖励方案如下:若芯片的效率不超过50%,不予奖励;若芯片的效率不低于50%,但不超过53%,每部芯片奖励2元;若芯片的效率不低于53%,每部芯片奖励4元.记Y为每部芯片获得的奖励,求E(Y)(精确到0.01).(附:若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
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