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专题03 自由落体运动和竖直上抛运动-【热重难点】最新高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
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这是一份专题03 自由落体运动和竖直上抛运动-【热重难点】最新高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升，文件包含专题03自由落体运动和竖直上抛运动原卷版docx、专题03自由落体运动和竖直上抛运动解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
【特训典例】
自由落体运动四类常见问题
曝光径迹问题
1．有一中“傻瓜”照相机，其光圈（进光孔径）随被拍摄物体的亮度而自动调节，而快门（曝光时间）是固定不变的，为估测该照相机照相的曝光时间，某同学从一砖墙前的高处使一石子自由落下，拍摄石子在空中照片如图所示，由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹，已知砖块的平均厚度为a，位置A距起落点的竖直高度为h，则估测处该照相机的曝光时间为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：石子做自由落体运动，它留下径迹AB的对应运动时间即为照相机的曝光时间．设开始下落点为O，由照片可以看出，AB长对应两块砖的厚度，即AB的实际长度为，根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度知，石子划过A点的速度大小；若机械能守恒，有：，解得．，C正确。
2．必修二教材封面如图。由于相机存在固定的曝光时间，照片中呈现的下落的砂粒并非砂粒本身的形状，而是成了一条条模糊的径迹，砂粒的疏密分布也不均匀。若近似认为砂粒从出口下落的初速度为0。忽略空气阻力，不计砂粒间的相互影响，设砂粒随时间均匀漏下，以下推断正确的是（ ）
A．出口下方9cm处的径迹长度约是1cm处的9倍
B．出口下方9cm处的径迹长度约是1cm处的3倍
C．出口下方0～3cm范围内砂粒数约为3～6cm范围砂粒数的倍
D．出口下方0～3cm范围内砂粒数约与3～12cm范围砂粒数相等
【答案】BCD
【详解】AB．根据可知，出口下方9cm处速度约为1cm处的3倍，出口下方9cm处的径迹长度约是1cm处的3倍，故A错误，B正确；
C．出口下方0～3cm运动时间为出口下方0～6cm运动时间为
则出口下方3～6cm运动时间为
其中由于砂粒随时间均匀漏下，则出口下方0～3cm范围内砂粒数约为3～6cm范围砂粒数的倍，故C正确；
D．根据初速度为零的匀变速运动在相邻相等时间内的位移之比为1：3：5…可知从出口下落0～3cm与3～12cm的时间是相等的，因砂粒随时间均匀漏下，可知出口下方0～3cm范围内的砂粒数约与3～12cm范围的砂粒数相等，故D正确。故选BCD。
穿越时间问题
3．如图所示，将可视为质点的小球置于空心管的正上方h处，空心管长度为L，小球与管的轴线重合，小球直径小于空心管内径。假设空间足够大，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．两者同时静止释放，小球在空中不能穿过空心管
B．小球自由下落，空心管固定不动，小球穿过管的时间为
C．小球以初速度向下开始运动，同时从静止释放空心管，则小球一定能穿过管，穿过管的时间与当地重力加速度有关
D．静止释放小球，经过很短的时间t后静止释放空心管，则小球一定能穿过管，穿过管的时间与当地重力加速度有关
【答案】AD
【详解】A．若两者无初速度同时释放，则在相同时间内下降的高度相同，可知小球在空中不能穿过管，故A正确；
B．若小球自由下落、管固定不动，小球穿过管的时间是小球到达管的下端与到达管的上端的时间差，根据自由落体运动公式，解得故B错误；
C．以管为参考系，小球相对管匀速运动，可知小球穿过管的时间可知与当地重力加速度无关,故C错误；
D．释放空心管时，小球的速度为以管为参考系，小球相对管以速度v做匀速运动，则小球穿过管的时间所以穿过管的时间与当地重力加速度有关，故D正确。
故选AD。
4．如图所示，将可视为质点的小球置于空心管的正上方h处，空心管长度为H，小球与管的中轴线重合。当释放小球，小球可能会穿过空心管，假设空间足够大，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若小球和空心管同时静止释放，小球可能穿过空心管
B．若将小球先静止释放，间隔一小段时间Δt后再将空心管静止释放，则之后小球可能不会穿过空心管
C．若释放小球时先给它一竖直向下的初速度v0，同时将空心管由静止释放，则之后小球一定能穿过空心管，且从小球出发到运动到管底所用时间t等于
D．若先给空心管一竖直向上的初速度v0，同时将小球由静止释放，则之后小球一定能穿过空心管，且从小球出发到运动到管底所用时间t小于
【答案】C
【详解】A. 若小球和空心管同时静止释放，则两物体的运动情况完全相同，则小球不可能穿过空心管，选项A错误；
B. 若将小球先静止释放，间隔一小段时间Δt后再将空心管静止释放，则小球的速度比空心管总是大g∆t，则之后小球一定会穿过空心管，选项B错误；
CD.根据则所用时间均为即从小球出发到运动到管底所用时间t等于；同理若先给空心管一竖直向上的初速度v0，同时将小球由静止释放，则之后小球一定能穿过空心管，且从小球出发到运动到管底所用时间t等于，选项C正确，D错误。故选C。
两体自由下落问题
5．如图所示，甲、乙、丙二个实心小铁球，用细线悬挂在水平横杆上，其中甲、乙两球离地高度均为2h，丙球离地高度为h，现同时剪断甲、乙两球上方的细线，空气阻力不计，则（ ）
A．乙球比甲球先落地B．乙球落地时的速度大小是丙球的倍
C．乙球在空中运动的时间是丙球的2倍D．乙、丙球之间的细线对两球有拉力
【答案】B
【详解】A．空气阻力不计，三个小球都做自由落体运动，甲、乙两球高度相同，由位移时间关系
可知两球同时落地，故A错误；
B．由位移速度公式可得丙球落地时的速度大小为乙球落地时的速度大小为
可知乙球落地时的速度大小是丙球的倍，故B正确；
C．由位移时间公式可得丙球在空中运动的时间为乙球在空中运动的时间为
乙球在空中运动的时间是丙球的倍，故C错误；
D．三个小球均处于完全失重状态，乙、丙球之间的细线对两球没有拉力，故D错误。故选B。
6．从离地相同高度处将甲、乙两小球间隔时间由静止开始相继释放，它们的图像如图所示，已知地面处，不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．图像中的
B．图像中的
C．当甲、乙两小球都在空中运动时，两者距离越来越大
D．在时间内，甲球速度变化量大于乙球速度变化量
【答案】C
【详解】A．甲、乙两小球在空中均做自由落体运动，运动时间相同，则乙球落地比甲球落地慢，可知图像中的，故A错误；
B．由图可知，甲球在空中下落的时间为，则有故B错误；
C．当甲、乙两小球都在空中运动时，以乙开始下落为时刻，则有，
两者距离为可知两者距离越来越大，故C正确；
D．甲、乙两小球的加速度均为重力加速度，根据在时间内，甲球速度变化量等于乙球速度变化量，故D错误。故选C。
用比例关系处理自由落体运动问题
7．蹦极是一项刺激的户外休闲活动，如图所示，把蹦极者视为质点，认为其离开塔顶时的速度为零，不计空气阻力。设轻质弹性绳的原长为L，蹦极者下落第一个所用的时间为t1，下落第五个所用的时间为t2，则满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为蹦极者做初速度为零的匀加速直线运动，根据连续相等位移的运动比例规律
所以，C正确，ABD错误。故选C。
8．取一根长2m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘，在线端系上第一个垫圈，隔12cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别是36cm、60cm、84cm，如图所示。站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地上的金属盘，松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5个垫圈（ ）
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为
D．依次落到盘上的时间关系为
【答案】B
【详解】ABD．5个铁垫圈同时做自由落体运动，第2、3、4、5个垫圈经过位移之比为
由可得，第2、3、4、5个垫圈落到盘中需要的时间之比则落到盘上的声音时间间隔相等，故选项AD错误，B正确；
C．由可得，第2、3、4、5个垫圈依次落到盘上的速率之比为
故选项C错误。故选B。
竖直上抛运动的基本规律及对称性
9．打弹弓是一款传统游戏，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1s内上升的高度与最后1s内上升的高度之比为7:1，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则弹丸在上升过程中最初1s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为（ ）
A．45m/s；125mB．45m/s；80mC．35m/s；80mD．35m/s；125m
【答案】C
【详解】射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式
则弹丸最后内下落的高度则最初内下落的高度
最初内中间时刻的速度弹丸自由下落的时间
弹丸下落的总高度则弹丸上升的最大高度为，故选C。
10．某同学学习了竖直上抛运动后，决定利用手机上的自动拍摄功能来研究竖直上抛运动，他将自动拍摄时间定为0.3s拍摄一幅照片，现他选取学校一处外墙比较干净的地方做为拍摄的背景墙，在拍得的多组照片中他选取其中连续拍摄的三幅照片如图所示。小球在三个时刻的位置标记为a、b、c，已知每块砖的厚度为5cm，取重力加速度。经分析可知三幅照片的拍摄顺序（ ）
A．一定是abcB．一定是acb
C．可能是bcaD．可能是cba
【答案】C
【详解】由题意，小球做竖直上抛运动，由得，则连续相邻两拍摄点之间的距离差应为
（取向上为正）由图可得ab两点，bc两点之间的距离分别为
；
A．如果abc，则不可能，故A错误；
BC．如果是acb，则可能；如果是bca，则
可能，所以可能拍摄的顺序可能是acb，也可能bca，故B错误，C正确。
D．如果是cba，则不可能。故D错误；故选C。
11．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点a的时间间隔为Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔为Tb，则a、b之间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】小球做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到a点的时间为
物体从最高点自由下落到b点的时间为竖直上抛运动的加速度由匀变速直线运动的位移公式，可得最高点到a点的距离为最高点到b点的距离为
a点在b点下方，则a、b之间的距离为故选A。
12．矿井中的升降机从井底开始以的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为
C．螺钉落到井底时的速度大小为
D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时
【答案】CD
【详解】A．螺钉松脱时具有与升降机相同的竖直向上的初速度，故螺钉脱落后做竖直上抛运动，A错误；
B．取竖直向上为正方向，螺钉从脱落至落到井底的位移h1＝升降机这段时间的位移
h2＝v0t＝50 m故矿井的深度为h＝|h1|＋h2＝125 m选项B错误；
C．螺钉落到井底时的速度为v＝v0－gt＝－40 m/s故速度大小为40 m/s，选项C正确；
D．螺钉松脱前运动的时间为t′＝＝7.5s所以螺钉运动的总时间为t总＝t＋t′＝12.5s选项D正确。
故选CD。
自由落体和竖直上抛运动的图像问题
13．从塔顶由静止释放一个小球，并开始计时，某时刻，球运动至位置，此时从与位置等高处由静止释放小球，设小球下落时间为时，两球之间的竖直距离为，在、两球落地前，若两球都只受重力作用，则下列图线符合实际情况的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】AB两球释放后都做自由落体运动，B球释放时，A球的速度
B释放t时间时，AB两球之间的距离则
即图线为一条过原点倾斜的直线，斜率为g，故A正确，BCD错误。故选A.
14．2021年5月15日，中国首个火星探测器“祝融”号登陆红色星球火星，正式开始系外行星之旅，成为第二个登陆火星的国家，由此引发广大太空迷的关注。假设未来人类宇航员登陆火星后，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出点位置O位移为0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，通过计算机得出小球运动的的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。设火星是半径为R的匀质球体，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为aB．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为D．火星的第一宇宙速度为
【答案】D
【详解】A．设火星表面重力加速度为g，小球做竖直上抛运动的初速度为，竖直上抛运动位移随时间的表达式为整理得由的图像，可得，解得小球竖直上抛的初速度为，加速度为，故A错误；
B．小球竖直上抛的最大高度由解得故B错误；
C．火星质量为M，由得故C错误；
D．火星表面发设卫星的第一宇宙速度，由万有引力提供向心力，有得
故D正确。故选D。
15．将甲、乙两个小球（可视为质点）在同一水平面相邻的两个位置先后以相同的初速度竖直向上抛出。若抛出点所在平面高度设为0，两小球的高度h与时间t的图像如图所示。根据图像所给的信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲回到抛出点的时刻为
B．乙回到抛出点的时刻为
C．乙距抛出点的最大高度为
D．乙距抛出点的最大高度为
【答案】B
【详解】AB．根据题意可知，甲乙两球的图形一样，只是乙向右平移了一些，由图可知，时刻的虚线为对称轴，则乙回到抛出点的时刻为，则乙运动的时间为则甲回到抛出点的时刻为，故A错误，B正确；
CD．根据题意，由公式可知，乙距抛出点的最大高度为故CD错误。
故选B。
16．如图，物体A以速度从地面竖直上抛，同时物体B从某高处自由下落，经过时间正好以速度落地．以向上为正方向，不计空气阻力，两物体在时间内的位移——时间图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】s-t图像的斜率表示速度；两物体的加速度均为g，且A做匀减速运动，速度逐渐减小，斜率减小；B做匀加速运动，速度逐渐增大，斜率变大；
A．该图与结论不相符，选项A错误；
B．该图与结论不相符，选项B错误；
C．该图与结论相符，选项C正确；
D．该图与结论不相符，选项D错误；故选C.
自由落体和竖直上抛运动的相遇问题
17．如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放，一段时间后在点正下方的点时追上，此过程中两小球均末落地且末发生碰撞。若两点间的高度差为，两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，则小球相对抛出点上升的最大高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】Q做自由落体运动，有解得从抛出到相遇，以向下为正方向，可得
据几何关系可得解得，P上升的最大高度为故选B。
18．A球自空中某处以速度为v0竖直向上抛出，B球自A球正上方某处同时自由下落，两球速度时间图像如图所示，，两球在空中相遇。之后互不影响，则（ ）
A．A球到达最高点后两球距离不再增加
B．A球到达最高点后距离增加得越来越快
C．A、B两球相遇时A处于下降阶段
D．B球到达A球抛出点时，A球刚好到达最高点
【答案】D
【详解】CD．设刚开始时A、B两球距离为H，相遇时间为t1，由得得
即A球到达最高点时的位置就是B球刚开始下落的位置，且B球刚好到达A球开始上抛的位置时速度为v0，A、B两球相遇时A处于上升阶段，则C选项错误、D选项正确。
AB．A球达到最高点后A、B两球距离均匀增加，则A、B选项错误。故选D。
19．小球A从距地面高为H处自由释放，同时小球B从地面以初速度v0竖直向上抛出，A、B两球在空中相遇。不计空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．若A、B相遇时速率相等，则
B．经时间，A、B相遇
C．若,则A与B相遇在B下降途中
D．若，则A与B相遇在B上升途中
【答案】BC
【详解】B．A和B相遇时解得 ①故B正确；
A．若A、B相遇时速率相等，有 ②由①②式解得故A错误；
CD．若两球相遇时b球处于下降过程中，则相遇的时间满足：由
解得 故C正确，D错误；
20．A、B两小球，在一条竖直线上，A从距地面H高处自由下落，同时B从地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度为g，小球与地面碰撞后速度等大反向。关于A、B第一次相遇的时间和地点说法正确的是（ ）
A．若，A、B在地面相遇
B．若，A、B在B下降的途中相遇
C．若，A、B在B上升的途中相遇
D．若，A、B在B第n次下降的途中相遇
【答案】BC
【详解】若两球在B与地面碰撞前两球相遇，设两球从开始运动到相遇经历时间为t，则
可得
A．若，则此时B的上升的最大高度为向上运动的时间为此时A下降的高度为两球恰好在距地面处相遇，故A错误；
B．若两球恰好第一次在地面相遇时，则有求得对B小球，则有求得B小球竖直上抛的初速度为由于此时B球已经到达最高点后返回，由前面分析可知A、B将在B下降的途中相遇，故B正确；
C．设B第二次到达最高点与A相碰，则有得则当时，两球在B第二次上升途中相遇，C正确；
D．设B第n次到达最高点与A相碰，则有得当B第n次落地时与A相碰，则有解得可知，只有当n=1时v的范围与选项中的范围相符，取其他值时都不相符，故D错误。故选BC。
两个竖直上抛运动的相遇问题
21．杂技表演中有一节目叫抛球，在抛球游戏的表演过程中，难度会越来越高，并且会有越来越多的小球，而小球之间发生的碰撞，更会让玩家来不及反应，可谓挑战十足。小明在家练习抛球，他以初速度2v0竖直上抛一小球A后，又以初速度v0在同一高度竖直上抛另一小球B，多次发现两球在空中相遇，则两球抛出的时间间隔△t必须满足的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度为g）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题中的条件可知球A上升到最高点的时间为球A在空中运动的总时间为
球B上升和在空中运动的总时间分别为；根据题中条件可知两球的位移随时间的变化规律满足作出两球的s-t图象，则两条图线的相交点的横坐标表示A、B相遇时刻，如图所示
纵坐标对应位移sA=sB由图象可直接看出△t应满足关系式故选A。
22．杂技团抛球表演中，被抛出的小球近似做竖直上抛运动，演员每隔相同时间以相同的速度上抛一个小球，从抛出第一个球开始计时，g取10 m/s2所有小球运动的位移s随时间t的变化关系如图所示，由此可知
A．抛出的速度大小为5 m/s
B．在抛出点上方最多有9个球
C．第3个球与第6个球相遇在t=0.7 s时
D．在抛出点上方最多有4对球同时相遇
【答案】D
【详解】A．由题图可知，小球在空中运动时间为，则上抛速度，故选项A错误；
BD．由题图可知，总共有9个小球，当第1个小球回到抛出点时，第9个小球被抛出，在抛出点上方最多有8个球，由图可知在抛出点上方最多有4对球同时相遇，故选项D正确，B错误；
C．设第3个球与第6个球在时相遇，第3个球运动的位移，第6个球的位移，相遇时有，解得，故选项C错误；
23．在不计空气阻力的条件下，竖直向上抛出的物体的位移—时间图像（即x-t图像）如图所示。某次玩具枪测试中，子弹从枪口射出时的速度大小为40 m/s，测试员在t=0时刻竖直向上射出第一颗子弹，之后每隔2 s竖直向上射出一颗子弹，假设子弹在运动过程中都不相碰，不计空气阻力，g取10 m/s2。对于第一颗子弹，它和以后射出的子弹在空中相遇的时刻分别为（ ）
A．3 s，4 s，5 sB．4 s，4.5 s，5 s
C．5 s，6 s，7 sD．5.5 s，6.5 s，7.5 s
【答案】C
【详解】第一颗子弹从射出到落回射出点所用的时间t0==8 s因之后每隔2 s竖直向上射出一颗子弹，故第一颗子弹回到出发点时，第五颗子弹刚射出。设第一颗子弹射出时间t后与第n颗子弹相遇，则相遇时第n颗子弹的运动时间tn=t-2（n-1）s，n=2，3，4，根据竖直上抛运动的位移公式有v0t-gt2=v0tn-gtn2
联立两式解得t=(n＋3）s当n=2时t=5 s，当n=3时t=6 s，当n=4时t=7 s。故选C。
24．在时刻从地面上方某处以某一初速度竖直向上抛出小球甲，s时刻在该处以另一初速度竖直向上抛出小球乙，s时刻两小球在空中相遇，已知重力加速度，不计空气阻力小。下列说法正确的是（ ）
A．两球可能在甲球上升阶段相遇
B．两球一定在乙球上升阶段相遇
C．若两小球在抛出点相遇，则小球甲的初速度为20m/s
D．小球甲的初速度一定大于小球乙的初速度
【答案】AC
【详解】设甲球的初速度为，乙球的初速度为，由于时两球在空中相遇则有；
其中联立解得若两球恰在甲球最高点相遇，则有
解得；此时小球乙的速度大于小球甲的速度；
若两球恰在乙球的最高点相遇，则有解得此时所以当时，两球在甲球上升阶段相遇；当时，两球在乙球下落阶段相遇；
若两球在抛出点相遇，则甲球运动4s后回到抛出点，由竖直上抛运动的对称性知，甲球向上运动的时间为2s，则故选AC。
特训目标
特训内容
目标1
自由落体运动四类常见问题（1T—8T）
目标2
竖直上抛运动的基本规律及对称性（9T—12T）
目标3
自由落体和竖直上抛运动的图像问题（13T—16T）
目标4
自由落体和竖直上抛运动的相遇问题（17T—20T）
目标5
两个竖直上抛运动的相遇问题（21T—24T）
【特训典例】
自由落体运动四类常见问题
曝光径迹问题
1．有一中“傻瓜”照相机，其光圈（进光孔径）随被拍摄物体的亮度而自动调节，而快门（曝光时间）是固定不变的，为估测该照相机照相的曝光时间，某同学从一砖墙前的高处使一石子自由落下，拍摄石子在空中照片如图所示，由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹，已知砖块的平均厚度为a，位置A距起落点的竖直高度为h，则估测处该照相机的曝光时间为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：石子做自由落体运动，它留下径迹AB的对应运动时间即为照相机的曝光时间．设开始下落点为O，由照片可以看出，AB长对应两块砖的厚度，即AB的实际长度为，根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度知，石子划过A点的速度大小；若机械能守恒，有：，解得．，C正确。
2．必修二教材封面如图。由于相机存在固定的曝光时间，照片中呈现的下落的砂粒并非砂粒本身的形状，而是成了一条条模糊的径迹，砂粒的疏密分布也不均匀。若近似认为砂粒从出口下落的初速度为0。忽略空气阻力，不计砂粒间的相互影响，设砂粒随时间均匀漏下，以下推断正确的是（ ）
A．出口下方9cm处的径迹长度约是1cm处的9倍
B．出口下方9cm处的径迹长度约是1cm处的3倍
C．出口下方0～3cm范围内砂粒数约为3～6cm范围砂粒数的倍
D．出口下方0～3cm范围内砂粒数约与3～12cm范围砂粒数相等
【答案】BCD
【详解】AB．根据可知，出口下方9cm处速度约为1cm处的3倍，出口下方9cm处的径迹长度约是1cm处的3倍，故A错误，B正确；
C．出口下方0～3cm运动时间为出口下方0～6cm运动时间为
则出口下方3～6cm运动时间为
其中由于砂粒随时间均匀漏下，则出口下方0～3cm范围内砂粒数约为3～6cm范围砂粒数的倍，故C正确；
D．根据初速度为零的匀变速运动在相邻相等时间内的位移之比为1：3：5…可知从出口下落0～3cm与3～12cm的时间是相等的，因砂粒随时间均匀漏下，可知出口下方0～3cm范围内的砂粒数约与3～12cm范围的砂粒数相等，故D正确。故选BCD。
穿越时间问题
3．如图所示，将可视为质点的小球置于空心管的正上方h处，空心管长度为L，小球与管的轴线重合，小球直径小于空心管内径。假设空间足够大，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．两者同时静止释放，小球在空中不能穿过空心管
B．小球自由下落，空心管固定不动，小球穿过管的时间为
C．小球以初速度向下开始运动，同时从静止释放空心管，则小球一定能穿过管，穿过管的时间与当地重力加速度有关
D．静止释放小球，经过很短的时间t后静止释放空心管，则小球一定能穿过管，穿过管的时间与当地重力加速度有关
【答案】AD
【详解】A．若两者无初速度同时释放，则在相同时间内下降的高度相同，可知小球在空中不能穿过管，故A正确；
B．若小球自由下落、管固定不动，小球穿过管的时间是小球到达管的下端与到达管的上端的时间差，根据自由落体运动公式，解得故B错误；
C．以管为参考系，小球相对管匀速运动，可知小球穿过管的时间可知与当地重力加速度无关,故C错误；
D．释放空心管时，小球的速度为以管为参考系，小球相对管以速度v做匀速运动，则小球穿过管的时间所以穿过管的时间与当地重力加速度有关，故D正确。
故选AD。
4．如图所示，将可视为质点的小球置于空心管的正上方h处，空心管长度为H，小球与管的中轴线重合。当释放小球，小球可能会穿过空心管，假设空间足够大，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若小球和空心管同时静止释放，小球可能穿过空心管
B．若将小球先静止释放，间隔一小段时间Δt后再将空心管静止释放，则之后小球可能不会穿过空心管
C．若释放小球时先给它一竖直向下的初速度v0，同时将空心管由静止释放，则之后小球一定能穿过空心管，且从小球出发到运动到管底所用时间t等于
D．若先给空心管一竖直向上的初速度v0，同时将小球由静止释放，则之后小球一定能穿过空心管，且从小球出发到运动到管底所用时间t小于
【答案】C
【详解】A. 若小球和空心管同时静止释放，则两物体的运动情况完全相同，则小球不可能穿过空心管，选项A错误；
B. 若将小球先静止释放，间隔一小段时间Δt后再将空心管静止释放，则小球的速度比空心管总是大g∆t，则之后小球一定会穿过空心管，选项B错误；
CD.根据则所用时间均为即从小球出发到运动到管底所用时间t等于；同理若先给空心管一竖直向上的初速度v0，同时将小球由静止释放，则之后小球一定能穿过空心管，且从小球出发到运动到管底所用时间t等于，选项C正确，D错误。故选C。
两体自由下落问题
5．如图所示，甲、乙、丙二个实心小铁球，用细线悬挂在水平横杆上，其中甲、乙两球离地高度均为2h，丙球离地高度为h，现同时剪断甲、乙两球上方的细线，空气阻力不计，则（ ）
A．乙球比甲球先落地B．乙球落地时的速度大小是丙球的倍
C．乙球在空中运动的时间是丙球的2倍D．乙、丙球之间的细线对两球有拉力
【答案】B
【详解】A．空气阻力不计，三个小球都做自由落体运动，甲、乙两球高度相同，由位移时间关系
可知两球同时落地，故A错误；
B．由位移速度公式可得丙球落地时的速度大小为乙球落地时的速度大小为
可知乙球落地时的速度大小是丙球的倍，故B正确；
C．由位移时间公式可得丙球在空中运动的时间为乙球在空中运动的时间为
乙球在空中运动的时间是丙球的倍，故C错误；
D．三个小球均处于完全失重状态，乙、丙球之间的细线对两球没有拉力，故D错误。故选B。
6．从离地相同高度处将甲、乙两小球间隔时间由静止开始相继释放，它们的图像如图所示，已知地面处，不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．图像中的
B．图像中的
C．当甲、乙两小球都在空中运动时，两者距离越来越大
D．在时间内，甲球速度变化量大于乙球速度变化量
【答案】C
【详解】A．甲、乙两小球在空中均做自由落体运动，运动时间相同，则乙球落地比甲球落地慢，可知图像中的，故A错误；
B．由图可知，甲球在空中下落的时间为，则有故B错误；
C．当甲、乙两小球都在空中运动时，以乙开始下落为时刻，则有，
两者距离为可知两者距离越来越大，故C正确；
D．甲、乙两小球的加速度均为重力加速度，根据在时间内，甲球速度变化量等于乙球速度变化量，故D错误。故选C。
用比例关系处理自由落体运动问题
7．蹦极是一项刺激的户外休闲活动，如图所示，把蹦极者视为质点，认为其离开塔顶时的速度为零，不计空气阻力。设轻质弹性绳的原长为L，蹦极者下落第一个所用的时间为t1，下落第五个所用的时间为t2，则满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为蹦极者做初速度为零的匀加速直线运动，根据连续相等位移的运动比例规律
所以，C正确，ABD错误。故选C。
8．取一根长2m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘，在线端系上第一个垫圈，隔12cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别是36cm、60cm、84cm，如图所示。站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地上的金属盘，松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5个垫圈（ ）
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为
D．依次落到盘上的时间关系为
【答案】B
【详解】ABD．5个铁垫圈同时做自由落体运动，第2、3、4、5个垫圈经过位移之比为
由可得，第2、3、4、5个垫圈落到盘中需要的时间之比则落到盘上的声音时间间隔相等，故选项AD错误，B正确；
C．由可得，第2、3、4、5个垫圈依次落到盘上的速率之比为
故选项C错误。故选B。
竖直上抛运动的基本规律及对称性
9．打弹弓是一款传统游戏，如图所示，一表演者将弹丸竖直向上射出后，弹丸上升过程中在最初1s内上升的高度与最后1s内上升的高度之比为7:1，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，则弹丸在上升过程中最初1s内中间时刻的速度大小和上升的最大高度分别为（ ）
A．45m/s；125mB．45m/s；80mC．35m/s；80mD．35m/s；125m
【答案】C
【详解】射出的弹丸做竖直上抛运动，可看成自由落体运动的逆运动，由运动学公式
则弹丸最后内下落的高度则最初内下落的高度
最初内中间时刻的速度弹丸自由下落的时间
弹丸下落的总高度则弹丸上升的最大高度为，故选C。
10．某同学学习了竖直上抛运动后，决定利用手机上的自动拍摄功能来研究竖直上抛运动，他将自动拍摄时间定为0.3s拍摄一幅照片，现他选取学校一处外墙比较干净的地方做为拍摄的背景墙，在拍得的多组照片中他选取其中连续拍摄的三幅照片如图所示。小球在三个时刻的位置标记为a、b、c，已知每块砖的厚度为5cm，取重力加速度。经分析可知三幅照片的拍摄顺序（ ）
A．一定是abcB．一定是acb
C．可能是bcaD．可能是cba
【答案】C
【详解】由题意，小球做竖直上抛运动，由得，则连续相邻两拍摄点之间的距离差应为
（取向上为正）由图可得ab两点，bc两点之间的距离分别为
；
A．如果abc，则不可能，故A错误；
BC．如果是acb，则可能；如果是bca，则
可能，所以可能拍摄的顺序可能是acb，也可能bca，故B错误，C正确。
D．如果是cba，则不可能。故D错误；故选C。
11．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点a的时间间隔为Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔为Tb，则a、b之间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】小球做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到a点的时间为
物体从最高点自由下落到b点的时间为竖直上抛运动的加速度由匀变速直线运动的位移公式，可得最高点到a点的距离为最高点到b点的距离为
a点在b点下方，则a、b之间的距离为故选A。
12．矿井中的升降机从井底开始以的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为
C．螺钉落到井底时的速度大小为
D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时
【答案】CD
【详解】A．螺钉松脱时具有与升降机相同的竖直向上的初速度，故螺钉脱落后做竖直上抛运动，A错误；
B．取竖直向上为正方向，螺钉从脱落至落到井底的位移h1＝升降机这段时间的位移
h2＝v0t＝50 m故矿井的深度为h＝|h1|＋h2＝125 m选项B错误；
C．螺钉落到井底时的速度为v＝v0－gt＝－40 m/s故速度大小为40 m/s，选项C正确；
D．螺钉松脱前运动的时间为t′＝＝7.5s所以螺钉运动的总时间为t总＝t＋t′＝12.5s选项D正确。
故选CD。
自由落体和竖直上抛运动的图像问题
13．从塔顶由静止释放一个小球，并开始计时，某时刻，球运动至位置，此时从与位置等高处由静止释放小球，设小球下落时间为时，两球之间的竖直距离为，在、两球落地前，若两球都只受重力作用，则下列图线符合实际情况的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】AB两球释放后都做自由落体运动，B球释放时，A球的速度
B释放t时间时，AB两球之间的距离则
即图线为一条过原点倾斜的直线，斜率为g，故A正确，BCD错误。故选A.
14．2021年5月15日，中国首个火星探测器“祝融”号登陆红色星球火星，正式开始系外行星之旅，成为第二个登陆火星的国家，由此引发广大太空迷的关注。假设未来人类宇航员登陆火星后，在火星表面将小球竖直上抛，取抛出点位置O位移为0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，通过计算机得出小球运动的的图像如图所示（其中a、b均为已知量）。设火星是半径为R的匀质球体，引力常量为G，忽略火星自转的影响。下列说法正确的是（ ）
A．小球竖直上抛的初速度为aB．小球从O点上升的最大高度为
C．火星的质量为D．火星的第一宇宙速度为
【答案】D
【详解】A．设火星表面重力加速度为g，小球做竖直上抛运动的初速度为，竖直上抛运动位移随时间的表达式为整理得由的图像，可得，解得小球竖直上抛的初速度为，加速度为，故A错误；
B．小球竖直上抛的最大高度由解得故B错误；
C．火星质量为M，由得故C错误；
D．火星表面发设卫星的第一宇宙速度，由万有引力提供向心力，有得
故D正确。故选D。
15．将甲、乙两个小球（可视为质点）在同一水平面相邻的两个位置先后以相同的初速度竖直向上抛出。若抛出点所在平面高度设为0，两小球的高度h与时间t的图像如图所示。根据图像所给的信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲回到抛出点的时刻为
B．乙回到抛出点的时刻为
C．乙距抛出点的最大高度为
D．乙距抛出点的最大高度为
【答案】B
【详解】AB．根据题意可知，甲乙两球的图形一样，只是乙向右平移了一些，由图可知，时刻的虚线为对称轴，则乙回到抛出点的时刻为，则乙运动的时间为则甲回到抛出点的时刻为，故A错误，B正确；
CD．根据题意，由公式可知，乙距抛出点的最大高度为故CD错误。
故选B。
16．如图，物体A以速度从地面竖直上抛，同时物体B从某高处自由下落，经过时间正好以速度落地．以向上为正方向，不计空气阻力，两物体在时间内的位移——时间图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】s-t图像的斜率表示速度；两物体的加速度均为g，且A做匀减速运动，速度逐渐减小，斜率减小；B做匀加速运动，速度逐渐增大，斜率变大；
A．该图与结论不相符，选项A错误；
B．该图与结论不相符，选项B错误；
C．该图与结论相符，选项C正确；
D．该图与结论不相符，选项D错误；故选C.
自由落体和竖直上抛运动的相遇问题
17．如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放，一段时间后在点正下方的点时追上，此过程中两小球均末落地且末发生碰撞。若两点间的高度差为，两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，则小球相对抛出点上升的最大高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】Q做自由落体运动，有解得从抛出到相遇，以向下为正方向，可得
据几何关系可得解得，P上升的最大高度为故选B。
18．A球自空中某处以速度为v0竖直向上抛出，B球自A球正上方某处同时自由下落，两球速度时间图像如图所示，，两球在空中相遇。之后互不影响，则（ ）
A．A球到达最高点后两球距离不再增加
B．A球到达最高点后距离增加得越来越快
C．A、B两球相遇时A处于下降阶段
D．B球到达A球抛出点时，A球刚好到达最高点
【答案】D
【详解】CD．设刚开始时A、B两球距离为H，相遇时间为t1，由得得
即A球到达最高点时的位置就是B球刚开始下落的位置，且B球刚好到达A球开始上抛的位置时速度为v0，A、B两球相遇时A处于上升阶段，则C选项错误、D选项正确。
AB．A球达到最高点后A、B两球距离均匀增加，则A、B选项错误。故选D。
19．小球A从距地面高为H处自由释放，同时小球B从地面以初速度v0竖直向上抛出，A、B两球在空中相遇。不计空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．若A、B相遇时速率相等，则
B．经时间，A、B相遇
C．若,则A与B相遇在B下降途中
D．若，则A与B相遇在B上升途中
【答案】BC
【详解】B．A和B相遇时解得 ①故B正确；
A．若A、B相遇时速率相等，有 ②由①②式解得故A错误；
CD．若两球相遇时b球处于下降过程中，则相遇的时间满足：由
解得 故C正确，D错误；
20．A、B两小球，在一条竖直线上，A从距地面H高处自由下落，同时B从地面以初速度竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度为g，小球与地面碰撞后速度等大反向。关于A、B第一次相遇的时间和地点说法正确的是（ ）
A．若，A、B在地面相遇
B．若，A、B在B下降的途中相遇
C．若，A、B在B上升的途中相遇
D．若，A、B在B第n次下降的途中相遇
【答案】BC
【详解】若两球在B与地面碰撞前两球相遇，设两球从开始运动到相遇经历时间为t，则
可得
A．若，则此时B的上升的最大高度为向上运动的时间为此时A下降的高度为两球恰好在距地面处相遇，故A错误；
B．若两球恰好第一次在地面相遇时，则有求得对B小球，则有求得B小球竖直上抛的初速度为由于此时B球已经到达最高点后返回，由前面分析可知A、B将在B下降的途中相遇，故B正确；
C．设B第二次到达最高点与A相碰，则有得则当时，两球在B第二次上升途中相遇，C正确；
D．设B第n次到达最高点与A相碰，则有得当B第n次落地时与A相碰，则有解得可知，只有当n=1时v的范围与选项中的范围相符，取其他值时都不相符，故D错误。故选BC。
两个竖直上抛运动的相遇问题
21．杂技表演中有一节目叫抛球，在抛球游戏的表演过程中，难度会越来越高，并且会有越来越多的小球，而小球之间发生的碰撞，更会让玩家来不及反应，可谓挑战十足。小明在家练习抛球，他以初速度2v0竖直上抛一小球A后，又以初速度v0在同一高度竖直上抛另一小球B，多次发现两球在空中相遇，则两球抛出的时间间隔△t必须满足的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度为g）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题中的条件可知球A上升到最高点的时间为球A在空中运动的总时间为
球B上升和在空中运动的总时间分别为；根据题中条件可知两球的位移随时间的变化规律满足作出两球的s-t图象，则两条图线的相交点的横坐标表示A、B相遇时刻，如图所示
纵坐标对应位移sA=sB由图象可直接看出△t应满足关系式故选A。
22．杂技团抛球表演中，被抛出的小球近似做竖直上抛运动，演员每隔相同时间以相同的速度上抛一个小球，从抛出第一个球开始计时，g取10 m/s2所有小球运动的位移s随时间t的变化关系如图所示，由此可知
A．抛出的速度大小为5 m/s
B．在抛出点上方最多有9个球
C．第3个球与第6个球相遇在t=0.7 s时
D．在抛出点上方最多有4对球同时相遇
【答案】D
【详解】A．由题图可知，小球在空中运动时间为，则上抛速度，故选项A错误；
BD．由题图可知，总共有9个小球，当第1个小球回到抛出点时，第9个小球被抛出，在抛出点上方最多有8个球，由图可知在抛出点上方最多有4对球同时相遇，故选项D正确，B错误；
C．设第3个球与第6个球在时相遇，第3个球运动的位移，第6个球的位移，相遇时有，解得，故选项C错误；
23．在不计空气阻力的条件下，竖直向上抛出的物体的位移—时间图像（即x-t图像）如图所示。某次玩具枪测试中，子弹从枪口射出时的速度大小为40 m/s，测试员在t=0时刻竖直向上射出第一颗子弹，之后每隔2 s竖直向上射出一颗子弹，假设子弹在运动过程中都不相碰，不计空气阻力，g取10 m/s2。对于第一颗子弹，它和以后射出的子弹在空中相遇的时刻分别为（ ）
A．3 s，4 s，5 sB．4 s，4.5 s，5 s
C．5 s，6 s，7 sD．5.5 s，6.5 s，7.5 s
【答案】C
【详解】第一颗子弹从射出到落回射出点所用的时间t0==8 s因之后每隔2 s竖直向上射出一颗子弹，故第一颗子弹回到出发点时，第五颗子弹刚射出。设第一颗子弹射出时间t后与第n颗子弹相遇，则相遇时第n颗子弹的运动时间tn=t-2（n-1）s，n=2，3，4，根据竖直上抛运动的位移公式有v0t-gt2=v0tn-gtn2
联立两式解得t=(n＋3）s当n=2时t=5 s，当n=3时t=6 s，当n=4时t=7 s。故选C。
24．在时刻从地面上方某处以某一初速度竖直向上抛出小球甲，s时刻在该处以另一初速度竖直向上抛出小球乙，s时刻两小球在空中相遇，已知重力加速度，不计空气阻力小。下列说法正确的是（ ）
A．两球可能在甲球上升阶段相遇
B．两球一定在乙球上升阶段相遇
C．若两小球在抛出点相遇，则小球甲的初速度为20m/s
D．小球甲的初速度一定大于小球乙的初速度
【答案】AC
【详解】设甲球的初速度为，乙球的初速度为，由于时两球在空中相遇则有；
其中联立解得若两球恰在甲球最高点相遇，则有
解得；此时小球乙的速度大于小球甲的速度；
若两球恰在乙球的最高点相遇，则有解得此时所以当时，两球在甲球上升阶段相遇；当时，两球在乙球下落阶段相遇；
若两球在抛出点相遇，则甲球运动4s后回到抛出点，由竖直上抛运动的对称性知，甲球向上运动的时间为2s，则故选AC。
特训目标
特训内容
目标1
自由落体运动四类常见问题（1T—8T）
目标2
竖直上抛运动的基本规律及对称性（9T—12T）
目标3
自由落体和竖直上抛运动的图像问题（13T—16T）
目标4
自由落体和竖直上抛运动的相遇问题（17T—20T）
目标5
两个竖直上抛运动的相遇问题（21T—24T）
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