2024年江苏省南京师范大学附属中学中考二模数学试题

这是一份2024年江苏省南京师范大学附属中学中考二模数学试题，共30页。试卷主要包含了全卷满分120分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．4
2．估算的值应在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
3．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
5．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行10000000000次运算，它工作2024秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线交于点C．若，则k的值为（ ）
A．4B．6C．D．8
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．要使二次根式有意义，则的取值范围是 ．
8．不等式组的所有整数解的和为 ．
9．圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 °．
10．如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为 ．
11．小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为 ．（参考数据：，，）
12．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．
13．不透明袋子中装有个黑球、个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，“摸出黑球”的概率是 ．
14．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ．
15．如图，在苏通长江大桥的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长，记与大桥主梁所夹的锐角为α，那么用的长和α的三角函数表示主跨长的表达式应为 （m）．
16．图1是利用边长为的正方形绘成的七巧板图案，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域（点在圆上，点在上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再从的范围内选择一个合适的整数代入求值．
19．解方程和不等式组：
(1)；
(2)．
20．驾驶员理论考试中，常遇到4选2的多选题．如：驾驶机动车遇到如图这种情况时，正确的做法是“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”．现制作4张形状大小完全相同的卡片，其中每张卡片的正面分别写有“停车等待动物穿过”“鸣喇叭驱赶动物”“下车驱赶动物”“与动物保持较远距离”，洗匀后背面朝上．
(1)随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是______；
(2)一次性抽取2张卡片，卡片恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
21．如图，已知矩形．
(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
(2)若，求菱形的周长．
22．如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接．
①试判断直线与的位置关系，并说明理由；
②若，的半径为3，求的长．
23．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种树苗的价格是树苗基地的倍，用元在市场上购买的种树苗比在树苗基地购买的少捆．
(1)求树苗基地每捆种树苗的价格．
(2)树苗基地每捆种树苗的价格是元．学校决定在树苗基地购买，两种树苗共捆，且种树苗的捆数不超过种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对、两种树苗均提供八折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
24．已知函数(是常数，)，函数
(1)若函数和函数的图象交于点，点．
求，的值；
当时，直接写出的取值范围；
(2)若点在函数的图象上，点先向下平移个单位，再向左平移个单位，得点，点恰好落在函数的图象上，求的值．
25．如图，直线交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段的中点，连接．若．求k的值．
26．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，．
例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，．
(1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．
(3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出的长．
27．抛物线交轴于两点（在的左边），已知坐标，抛物线交轴于点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点在抛物线段上，过点作轴垂线，分别交轴、线段于两点，连接，若与相似，求点的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上?若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
题号
一
二
三
总分
得分
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知，的相反数是，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算出的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，列出方程组即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意得：
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查坐标与图象的变化，根据，两点的坐标可得出平移的方向和距离，求出a和的值，整体代入进而解决问题．
【详解】解：∵线段由线段平移得到，
且，，，，
∴平移方式为：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
6．B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据，得，求出．作轴于点，设直线与轴交于点，根据，得，所以，即可得到点点，，代入即可求出答案．
【详解】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点，
点，，，
点，，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴点，，
点A，是函数图象上的两点，
∴，
解得，
∴
故选：B．
7．/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使二次根式有意义，
，解得，
故答案为：．
8．5
【分析】此题主要考查解一元一次不等式组．先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分所有整数求和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
不等式组的整数解是：2，3，
∴不等式组的整数解的和为：，
故答案为：5．
9．
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图以及扇形的弧长公式，圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，
∴底面周长为：

解得：，
故答案为：
10．
【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
11．107
【分析】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积．利用直角三角形边角关系求出的长是解题的关键．
根据，求得，再根据直角三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：107．
12．
【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律． 根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；
【详解】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后可得：，
故答案为：；
13．/0.375
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用黑球的个数除以球的总数即可得到答案．
【详解】解：∵一共有个黑球、个白球，且每个球被摸到的可能性相同，
∴从袋子中随机摸出个球，“摸出黑球”的概率是，
故答案为：．
14．/28度
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，根据切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理计算的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．
【详解】解：解：由题意可得，，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质、垂径定理、勾股定理、七巧板图案，根据不共线三点确定一个圆，根据对称性确定圆心的位置，进而根据垂径定理和勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
，正方形的边长为，
图1中的，
由图可得：，，
过左侧的三个端点、、作圆，
，
，
点在上，连接，则为半径，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
圆的半径为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查锐角三角函数的计算，解题的关键是掌握，，进行计算，即可．
【详解】，
，
．
18．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内分式的减法，再计算分式的除法运算，最后结合分式有意义的条件把代入计算即可．
【详解】解：原式，
要使分式有意义，且且，
所以a不能为0，1，，
取，
当时，原式．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解题步骤是解此题的关键．
（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验即可得出答案；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
是原分式方程的解；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图不重复、不遗漏地列举出所有等可能的情况．
（1）利用简单概率公式计算即可；
（2）通过画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：一共有4张卡片，随机抽取1张卡片，恰为“停车等待动物穿过”的概率是，
故答案为； ；
（2）解：记“停车等待动物穿过”的卡片为A，“鸣喇叭驱赶动物”的卡片为B，“下车驱赶动物”的卡片为C，“与动物保持较远距离”的卡片为D，则画树状图如解图，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，
其中恰为“停车等待动物穿过”A和“与动物保持较远距离”D卡片的结果有2种，
∴P（恰为“停车等待动物穿过”和“与动物保持较远距离”）
21．(1)图见解析
(2)20
【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据相关知识正确作图是解题关键．
（1）作对角线的垂直平分线， 证明，即可证四边形是菱形；
（2）设菱形边长为x，则，根据勾股定理列方程，求出，即可得到菱形的周长．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求作；
垂直平分，
，，
矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：设菱形边长为x，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
解得，
菱形周长．
22．(1)见解析
(2)①与相切，理由见解析；②6
【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点．
（2）①根据垂直平分线性质求得，则与相切；
②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解．
【详解】（1）
如图，为所作垂线；

（2）①与相切，理由如下∶
在中，是的垂线，
，且是的垂直平分线，
，
，
与相切于点，
，即，
与相切；
②在中，
根据勾股定理，得：
在中，
【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，先求得，根据题意列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）（1）设树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆，依题意，得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：树苗基地每捆种树苗的价格为元/捆；
（2）解：设购买捆种树苗，则购买捆种树苗，共花费元，
∵
解得：
∵，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为
24．(1)，；或；
(2)．
【分析】（）采用待定系数法即可求出；
采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出；
（）结合题意，表示出点的坐标，然后将，两点代入到中即可求出；
本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图象和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：把点代入到中，得：，解得：，
把代入到中，得：，解得：，
∴，
综上：，；
如图所示：
∵，，结合图象，
∴当时，的取值范围是：或；
（2）解：根据题意，，
∴，
把点，代入到中，得：
，解得：，
综上：．
25．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；设A点坐标为，C点坐标为，根据线段中点坐标公式可得B点坐标为，利用点在反比例函数图象可得，再根据三角形面积公式即可求出k；
【详解】解：设A点坐标为，C点坐标为，
B恰为线段的中点，
点坐标为，
B在反比例函数图象上，
，
，
，
，
，
；
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，，进而作出图形；
（2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形；
（3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法．
【详解】（1）解：如图1，
1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，
2．延长至，使，延长至，使，连接，
则就是求作的三角形；
（2）证明：和位似，与位似，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得：，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图2，
1．以为边在上方作等边三角形，
2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接，
3．作，，延长，交于，连接，，
则四边形是正方形，
证明：由上知：，，
，，，，
，
要使是正方形，应使，，
，，
，
，
，
作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法；
，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力．
27．(1)
(2)点的坐标为或
(3)点在一条定直线上
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：若时，则；若时，过作轴于；分别求解即可；
（3）求出直线的解析式为：，直线的解析式为，联立求出，从而即可得解．
【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：在中，令，则，
解得：，，
，
点在抛物线段上，
设点的坐标为，
如图，若时，则，
，，
，
，
解得：（舍去）或；
如图，若时，过作轴于，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
整理得：，
解得：（舍去）或；
综上所述，符合题意的的值为或，则点的坐标为或；
（3）解：点在一条定直线上，
由题意得知抛物线：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
，
为的中点，
，
设，，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
直线经过点，
，
同理可得：直线的解析式为：，直线的解析式为，
，
联立得：，
直线与直线交于点，
，则，
，
，
，
设点在直线上，则，
整理得：，
比较系数可得：，，
解得：，，
当，时，无论，为何值时，等式恒成立，
点在一条定直线上．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，次函数图象上点的坐标特征等，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．